Кээ бир математикалык маселелер квадрат тамырды эсептөө жөндөмүн талап кылат. Бул маселелерге экинчи даражадагы теңдемелерди чыгаруу кирет. Бул макалада биз квадраттык тамырларды эсептөөнүн эффективдүү ыкмасын сунуштайбыз жана аны квадраттык теңдеменин тамырлары үчүн формулалар менен иштөөдө колдонобуз.
Квадрат тамыр деген эмне?
Математикада бул түшүнүк √ символуна туура келет. Тарыхый маалыматтарда ал биринчи жолу 16-кылымдын биринчи жарымында Германияда колдонула баштаганы айтылат (Алгебра боюнча биринчи немис эмгеги Кристоф Рудольф). Окумуштуулар бул символду трансформацияланган латын тамгасы деп эсептешет (radix латын тилинде "тамыр" дегенди билдирет).
Кандайдыр бир сандын тамыры ушундай мааниге барабар, анын квадраты тамыр туюнтмасына туура келет. Математика тилинде бул аныктама мындай болот: √x=y, эгерде y2=x.
Оң сандын тамыры (x > 0) ошондой элеоң сан (y > 0), бирок тамыр терс сандан (x < 0) алынса, анда анын натыйжасы i элестүү бирдигин камтыган татаал сан болот.
Мына эки жөнөкөй мисал:
√9=3, анткени 32 =9; √(-9)=3i, анткени i2=-1.
Квадрат тамырларды табуу үчүн Герондун кайталануучу формуласы
Жогорудагы мисалдар абдан жөнөкөй жана алардагы тамырларды эсептөө кыйын эмес. Натурал сандын квадраты катары көрсөтүүгө болбойт, мисалы √10, √11, √12, √13 сыяктуу ар кандай маанилердин түпкү маанилерин табууда кыйынчылыктар пайда боло баштайт, иш жүзүндө бул бүтүн эмес сандар үчүн тамырларды табуу керек: мисалы √(12, 15), √(8, 5) жана башкалар.
Жогоруда айтылган бардык учурларда чарчы тамырды эсептөөнүн өзгөчө ыкмасын колдонуу керек. Учурда мындай ыкмалардын бир нечеси белгилүү: мисалы, Тейлор катарындагы кеңейүү, мамыча менен бөлүү жана башка. Бардык белгилүү ыкмалардын ичинен, балким, эң жөнөкөй жана эң эффективдүүсү Герондун кайталанма формуласын колдонуу болуп саналат, ал квадрат тамырларды аныктоонун вавилондук ыкмасы катары да белгилүү (байыркы вавилондуктар аны практикалык эсептөөлөрүндө колдонгону тууралуу далилдер бар).
√x маанисин аныктоо зарыл болсун. Квадрат тамырды табуу формуласы төмөнкүчө:
an+1=1/2(a+x/a), мында limn->∞(a)=> x.
Бул математикалык белгини чечмелөө. √xти эсептөө үчүн, сиз a0 санын алышыңыз керек (бул өзү каалагандай болушу мүмкүн, бирок тез натыйжа үчүн аны (a0) тандаңыз) 2 мүмкүн болушунча хга жакын болгон, андан кийин аны көрсөтүлгөн квадрат тамыр формуласына алмаштырып, жаңы a1 санын алыңыз, ал мурунтан эле пайда болот каалаган мааниге жакыныраак болуңуз. туюнтмага 1 алмаштыруу жана 2 алуу керек Бул процедура талап кылынган тактыкка жеткенге чейин кайталанышы керек..
Герондун кайталануучу формуласын колдонуунун мисалы
Кайсы бир сандын квадрат тамырын алуу үчүн жогоруда сүрөттөлгөн алгоритм көптөр үчүн абдан татаал жана түшүнүксүз угулушу мүмкүн, бирок чындыгында баары бир топ жөнөкөй болуп чыгат, анткени бул формула абдан тез биригет (айрыкча, бактылуу сан болсо 0 тандалды.
Жөнөкөй мисалды алалы: √11ди эсептешибиз керек. Биз 0=3 тандайбыз, анткени 32=9, ал 42 караганда 11ге жакын=16. Формулага алмаштыруу, биз алабыз:
a1=1/2(3 + 11/3)=3, 333333;
a2 =1/2(3, 33333 + 11/3, 33333)=3, 316668;
a3=1/2(3, 316668 + 11/3, 316668)=3, 31662.
Эсептөөлөрдү улантуунун мааниси жок, анткени биз a2 жана a3 5-ондук санда гана айырмалана баштаганын алдык жер. Ошентип, формуланы 2 гана жолу колдонуу жетиштүү болду√11 0,0001 чегинде эсептеңиз.
Учурда тамырларды эсептөө үчүн калькуляторлор жана компьютерлер кеңири колдонулат, бирок алардын так маанисин кол менен эсептей алуу үчүн белгиленген формуланы эстеп калуу пайдалуу.
Экинчи тартиптеги теңдемелер
Квадрат тамыр эмне экенин түшүнүү жана аны эсептөө жөндөмү квадраттык теңдемелерди чыгарууда колдонулат. Бул теңдемелер жалпы түрү төмөнкү сүрөттө көрсөтүлгөн бир белгисиз менен барабар.
Бул жерде c, b жана a кээ бир сандар, а нөлгө барабар болбошу керек, жана c менен b маанилери нөлдү кошкондо толугу менен ыктыярдуу болушу мүмкүн.
Сүрөттө көрсөтүлгөн теңдикти канааттандырган хтын бардык маанилери анын тамыры деп аталат (бул түшүнүктү √ квадрат тамыры менен чаташтырбоо керек). Каралып жаткан теңдеме 2-тартипке ээ болгондуктан (x2), анда анын тамырлары үчүн экиден ашык сан болушу мүмкүн эмес. Келгиле, бул тамырларды кантип табууга болорун кийинчерээк макалада карап көрөлү.
Квадрат теңдеменин тамырларын табуу (формула)
Теңдиктердин каралып жаткан түрүн чечүүнүн бул ыкмасы универсалдуу, же дискриминант аркылуу метод деп да аталат. Аны каалаган квадраттык теңдемелерге колдонсо болот. Квадрат теңдеменин дискриминантынын жана тамырларынын формуласы төмөнкүдөй:
Бул тамырлар теңдеменин үч коэффициентинин ар биринин маанисине көз каранды экенин көрсөтүп турат. Мындан тышкары, эсептөөx1 эсептөөдөн x2 квадрат тамырдын алдындагы белги менен гана айырмаланат. b2 - 4ac менен барабар болгон радикалдык туюнтма каралып жаткан теңдиктин дискриминантынан башка эч нерсе эмес. Квадрат теңдеменин тамырлары үчүн формуладагы дискриминант маанилүү роль ойнойт, анткени ал чечимдердин санын жана түрүн аныктайт. Демек, эгерде ал нөл болсо, анда бир гана чечим болот, эгерде ал оң болсо, анда теңдеме эки чыныгы тамырга ээ, акырында терс дискриминант эки татаал тамырга алып келет x1 жана x 2.
Вьета теоремасы же экинчи даражадагы теңдемелердин тамырларынын кээ бир касиеттери
16-кылымдын аягында азыркы алгебранын негиздөөчүлөрүнүн бири француз Франсуа Вьет экинчи даражадагы теңдемелерди изилдеп, анын тамырларынын касиеттерин ала алган. Математикалык жактан аларды төмөнкүчө жазса болот:
x1 + x2=-b / a жана x1 x 2=c / a.
Эки теңдикти тең каалаган адам оңой ала алат, ал үчүн дискриминант менен формула аркылуу алынган тамырлар менен тиешелүү математикалык амалдарды аткаруу гана керек.
Бул эки туюнтумдун айкалышын туура түрдө квадраттык теңдеменин тамырларынын экинчи формуласы деп атоого болот, бул дискриминантты колдонбостон анын чечимдерин болжолдоого мүмкүндүк берет. Бул жерде белгилей кетүүчү нерсе, эки туюнтма тең ар дайым жарактуу болгону менен, аларды теңдемени факторлорго бөлүүгө мүмкүн болсо гана чечүү үчүн колдонуу ыңгайлуу.
Алынган билимди бекемдөө милдети
Келгиле, математикалык маселени чечели, анда биз макалада талкууланган бардык ыкмаларды көрсөтөбүз. Маселенин шарттары төмөнкүдөй: сиз эки санды табышыңыз керек, алардын көбөйтүмү -13, ал эми суммасы 4.
Бул шарт дароо Виетанын теоремасын эске салат, квадрат тамырлардын жана алардын көбөйтүлгөн суммасынын формулаларын колдонуп, биз жазабыз:
x1 + x2=-b / a=4;
x1 x2=c / a=-13.
А=1 деп кабыл алсак, анда b=-4 жана c=-13. Бул коэффициенттер бизге экинчи тартиптеги теңдемени жазууга мүмкүндүк берет:
x2 - 4x - 13=0.
Формуланы дискриминант менен колдонсок, төмөнкү тамырларды алабыз:
x1, 2=(4 ± √D)/2, D=16 - 41(-13)=68.
Башкача айтканда, тапшырма √68 санын табууга кыскарган. Белгилей кетсек, 68=417, анда квадрат тамыр касиетин колдонуп, биз төмөнкүнү алабыз: √68=2√17.
Эми каралып жаткан квадрат тамыр формуласын колдонолу: a0=4, анан:
a1=1/2(4 + 17/4)=4, 125;
a2=1/2(4, 125 + 17/4, 125)=4, 1231.
А3 эсептөөнүн кереги жок, анткени табылган маанилер 0,02ге гана айырмаланат. Ошентип, √68=8,246. Аны x формуласына алмаштыруу 1, 2, биз алабыз:
x1=(4 + 8, 246)/2=6, 123 жана x2=(4 - 8, 246) /2=-2, 123.
Көрүнгөндөй, табылган сандардын суммасы чындап эле 4, бирок алардын көбөйтүлгөнүн тапсаңыз, ал -12ге барабар болот,999, бул маселенин шартын 0,001 тактык менен канааттандырат.
