Бурчтун синусунун туундусу ошол эле бурчтун косинусуна барабар

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Акыркы өзгөртүү: 2024-01-02 17:51

Эң жөнөкөй тригонометриялык функция y=Sin(x) берилген, ал өзүнүн ар бир чекитинде аныктоонун бүткүл областынан дифференциалданат. Кандайдыр бир аргументтин синусунун туундусу ошол эле бурчтун косинусуна барабар экенин далилдеш керек, башкача айтканда у'=Кос(х).

Далил функциянын туундусунун аныктамасына негизделген

Белгилүү бир чекиттин Δx кичинекей конушунда x (эркин) коюңуз x₀. Берилген функциянын өсүүсүн табуу үчүн функциянын андагы жана х чекитиндеги маанисин көрсөтөлү. Эгерде Δх аргументтин өсүүсү болсо, анда жаңы аргумент x₀+Δx=x, y(x) аргументинин берилген мааниси үчүн бул функциянын мааниси Sin(х) ₀ +Δx), функциянын белгилүү бир y чекитиндеги мааниси (x_{0) да белгилүү.}

Эми бизде Δу=Sin(х₀+Δх)-Sin(х_{0) – функциянын натыйжадагы өсүүсү.}

Бирдей эмес эки бурчтун суммасынын синусунун формуласына ылайык Δу айырмасын өзгөртөбүз.

Δy=Күнөө(x₀) Кос(Δx)+Кос(x₀) Күнөө(Δx) минус Син (x 0_{)=(Cos(Δx)-1) Күнөө(x}0_)+Кос(x0 _{) Күнөө(Δх).}

Алмаштыруу аткарылдыбиринчисин үчүнчү Sin (x₀) менен топтоштурулган терминдер, жалпы факторду - синусты кашаадан чыгаргыла. Биз туюнтмадагы Cos(Δх)-1 айырмасын алдык. Кашанын алдындагы жана кашаанын ичиндеги белгини өзгөртүү керек. 1-Cos(Δх) эмнеге барабар экенин билип туруп, биз алмаштырууну жасайбыз жана Δу жөнөкөйлөштүрүлгөн туюнтманы алабыз, аны Δхга бөлөбүз.

Δу/Δх төмөнкүдөй болот: Cos(х 0 _{) Күнөө(Δх)/Δх-2 Күнөө}2^{(0, 5 Δх) Күнөө(х}0_{) /Δх. Бул функциянын өсүшүнүн уруксат берилген аргумент өсүүсүнө болгон катышы.}

Биз Δх нөлгө умтулган лим катышынын чегин табышыбыз керек.

Бул шартта Sin(Δх)/Δx чеги 1ге барабар экендиги белгилүү. Ал эми 2 Sin²(0, 5 Δх)/Δх туюнтмасы көбөйтүүчү катары биринчи көрүнүктүү чекти камтыган көбөйтүндүгө өзгөртүүлөр менен жыйынтыкталат: санды бөлөбүз. жана бөлчөктүн бөлүүчүсү 2ге, квадратты синус менен көбөйтөбүз. Бул сыяктуу:

(Sin(0, 5 Δx)/(0, 5 Δx)) Sin(Δx/2).

Δx нөлгө умтулгандыктан, бул туюнтуунун чеги нөлгө барабар болот (1 жолу 0). Көрсө, Δy/Δх катышынын чеги Cos(х₀) 1-0гө барабар экен, бул Cos(х_{0), туюнтма, ал Δx 0гө ыктоосуна көз каранды эмес. Мындан тыянак келип чыгат: ар кандай х бурчтун синусунун туундусу х косинусуна барабар, биз аны минтип жазабыз: y'=Cos(x).}

Натыйжадагы формула бардык элементардык функциялар чогултулган белгилүү туунду таблицасында келтирилген

Синустун туундусу келген маселелерди чыгарууда дифференциация эрежелерин жана таблицадагы даяр формулаларды колдонсо болот. Мисалы: y=3·Sin(x)-15 эң жөнөкөй функциянын туундусун табыңыз. Туундунун белгисинен сандык факторду алып, туруктуу сандын туундусун (ал нөлгө барабар) эсептөөдө дифференциациялоонун элементардык эрежелерин колдонолу. Кос (х) га барабар х бурчтун синусунун туундусунун таблицадагы маанисин колдонобуз. Жоопту алабыз: y'=3·Cos(x)-O. Бул туунду, өз кезегинде, ошондой эле элементардык функция y=3 Cos(x).

Кайсы бир аргументтин синус квадратынын туундусу

Бул туюнтманы эсептөөдө (Sin²(x))', татаал функция кантип дифференцияланарын эстеп калуу керек. Демек, y=Sin²(x) синус квадрат болгондуктан, күч функциясы. Анын аргументи дагы тригонометриялык функция, ^{татаал аргумент. Бул учурда натыйжа көбөйткөнгө барабар, анын биринчи фактору берилген комплекстүү аргументтин квадратынын туундусу, экинчиси синустун туундусу. Функцияны функциядан айырмалоо эрежеси ушундай болот: (u(v(x)))' барабар (u(v(x)))'·(v(x))'. v(x) туюнтмасы татаал аргумент (ички функция). Эгерде "y синус квадратына барабар х" функциясы берилсе, анда бул комплекстүү функциянын туундусу у'=2·Sin(x)·Cos(x) болот. Туундуда биринчи эки эселенген фактор белгилүү даражалык функциянын туундусу, ал эми Cos(x) синустун туундусу, татаал квадраттык функциянын аргументи. акыркы натыйжа өзгөртүлүшү мүмкүн,кош бурчтун синусу үчүн тригонометриялык формуланы колдонуу. Жооп: Туунду Sin(2 x). Бул формуланы эстеп калуу оңой жана көбүнчө таблица формуласы катары колдонулат.}