Адамзаттын прогресси көбүнчө генийлердин ачылыштарынын аркасында. Алардын бири Блез Паскаль. Анын чыгармачылык өмүр баяны Лион Фейхтвангердин «Таланттуу адам, бардык нерседе таланттуу» деген сөзүнүн чындыгын дагы бир жолу ырастайт. Бул улуу окумуштуунун бардык илимий жетишкендиктерин санап чыгуу кыйын. Алардын арасында математика дүйнөсүндөгү эң кооз ойлоп табуулардын бири – Паскаль үч бурчтугу бар.
Гений жөнүндө бир нече сөз
Блез Паскаль заманбап стандарттар боюнча эрте, 39 жашында каза болгон. Бирок ал кыска өмүрүндө көрүнүктүү физик, математик, философ жана жазуучу катары өзгөчөлөнгөн. Ыраазы болгон урпактары анын урматына басымдын бирдигин жана популярдуу программалоо тилин Паскаль деп аташкан. Ал ар кандай коддорду жазууну үйрөтүү үчүн дээрлик 60 жылдан бери колдонулуп келет. Мисалы, анын жардамы менен ар бир студент Паскальда үч бурчтуктун аянтын эсептөө программасын жаза алат, ошондой эле схеманын касиеттерин изилдей алат.төмөндө талкууланат.
Укмуш ой жүгүртүүсү бар бул окумуштуунун ишмердүүлүгү илимдин ар кыл тармактарын камтыйт. Атап айтканда, Блез Паскаль гидростатиканын, математикалык анализдин, геометриянын кээ бир багыттарынын жана ыктымалдуулук теориясынын негиздөөчүлөрүнүн бири. Ошондой эле, ал:
- Паскаль дөңгөлөгү деп аталган механикалык эсептегичти түздү;
- абанын ийкемдүүлүгү жана салмагы бар экенин эксперименталдык далилдер менен камсыз кылды;
- барометр аба ырайын алдын ала айтууга болорун аныктады;
- арабаны ойлоп тапты;
- омнибусту - белгиленген маршруттары бар ат арабаларды ойлоп тапкан, кийинчерээк ал кадимки коомдук транспорттун биринчи түрү болуп калган ж.б.
Паскальдын арифметикалык үч бурчтугу
Айтылгандай, бул улуу француз окумуштуусу математика илимине эбегейсиз салым кошкон. Анын абсолюттук илимий шедеврлеринин бири белгилүү бир тартипте тизилген биномдук коэффициенттерден турган «Арифметикалык үч бурчтук жөнүндө трактат» болуп саналат. Бул схеманын касиеттери өзүнүн көп түрдүүлүгү менен таң калтырат жана анын өзү “Баары гениалдуу жөнөкөй!” деген макалды тастыктайт.
Бир аз тарых
Адилеттүүлүк үчүн айта кетчү нерсе, чындыгында Паскаль үч бурчтугу Европада 16-кылымдын башында эле белгилүү болгон. Тактап айтканда, анын сүрөтүн Ингольштадт университетинен белгилүү астроном Питер Апиандын арифметика боюнча окуу китебинин мукабасынан көрүүгө болот. Окшош үч бурчтук да мисал катары көрсөтүлгөн.1303-жылы жарык көргөн кытайлык математик Ян Хуэйдин китебинде. Белгилүү перс акыны жана философу Омар Хайям да анын касиеттерин 12-кылымдын башында билген. Анын үстүнө, аны араб жана индиялык илимпоздордун мурда жазылган трактаттарынан жолуктурганы айтылат.
Сыпаттама
Мыктылыгы жана жөнөкөйлүгү менен кооз Паскаль үч бурчтугунун эң кызыктуу касиеттерин изилдөөдөн мурун анын эмне экенин билип алуу зарыл.
Илимий жактан айтканда, бул сандык схема белгилүү бир тартипте тизилген биномдук коэффициенттерден түзүлгөн чексиз үч бурчтук таблица. Анын үстү жагында жана капталдарында 1 сандары бар. Калган позицияларды алардын үстүндө жанаша жайгашкан эки сандын суммасына барабар сандар ээлейт. Андан тышкары, Паскаль үч бурчтугунун бардык сызыктары анын вертикалдык огуна карата симметриялуу.
Негизги функциялар
Паскаль үч бурчтугу өзүнүн кемчиликсиздиги менен таң калыштуу. n номери бар бардык саптар үчүн (n=0, 1, 2…) чын:
- биринчи жана акыркы сандар 1;
- экинчи жана акыркы - n;
- үчүнчү сан үч бурчтук санга барабар (тең жактуу үч бурчтукта жайгаштырууга боло турган тегеректердин саны, б.а. 1, 3, 6, 10): T -1 =n (n - 1) / 2.
- Төртүнчү сан тетраэдрдик, б.а. ал түбүндө үч бурчтук бар пирамида.
Мындан тышкары, салыштырмалуу жакында, 1972-жылы Паскаль үч бурчтугунун дагы бир касиети түзүлгөн. Ал үчүнбилүү үчүн, бул схеманын элементтерин 2 позицияга жылдыруу менен таблица түрүндө жазуу керек. Андан кийин саптын номерине бөлүнүүчү сандарды белгилеңиз. Бардык сандар бөлүнгөн тилкенин саны жөнөкөй сан экени көрүнүп турат.
Ошол эле амалды башка жол менен жасаса болот. Бул үчүн Паскаль үч бурчтугунда сандар таблицадагы саптын номерине бөлүү калдыктары менен алмаштырылат. Андан кийин сызыктар пайда болгон үч бурчтукка кийинкиси мурункусунун биринчи элементинен оңго карай 2 мамычаны баштагыдай кылып жайгаштырылат. Анда сандары жөнөкөй сандар болгон мамычалар нөлдөн гана турат, ал эми курама сандары жок дегенде бир нөлдү камтыйт.
Ньютон биномиалы менен байланыш
Белгилүү болгондой, бул эки өзгөрмөнүн суммасынын терс эмес бүтүн даражасынын шарттарына кеңейүү формуласынын аталышы, ал төмөнкүдөй көрүнөт:
Алардагы коэффициенттер C m =n га барабар! / (m! (n - m)!), мында m - Паскаль үч бурчтугунун n катарындагы иреттик сан. Башкача айтканда, бул таблицада сиз каалаган сандарды мурда эки мүчөгө ажыратып, оңой эле чоңойто аласыз.
Ошентип, Паскаль үч бурчтугу менен Ньютондун биному бири-бири менен тыгыз байланышта.
Математика кереметтери
Паскаль үч бурчтугун кылдаттык менен карап чыгуу төмөнкүнү көрсөтөт:
- саптагы бардык сандардын суммасысериялык номер n (0дөн баштап санаганда) 2;
- эгерде сызыктар солго тегизделген болсо, анда Паскаль үч бурчтугунун диагоналдарын бойлото жайгашкан, ылдыйдан өйдө жана солдон оңго карай бара жаткан сандардын суммасы Фибоначчи сандарына барабар;
- биринчи "диагонал" ирети боюнча натурал сандардан турат;
- Паскаль үч бурчтугунун бирге кыскартылган каалаган элементи параллелограммдын ичинде жайгашкан бардык сандардын суммасына барабар, ал бул санда кесилишкен сол жана оң диагоналдар менен чектелген;
- диаграмманын ар бир сабында жуп жерлердеги сандардын суммасы так жерлердеги элементтердин суммасына барабар.
Сиерпински үч бурчтугу
Татаал маселелерди чечүү жагынан кыйла перспективдүү ушундай кызыктуу математикалык схема Паскаль тилиндеги сүрөттүн жуп сандарын бир түскө, ал эми так сандарын башка түскө боёо аркылуу алынат.
Сиерпински үч бурчтугун башка жол менен курууга болот:
- көлөкөлүү Паскаль схемасында ортоңку үч бурчтук башка түскө боёлгон, ал түпнуска тараптын ортоңку чекиттерин бириктирүү аркылуу түзүлгөн;
- бурчтарда жайгашкан үч боелбогон менен дал ушундай кылыңыз;
- процедура чексиз уланса, анда натыйжа эки түстүү фигура болушу керек.
Сиерпинский үч бурчтугунун эң кызыктуу касиети – анын өзүнө окшоштугу, анткени ал 2 эсеге кыскарган 3 нускадан турат. Бул бизге бул схеманы фракталдык ийри сызыктарга таандык кылууга мүмкүндүк берет, жана алар акыркы көрсөткөндөйизилдөө булуттарды, өсүмдүктөрдү, дарыя дельталарын жана ааламдын өзүн математикалык моделдөө үчүн эң ылайыктуу.
Бир нече кызыктуу тапшырмалар
Паскаль үч бурчтугу кайда колдонулат? Анын жардамы менен чечиле турган милдеттердин мисалдары абдан ар түрдүү жана илимдин ар кандай тармактарына таандык. Келгиле, кээ бир кызыктууларын карап көрөлү.
Маселе 1. Чеп дубалы менен курчалган кээ бир чоң шаардын бир гана кире бериш дарбазасы бар. Биринчи кесилиште чоң жол экиге бөлүнөт. Ошол эле башка бардык жерде болот. Шаарга 210 адам кирет. Алар жолуккан ар бир кесилиште алар экиге бөлүнүшөт. Бөлүшүү мүмкүн болбой калганда ар бир кесилиште канча адам табылат. Анын жообу Паскаль үч бурчтугунун 10-сапы (коэффицент формуласы жогоруда келтирилген), мында 210 сандары вертикалдык огтун эки тарабында жайгашкан.
Тапшырма 2. Түстөрдүн 7 аталышы бар. Сиз 3 гүлдөн турган букет жасашыңыз керек. Муну канча түрдүү жолдор менен жасоого болорун билүү талап кылынат. Бул маселе комбинаторика тармагынан. Аны чечүү үчүн биз кайрадан Паскаль үч бурчтугун колдонобуз жана үчүнчү позициядагы 7-сапка (эки учурда тең 0дөн баштап номерлөө) 35 санын алабыз.
Эми сиз улуу француз философу жана окумуштуусу Блез Паскаль эмнени ойлоп тапканын билесиз. Анын атактуу үч бурчтугу, туура колдонулганда, көптөгөн маселелерди чечүү үчүн чыныгы куткаруучу болуп калышы мүмкүн, айрыкча талаадакомбинаторика. Мындан тышкары, ал фракталдарга байланыштуу көптөгөн сырларды чечүү үчүн колдонулушу мүмкүн.
