Косинустун туундусу синустун туундусуна аналогия аркылуу табылат, далилдөөнүн негизи функциянын чегин аныктоо болуп саналат. Сиз бурчтардын косинус жана синусу үчүн тригонометриялык кыскартуу формулаларын колдонуп, башка ыкманы колдонсоңуз болот. Бир функцияны экинчиси менен түшүндүрүңүз - косинус синус аркылуу жана синусту татаал аргумент менен дифференциялаңыз.
(Cos(x))' формуласын чыгаруунун биринчи мисалын карап көрөлү.
y=Cos(x) функциясынын х аргументине Δx болбос кичине өсүш бергиле. х+Δх аргументинин жаңы мааниси менен Cos(х+Δх) функциясынын жаңы маанисин алабыз. Ошондо Δy функциянын өсүүсү Cos(х+Δx)-Cos(x) ге барабар болот.
Функциянын өсүш Δхга болгон катышы: (Cos(х+Δx)-Cos(x)) /Δх. Натыйжадагы бөлчөктүн алымында бирдей өзгөртүүлөрдү жүргүзөлү. Бурчтардын косинустарынын айырмасынын формуласын эстеп көрүңүз, натыйжада -2Sin (Δx / 2) эсе Sin (x + Δx / 2) көбөйтүлүшү болот. Δx нөлгө умтулгандыктан, биз бул продукттун лими чектин Δx боюнча табабыз. биринчи экени белгилуу(бул керемет деп аталат) lim(Sin(Δx/2)/(Δx/2)) 1ге барабар, ал эми -Sin(x+Δx/2) чеги -Sin(x) ге Δx катары барабар нөлгө умтулат. Натыйжаны жазыңыз: (Cos(x))' туундусу - Sin(x) ге барабар.
Кээ бир адамдар бир эле формуланы алуунун экинчи жолун артык көрүшөт
Тригонометриянын жүрүшүнөн белгилүү: Cos(x) Sin(0, 5 ∏-x) га барабар, ошол сыяктуу Sin(x) да Cos(0, 5 ∏-x) га барабар. Анда комплекстүү функцияны – кошумча бурчтун синусун (косинус x ордуна) дифференциялайбыз.
Cos(0, 5 ∏-x) (0, 5 ∏-x)' продуктуну алабыз, анткени синустун туундусу X косинуна барабар. (0,5 ∏-х)'=-1 экендигин эске алып, косинусту синус менен алмаштыруунун Sin(x)=Cos(0,5 ∏-x) экинчи формуласына кайрылабыз. Эми биз -Sin(x). Ошентип, косинустун туундусу табылды, y=Cos(x) функциясы үчүн y'=-Sin(x).
Квадраттык косинус туунду
Косинус туундусу колдонулган кеңири колдонулган мисал. y=Cos2(x) функциясы кыйын. Адегенде 2 көрсөткүчү бар даражалык функциянын дифференциалын табабыз, ал 2·Cos(x) болот, андан кийин аны туундуга (Cos(x))' көбөйтөбүз, ал -Sin(x) ге барабар. y'=-2 Cos(x) Sin(x) ды алабыз. Кош бурчтун синусу Sin(2x) формуласын колдонгондо, биз акыркы жөнөкөйлөштүрүлгөнжоопту алабыз y'=-Sin(2x)
Гиперболикалык функциялар
Алар көптөгөн техникалык дисциплиналарды изилдөөдө колдонулат: математикада, мисалы, интегралдарды эсептөөнү, дифференциалдык теңдемелерди чыгарууну жеңилдетет. Алар ойдон чыгарылган тригонометриялык функциялар менен туюнтулатаргумент, ошондуктан гиперболалык косинус ch(x)=Cos(i x), мында i - элестүү бирдик, гиперболикалык синус sh(x)=Sin(i x).
Гиперболалык косинустун туундусу абдан жөнөкөй эсептелген.
y=функциясын карап көрөлү (ex+e-x) /2, бул жана гиперболалык косинус ch(x). Эки туюнтумдун суммасынын туундусун табуу эрежесин, туундунун белгисинен туруктуу факторду (Const) алуу эрежесин колдонобуз. Экинчи мүчө 0,5 e-x татаал функция (анын туундусу -0,5 e-x), 0,5 eх - биринчи мөөнөт. (ch(x)) '=((ex+e-x)/2)' жазууга болот башка жол менен: (0, 5 ex+0, 5 e-x)'=0, 5 e x-0, 5 e-x, анткени туунду (e - x)' барабар -1 эсе e-x. Натыйжада айырма пайда болуп, бул гиперболикалык синус sh(x).Чыгуу: (ch(x))'=sh(x).
Келгиле, бул sh(x) гиперболикалык синус. функциясынын туундусун эсептеңиз y=ch(x
3+1).Татаал аргументи y'=sh(x
менен гиперболикалык косинус дифференциациялоо эрежеси боюнча 3+1) (x 3+1)', мында (x3+1)'=3 x 2+0. Жооп: бул функциянын туундусу 3 x
2sh(x3+1).
Каралып жаткан функциялардын таблицадагы туундулары y=ch(x) жана y=Cos(x)
Мисалдарды чыгарууда аларды ар бир жолу сунушталган схема боюнча айырмалоонун кереги жок, корутундуну колдонуу жетиштүү.
Мисал. y=функциясын дифференциалдаңызCos(x)+Cos2(-x)-Ch(5 x). Эсептөө оңой (таблицадагы маалыматтарды колдонуу), y'=-Sin(x) +Sin(2 x)-5 Sh(5 x).
