Голдбах маселеси бардык математиканын тарыхындагы эң эски жана эң кызуу талкууланган маселелердин бири.
Бул божомол 4 × 1018ден аз бардык бүтүн сандар үчүн туура экени далилденди, бирок математиктердин бир топ аракеттерине карабастан далилденбеген бойдон калууда.
Сан
Голдбах саны жуп так сандардын суммасы болгон оң жуп бүтүн сан. Голдбах гипотезасынын дагы бир түрү - төрттөн чоң бардык жуп бүтүн сандар Голдбах сандары болуп саналат.
Мындай сандарды бөлүү Голдбах бөлүмү (же бөлүү) деп аталат. Төмөндө кээ бир жуп сандар үчүн окшош бөлүмдөрдүн мисалдары келтирилген:
6=3 + 38=3 + 510=3 + 7=5 + 512=7 + 5…100=3 + 97=11 + 89=17 + 83=29 + 71=41 + 59=47 + 53.
Гипотезанын ачылышы
Голдбахтын Эйлер деген кесиптеши бар эле, ал санаганды, татаал формулаларды жазганды жана чечилгис теорияларды айтканды жакшы көрчү. Бул жагынан алар Голдбахка окшош болгон. Эйлер ушуга окшош математикалык табышмакты Голдбахтан мурун да жасагантуруктуу кат алышуу. Андан кийин ал кол жазмасынын четине экинчи сунушту сунуштады, ага ылайык 2ден чоң бүтүн сан үч жөнөкөй сандын суммасы катары жазылса болот. Ал 1ди жөнөкөй сан деп эсептеген.
Эки гипотеза азыр окшош экени белгилүү, бирок ал учурда бул көйгөй болгон эмес. Голдбахтын проблемасынын заманбап варианты 5тен чоң ар бир бүтүн санды үч жөнөкөй сандын суммасы катары жазууга болот деп айтылат. Эйлер 1742-жылдын 30-июнундагы катына жооп берип, Голдбахтын мурунку сүйлөшүүсүн эске салды ("… демек, биз төмөнкү билдирүүдөн келип чыккан оригиналдуу (жана маргиналдык эмес) гипотеза жөнүндө айтып жатабыз").
Эйлер-Голдбах маселеси
2 жана анын жуп сандарын эки жай сандын суммасы катары жазууга болот, бул да Голдбахтын божомолу. Эйлер 1742-жылдын 30-июнундагы катында ар бир жуп бүтүн сан эки жөнөкөй сандын кошулушунун натыйжасы экенин айткан жана ал аны далилдей албаса да, аны так аныкталган теорема деп эсептейт.
Үчүнчү версия
Голдбахтын проблемасынын үчүнчү версиясы (башка эки версияга барабар) – бул, адатта, бүгүнкү күндө болжолдуу түрдө берилген форма. Ал ошондой эле "күчтүү", "жуп" же "экилик" Голдбах гипотезасынан аны айырмалоо үчүн белгилүү болгон "алсыз", "так" же "үчтүк" Голдбах гипотезасынан. Алсыз гипотеза 7ден чоң бардык так сандар үч так жай сандын суммасы экенин айтат. Алсыз божомол 2013-жылы далилденген. алсыз гипотеза болуп саналаткүчтүү гипотезанын натыйжасы. Мунун тескери натыйжасы жана күчтүү Голдбах божомолу ушул күнгө чейин далилденбеген бойдон калууда.
Текшерүү
Nнин кичинекей маанилери үчүн Голдбах маселеси (демек, Голдбах божомолу) текшерилиши мүмкүн. Мисалы, 1938-жылы Нилс Пипинг n ≦ 105ке чейинки гипотезаны кылдаттык менен текшерген. Биринчи компьютерлердин пайда болушу менен nдин дагы көптөгөн маанилери эсептелген.
Оливейра Силва 2013-жылга карата n ≦ 4 × 1018 (жана 4 × 1017ге чейин эки жолу текшерилген) гипотезасын тастыктаган бөлүштүрүлгөн компьютердик издөөнү жүргүздү. Бул издөөнүн бир жазуусу: 3,325,581,707,333,960,528 - бул Голдбах бөлүүсүнө ээ эмес, эң кичине сан, ал 9781ден төмөн жай менен.
Эвристика
Голдбахтын гипотезасынын күчтүү формасынын версиясы төмөнкүдөй: n көбөйгөн сайын чоңдук чексиздикке умтулгандыктан, биз ар бир чоң жуп сандын эки жөнөкөй сандын суммасы катары бирден ашык өкүлчүлүгүнө ээ болушун күтөбүз. Бирок чындыгында мындай өкүлчүлүктөр көп. Голдбах маселесин ким чечкен? Тилекке каршы, дагы эле эч ким.
Бул эвристикалык аргумент чындыгында бир аз так эмес, анткени m статистикалык жактан nден көз каранды эмес деп болжолдойт. Мисалы, m так болсо, анда n - m да так, ал эми m жуп болсо, анда n - m жуп жана бул тривиалдык эмес (татаал) байланыш, анткени 2 санынан тышкары, так гана сандар жөнөкөй болушу мүмкүн. Ошо сыяктуу эле, эгерде n 3кө бөлүнсө жана m 3төн башка жай болгон болсо, анда n - m да өз ара болот.3 менен жөнөкөй, ошондуктан жалпы санга караганда жай сан болушу мүмкүн. Анализдин бул түрүн кылдаттык менен аткарып, 1923-жылы Харди жана Литлвуд өздөрүнүн атактуу Харди-Литтлвуд жөнөкөй кортежинин бир бөлүгү катары бүт теорияны жогорудагы тактоолорду жасашкан. Бирок азырынча бул көйгөйдү чечүүгө жардам бере элек.
Күчтүү гипотеза
Голдбахтын күчтүү гипотезасы алсыз Голдбах гипотезасына караганда алда канча татаал. Кийинчерээк Шнирельман 1ден чоң каалаган натурал санды С эң жөнөкөй сандардын суммасы катары жазууга болорун далилдеди, мында С эффективдүү эсептелүүчү туруктуу. Көптөгөн математиктер аны чечүүгө аракет кылышкан, сандарды санап, көбөйтүшкөн, татаал формулаларды сунушташкан ж.б. Бирок алар эч качан ийгиликке жетишкен эмес, анткени гипотеза өтө татаал. Эч кандай формула жардам берген жок.
Бирок Голдбахтын проблемасын бир аз далилдөө маселесинен алыстап кеткенибиз оң. Шнирелман константасы бул касиетке ээ эң кичине С саны. Шнирелман өзү C <800 000 алган. Бул жыйынтык кийинчерээк көптөгөн авторлор тарабынан толукталган, мисалы Оливье Рамарет, алар 1995-жылы ар бир жуп сан n ≧ 4 чындыгында эң көп дегенде алты жөнөкөй сандын суммасы экенин көрсөткөн. Учурда Гаральд Хельфготттун Голдбах теориясы менен байланышкан эң белгилүү натыйжа.
Мындан ары өнүктүрүү
1924-жылы Харди менен Литлвуд Г. Р. Х. экилик Голдбах маселесин бузган Xге чейинки жуп сандардын саны кичинекей c. санынан алда канча аз экенин көрсөттү.
1973-жылы Чен ЦзинюнМен бул маселени чечүүгө аракет кылдым, бирок майнап чыккан жок. Ал дагы математик болгондуктан, табышмактарды чечкенди жана теоремаларды далилдегенди абдан жакшы көрчү.
1975-жылы америкалык эки математик c жана C оң константалары бар экенин көрсөтүшкөн – алар үчүн N жетишерлик чоң болгондор. Тактап айтканда, жуп бүтүн сандар жыйындысы нөл тыгыздыкка ээ. Мунун баары келечекте боло турган үчтүк Голдбах маселесин чечүү боюнча иш үчүн пайдалуу болду.
1951-жылы Линник ар бир жетишээрлик чоң жуп сан бири-бирине бир жай сан менен башка жай санды кошуунун натыйжасы боло тургандай туруктуу К бар экенин далилдеген. Роджер Хит-Браун жана Ян-Кристоф Шлаге-Пучта 2002-жылы К=13 иштээрин аныкташкан. Бул бири-бирине кошуп, ар кандай сандарды кошуп, эмне болорун көрүүнү жакшы көргөн бардык адамдар үчүн абдан кызыктуу.
Голдбах маселесин чечүү
Математикадагы көптөгөн белгилүү божомолдор сыяктуу эле, Голдбах гипотезасынын бир нече болжолдуу далилдери бар, алардын бири да математикалык коомчулук тарабынан кабыл алынган эмес.
Голдбахтын божомолу бирден чоң болгон ар бир оң бүтүн санды эң көп дегенде үч жөнөкөй сандын суммасы катары жазууга болорун билдиргени менен, мүмкүн болгон эң чоң жөнөкөй санды колдонгон ач көз алгоритм менен мындай сумманы табуу дайыма эле мүмкүн боло бербейт. ар бир кадамда. Pillai ырааттуулугу алардын ач көз өкүлчүлүктөрүндө эң жөнөкөй сандарды талап кылган сандарды көзөмөлдөйт. Ошондуктан Голдбах проблемасын чечуудагы эле суроо. Ошентсе да, эртеби-кечпи ал чечилет.
Голдбахтын проблемасына окшош теориялар бар, мында жай сандар квадраттар сыяктуу башка белгилүү бир сандар топтомдору менен алмаштырылат.
Кристиан Голдбах
Кристиан Голдбах немец математиги болгон, ал мыйзамды да окуган. Ал бүгүн Голдбах божомолу менен эсте калды.
Ал өмүр бою математик болуп иштеген – сандарды кошконду, жаңы формулаларды ойлоп тапканды абдан жакшы көрчү. Ал дагы бир нече тилди билген, ар бир тилде жеке күндөлүгүн жүргүзгөн. Бул тилдер немис, француз, италия жана орус тилдери болгон. Ошондой эле, кээ бир маалыматтар боюнча, ал англис жана латын тилдерин билген. Ал көзү тирүү кезинде эле белгилүү математик катары белгилүү болгон. Голдбах Орусия менен да абдан тыгыз байланышта болгон, анткени анын көптөгөн орус кесиптештери жана падышанын үй-бүлөсүнүн жеке жактыруусуна ээ болгон.
Ал 1725-жылы жаңы ачылган Петербург Илимдер Академиясында математика профессору жана академиянын тарыхчысы катары ишин уланткан. 1728-жылы Петр II Россиянын падышасы болгондон кийин, Голдбах анын устаты болгон. 1742-жылы Россиянын тышкы иштер министрлигине кирген. Башкача айтканда, ал чындыгында биздин өлкөдө иштеген. Ал кезде Орусияга көптөгөн илимпоздор, жазуучулар, философтор, аскер адамдары келишкен, анткени ал кезде Орусия Америка сыяктуу мүмкүнчүлүктөрдүн өлкөсү болчу. Көптөр бул жерде карьера жасашкан. Биздин каарман да мындан тышкары эмес.
Кристиан Голдбах көп тилдүү болгон - ал немис жана латын тилдеринде күндөлүк жазган, анын каттарыНемис, латын, француз жана италия тилдеринде жазылган жана расмий документтер үчүн орус, немис жана латын тилдеринде жазылган.
1764-жылы 20-ноябрда 74 жашында Москвада каза болгон. Голдбахтын көйгөйү чечилген күн анын элесине татыктуу сый болот.
Тыянак
Голдбах бизге бул илимдин эң улуу сырларынын бирин берген улуу математик болгон. Ал качан чечилеби же жокпу белгисиз. Ферма теоремасындагыдай анын болжолдонгон резолюциясы математика үчүн жаңы перспективаларды ачарын гана билебиз. Математиктер аны чечүүнү жана талдоону абдан жакшы көрүшөт. Бул эвристикалык көз караштан алганда абдан кызыктуу жана кызык. Атүгүл математика студенттери Голдбах маселесин чечүүнү жакшы көрүшөт. Башка кантип? Анткени, жаштар ар дайым жаркын, амбициялуу жана чечилбеген нерселерге тартылышат, анткени кыйынчылыктарды жеңүү менен адам өзүн өзү ырастай алат. Жакында бул маселени жаш, амбициялуу, изденүүчү акылдар чечет деп ишенели.
