Тегиздиктердин параллелдүүлүгүн жана перпендикулярдуулугун аныктоо үчүн, ошондой эле бул геометриялык объектилердин ортосундагы аралыктарды эсептөө үчүн сандык функциялардын тигил же бул түрүн колдонуу ыңгайлуу. Тегиздиктин теңдемесин сегменттерде колдонуу кайсы маселелер үчүн ыңгайлуу? Бул макалада биз бул эмне экенин жана аны практикалык тапшырмаларда кантип колдонууну карап чыгабыз.
Сызык сегменттериндеги теңдеме деген эмне?
Тегиздикти 3D мейкиндигинде бир нече жол менен аныктоого болот. Бул макалада алардын айрымдары ар кандай типтеги маселелерди чечүүдө берилет. Бул жерде тегиздиктин сегменттериндеги теңдеменин кеңири сүрөттөлүшүн беребиз. Ал жалпысынан төмөнкү формага ээ:
x/p + y/q + z/r=1.
Бул жерде p, q, r символдору кээ бир конкреттүү сандарды билдирет. Бул теңдемени жалпы туюнтмага жана тегиздик үчүн сандык функциялардын башка формаларына оңой которууга болот.
Теңдемени сегменттерге жазуунун ыңгайлуулугу анын тегиздиктин перпендикуляр координат октору менен кесилишинин ачык координаталарын камтыганында. х огу боюнчабашына салыштырмалуу, тегиздик р узундуктагы сегментти, у огунда - qга барабар, z боюнча - узундугу r болгон сегментти кесип салат.
Эгер үч өзгөрмөнүн бири теңдемеде камтылбаса, анда бул учак тиешелүү огу аркылуу өтпөйт дегенди билдирет (математиктер чексиздикте кесип өтөт деп айтышат).
Кийинки, бул жерде биз бул теңдеме менен кантип иштөөнү көрсөтө турган кээ бир көйгөйлөр бар.
Жалпы жана теңдеме сегменттериндеги байланыш
Учак төмөнкү теңдик менен берилгени белгилүү:
2x - 3y + z - 6=0.
Тегиздиктин бул жалпы теңдемесин сегменттер боюнча жазуу керек.
Ушундай көйгөй пайда болгондо, бул ыкманы колдонушуңуз керек: биз эркин терминди теңдиктин оң жагына өткөрүп беребиз. Андан кийин биз бардык теңдемени ушул терминге бөлүп, аны мурунку абзацта берилген формада туюндуруп алууга аракет кылабыз. Бизде:
2x - 3y + z=6=>
2x/6 - 3y/6 + z/6=1=>
x/3 + y/(-2) + z/6=1.
Биз сегменттерде башында жалпы формада берилген тегиздиктин теңдемесин алдык. Бул учак тиешелүүлүгүнө жараша x, y жана z огу үчүн узундугу 3, 2 жана 6 болгон сегменттерди кесип жатканы байкалат. Y огу тегиздикти терс координаттар аймагында кесип өтөт.
Сегменттерге теңдеме түзүүдө бардык өзгөрмөлөрдүн алдында "+" белгиси коюлушу маанилүү. Бул учурда гана, бул өзгөрмө бөлүнгөн сан огдогу кесилген координатты көрсөтөт.
Кадимки вектор жана учактагы чекит
Кээ бир тегиздиктин багыт вектору бар экени белгилүү (3; 0; -1). (1; 1; 1) чекитинен өтөөрү да белгилүү. Бул тегиздик үчүн сегменттерге теңдеме жазыңыз.
Бул маселени чечүү үчүн алгач бул эки өлчөмдүү геометриялык объекттин жалпы формасын колдонушуңуз керек. Жалпы форма төмөнкүчө жазылган:
Ax + By + Cz + D=0.
Бул жердеги биринчи үч коэффициент көйгөй баянында көрсөтүлгөн багыттоочу вектордун координаттары, башкача айтканда:
A=3;
B=0;
C=-1.
Эркин D терминин табуу калды. Аны төмөнкү формула менен аныктоого болот:
D=-1(Ax1+ By1+ Cz1).
Мында 1 индекси бар координата маанилери тегиздикке тиешелүү чекиттин координаттарына туура келет. Биз алардын баалуулуктарын маселенин абалынан алмаштырабыз, биз алабыз:
D=-1(31 + 01 + (-1)1)=-2.
Эми сиз толук теңдемени жаза аласыз:
3x - z - 2=0.
Бул туюнтукту тегиздиктин сегменттериндеги теңдемеге айландыруу ыкмасы жогоруда мурда эле көрсөтүлгөн. Колдонуу:
3x - z=2=>
x/(2/3) + z/(-2)=1.
Маселеге жооп алынды. Бул тегиздик x жана z огу менен гана кесилишет. y үчүн бул параллелдүү.
Тегиздикти аныктаган эки түз сызык
Мейкиндик геометриясы курсунан ар бир студент эки эркин сызык тегиздикти уникалдуу түрдө аныктай турганын билет.үч өлчөмдүү мейкиндик. Келгиле, окшош маселени чечели.
Сиздердин эки теңдемеси белгилүү:
(x; y; z)=(1; 0; 0) + α(2; -1; 0);
(x; y; z)=(1; -1; 0) + β(-1; 0; 1).
Тегиздиктин теңдемесин ушул сызыктар аркылуу кесип, сегменттерге жазуу керек.
Эки сызык тең тегиздикте жатышы керек болгондуктан, бул алардын векторлору (багыттоочулары) тегиздиктин векторуна (багыттоочу) перпендикуляр болушу керек дегенди билдирет. Ошол эле учурда ыктыярдуу эки багытталган сегменттердин вектордук көбөйтүндүсү эки баштапкыга перпендикуляр болгон үчүнчүнүн координаталары түрүндө натыйжа берери белгилүү. Бул касиетти эске алуу менен, биз каалаган тегиздикке нормалдуу вектордун координаталарын алабыз:
[(2; -1; 0)(-1; 0; 1)]=(-1; -2; -1).
Ал ыктыярдуу санга көбөйтүлгөндүктөн, бул баштапкыга параллелдүү жаңы багытталган сегментти түзөт, биз алынган координаттардын белгисин карама-каршысына (-1ге көбөйтсө) алмаштырсак болот:
(1; 2; 1).
Багыт векторун билебиз. Түз сызыктардын биринин ыктыярдуу чекитин алып, тегиздиктин жалпы теңдемесин түзүш керек:
A=1;
B=2;
C=1;
D=-1(11 + 20 + 30)=-1;
x + 2y + z -1=0.
Бул теңчиликти сегменттердеги туюнтмага которуу менен биз:
алабыз
x + 2y + z=1=>
x/1 + y/(1/2) + z/1=1.
Ошентип, учак координаттар системасынын оң аймагындагы үч окту тең кесип өтөт.
Үч упай жана учак
Эки түз сызык сыяктуу эле, үч чекит үч өлчөмдүү мейкиндикте тегиздикти уникалдуу аныктайт. Тегиздикте жаткан чекиттердин төмөнкү координаталары белгилүү болсо, тиешелүү теңдемени сегменттерге жазабыз:
Q(1;-2;0);
P(2;-3;0);
M(4; 1; 0).
Төмөнкүлөрдү жасайлы: бул чекиттерди бириктирген эки ыктыярдуу вектордун координаталарын эсептеп, андан кийин табылган багытталган сегменттердин көбөйтүндүсүн эсептөө менен тегиздикке нормал n¯ векторун табыңыз. Биз алабыз:
QP¯=P - Q=(1; -1; 0);
QM¯=M - Q=(2; 4; 0);
n¯=[QP¯QM¯]=[(1; -1; 0)(2; 4; 0)]=(0; 0; 6).
Мисал катары P чекитин алып, тегиздиктин теңдемесин түзүңүз:
A=0;
B=0;
C=6;
D=-1(02 + 0(-3) + 60)=0;
6z=0 же z=0.
Берилген тик бурчтуу координаталар системасында xy тегиздигине туура келген жөнөкөй туюнтманы алдык. Аны сегменттерге жазууга болбойт, анткени х жана у огу тегиздикке таандык, ал эми z огунда кесилген сегменттин узундугу нөлгө барабар (0; 0; 0 чекити тегиздикке таандык).
