Маклаурин сериясы жана кээ бир функцияларды кеңейтүү

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Акыркы өзгөртүү: 2023-12-17 05:34

Жогорку математиканын студенттери бул катарлардын жакындашуу интервалына тиешелүү кээ бир даражалуу катарлардын суммасы үзгүлтүксүз жана чексиз сандагы дифференциалданган функция болуп чыга турганын билиши керек. Суроо туулат: берилген ыктыярдуу функция f(x) кандайдыр бир даражалык катарлардын суммасы деп ырастоого болобу? Башкача айтканда, f(x) функциясы кандай шарттарда даражалык катар менен көрсөтүлүшү мүмкүн? Бул суроонун маанилүүлүгү f(x) функциясын даражалык катардын биринчи бир нече мүчөсүнүн суммасына, башкача айтканда, көп мүчөгө болжол менен алмаштырууга мүмкүн экендигинде. Функцияны мындай жөнөкөй туюнтма - көп мүчө менен алмаштыруу математикалык анализдин кээ бир маселелерин чечүүдө да ыңгайлуу, тактап айтканда: интегралдарды чыгарууда, дифференциалдык теңдемелерди эсептөөдө ж.б.

Кээ бир f(х) функциясы үчүн акыркысын кошкондо (n+1)-ка чейинки туундуларды кошуналыкта (α _{) эсептөөгө болоору далилденген.- R; x}0 _{+ R) кандайдыр бир пункттун x=α формуласы жарактуу:}

Бул формула атактуу окумуштуу Брук Тейлордун атынан коюлган. Мурунку сериядан алынган серия Маклаурин сериясы деп аталат:

Маклаурин сериясында кеңейтүүнү мүмкүн кылган эреже:

1. Биринчи, экинчи, үчүнчү… буйрутмалардын туундуларын аныктаңыз.
2. x=0 боюнча туундулар эмнеге барабар экенин эсептеңиз.
3. Бул функция үчүн Маклаурин сериясын жазыңыз, андан кийин анын конвергенция аралыгын аныктаңыз.
4. Маклаурин формуласынын калганы турган интервалды (-R;R) аныктаңыз

R (x) -> 0 n -> чексиздик үчүн. Эгер бирөө бар болсо, андагы f(x) функциясы Маклаурин сериясынын суммасына дал келиши керек.

Эми жеке функциялар үчүн Маклаурин сериясын карап көрүңүз.

1. Ошентип, биринчи f(x)=e^x болот. Албетте, өзгөчөлүктөрү боюнча мындай функциянын ар кандай тартиптеги туундулары бар жана f^(k)(x)=e^x, мында k бардыгына барабар натурал сандар. x=0 ордуна коелу. Биз f^(k)(0)=e⁰=1, k=1, 2… алабыз ^{мындай болот:}

2. f(x)=sin x функциясы үчүн Маклаурин сериясы. Бардык белгисиздер үчүн функциянын f^'(x)=cos x=sin(x+n/2), f ^{'' дан тышкары туундулары болорун дароо тактаңыз (x)=-sin x=sin(x+2n/2)…, f}(k)^{(x)=sin(x+k n/2), мында k каалаган натурал санга барабар. Башкача айтканда, жөнөкөй эсептөөлөрдү жүргүзгөндөн кийин, f(x)=sin x үчүн катар төмөнкүдөй болот деген жыйынтыкка келе алабыз:}

3. Эми f(x)=cos x функциясын карап көрөлү. Ал баары белгисизыктыярдуу тартиптеги туундулары бар жана |f^(k)(x)|=|cos(x+kp/2)|<=1, k=1, 2… Дагы, кээ бир эсептөөлөрдөн кийин, f(x)=cos x үчүн катар төмөнкүдөй болот:

Ошентип, биз Маклаурин сериясында кеңейтилиши мүмкүн болгон эң маанилүү функцияларды санап чыктык, бирок алар кээ бир функциялар үчүн Тейлор катарлары менен толукталган. Эми биз аларды тизмелейбиз. Тейлор жана Маклаурин сериялары жогорку математикадагы катарларды чечүү практикасынын маанилүү бөлүгү экенин да белгилей кетүү керек. Ошентип, Тейлор сериясы.

1. Биринчи f-ii f(x)=ln(1+x) үчүн катар болот. Мурунку мисалдардагыдай эле, бизге f (x)=ln (1 + x) берилгендей, Маклаурин сериясынын жалпы формасын колдонуу менен катарды кошо алабыз. бирок, бул функция үчүн, Маклаурин сериясын алда канча жөнөкөй алууга болот. Белгилүү бир геометриялык катарды интеграциялагандан кийин, бул үлгүдөгү f(x)=ln(1+x) үчүн катарды алабыз:

2. Ал эми экинчиси, биздин макалада акыркы болот, f (x) u003d arctg x үчүн серия болот. [-1;1] интервалына таандык x үчүн кеңейтүү жарактуу:

Болуптур. Бул макалада жогорку математикада, атап айтканда, экономикалык жана техникалык университеттерде эң көп колдонулган Тейлор жана Маклаурин сериялары каралат.