Түз мейкиндикте изилденүүчү маанилүү геометриялык объект түз сызык болуп саналат. Үч өлчөмдүү мейкиндикте түз сызыктан тышкары тегиздик дагы бар. Эки объект тең багыт векторлорунун жардамы менен ыңгайлуу аныкталат. Бул эмне, бул векторлор түз сызык менен тегиздиктин теңдемелерин аныктоодо кантип колдонулат? Ушул жана башка суроолор макалада каралат.
Түз линия жана аны кантип аныктоо керек
Ар бир окуучу кайсы геометриялык объект жөнүндө айтып жатканын жакшы түшүнөт. Математика көз карашынан алганда, түз сызык - бул чекиттердин жыйындысы, алар ыктыярдуу жуптуу байланышта параллелдүү векторлордун жыйындысына алып келет. Сызыктын бул аныктамасы ага эки жана үч өлчөмдө теңдеме жазуу үчүн колдонулат.
Каралып жаткан бир өлчөмдүү объектти сүрөттөө үчүн теңдемелердин ар кандай түрлөрү колдонулат, алар төмөндөгү тизмеде келтирилген:
- жалпы көрүнүш;
- параметрдик;
- вектор;
- канондук же симметриялуу;
- сегменттерде.
Бул түрлөрдүн ар биринин башкаларга караганда айрым артыкчылыктары бар. Мисалы, сегменттердеги теңдеме түз сызыктын координата окторуна карата жүрүм-турумун изилдөөдө колдонууга ыңгайлуу, жалпы теңдеме берилген түз сызыкка перпендикуляр багытты табууда, ошондой эле анын бурчун эсептөөдө ыңгайлуу. x огу менен кесилиши (жалпак корпус үчүн).
Бул макаланын темасы түз сызыктын багыттоочу векторуна байланыштуу болгондуктан, биз мындан ары бул вектор фундаменталдык жана ачык камтылган теңдемени гана, б.а. вектордук туюнтманы карайбыз.
Вектор аркылуу түз сызыкты көрсөтүү
Бизде белгилүү координаттары бар v¯ вектору бар дейли (a; b; c). Үч координат бар болгондуктан, вектор мейкиндикте берилет. Аны тик бурчтуу координаттар системасында кантип сүрөттөш керек? Бул абдан жөнөкөй жасалат: үч огунун ар биринде узундугу вектордун тиешелүү координатасына барабар болгон сегмент графиги тартылат. xy, yz жана xz тегиздиктерине калыбына келтирилген үч перпендикулярдын кесилишкен чекити вектордун аягы болот. Анын башталышы чекит (0; 0; 0).
Бирок, вектордун берилген абалы жалгыз эмес. Ошо сыяктуу эле, анын башын мейкиндиктин каалаган чекитине коюу менен v¯ тартууга болот. Бул аргументтер вектордун жардамы менен белгилүү бир сызыкты орнотуу мүмкүн эмес экенин айтышат. Ал чексиз сандагы параллелдүү сызыктардын үй-бүлөсүн аныктайт.
Азыркандайдыр бир P(x0; y0; z0) мейкиндигин оңдоо. Ал эми шартты койдук: түз сызык П аркылуу өтүшү керек. Бул учурда v¯ вектору да ушул пунктту камтышы керек. Акыркы факт P жана v¯ аркылуу бир сапты аныктоого болот дегенди билдирет. Ал төмөнкү теңдеме катары жазылат:
Q=P + λ × v¯
Бул жерде Q сызыкка тиешелүү каалаган чекит. Бул чекитти λ ылайыктуу параметрин тандоо менен алса болот. Жазылган теңдеме вектордук теңдеме, ал эми v¯ түз сызыктын багыт вектору деп аталат. Аны P аркылуу өтө тургандай кылып жайгаштыруу жана анын узундугун λ параметри менен өзгөртүү менен Q чекитинин ар бир чекити түз сызык катары алабыз.
Координаталык түрдө теңдеме төмөнкүчө жазылат:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ × (a; b; c)
Ал эми ачык (параметрдик) формада төмөнкүнү жазсаңыз болот:
x=x0+ λ × a;
y=y0+ λ × b;
z=z0+ λ × c
Жогорудагы туюнтмалардагы үчүнчү координатты алып таштасак, анда тегиздиктеги түз сызыктын вектордук теңдемелерин алабыз.
Багыт векторун билүү кандай тапшырмалар үчүн пайдалуу?
Эреже катары, булар сызыктардын параллелдүүлүгүн жана перпендикулярдуулугун аныктоочу тапшырмалар. Ошондой эле багытты аныктоочу түз вектор түз сызыктар менен чекит менен түз сызыктын ортосундагы аралыкты эсептөөдө, түз сызыктын тегиздикке карата жүрүм-турумун сүрөттөө үчүн колдонулат.
Экисызыктар, эгерде алардын багыт векторлору болсо, параллелдүү болот. Демек, сызыктардын перпендикулярдуулугу алардын векторлорунун перпендикулярдуулугу аркылуу далилденет. Маселелердин мындай түрлөрүнө жооп алуу үчүн каралып жаткан векторлордун скалярдык көбөйтүндүсүн эсептөө жетиштүү.
Сиздердин жана чекиттердин ортосундагы аралыктарды эсептөө тапшырмаларында багыт вектору тиешелүү формулага ачык киргизилет. Аны жазып алалы:
d=|[P1P2¯ × v¯] | / |v¯|
Бул жерде P1P2¯ - P1 жана P чекиттеринде курулган 2 багытталган сегмент. P2 чекити ыктыярдуу, v¯ вектору менен сызыкта жатат, ал эми P1 чекит аралыкка чейин созулушу керек болгон чекит. аныкталсын. Ал көз карандысыз болушу мүмкүн же башка сызыкка же тегиздикке таандык болушу мүмкүн.
Сиздердин ортосундагы аралыкты алар параллель же кесилишкен учурда гана эсептөө мааниси бар экенин эске алыңыз. Эгер алар кесилишкен болсо, анда d нөлгө барабар.
Жогорудагы d формуласы тегиздик менен ага параллель түз сызыктын ортосундагы аралыкты эсептөө үчүн да жарактуу, бул учурда гана P1 тегиздикке таандык болушу керек.
Каралган векторду кантип колдонууну жакшыраак көрсөтүү үчүн бир нече маселелерди чечели.
Вектордук теңдеме маселеси
Түз сызык төмөнкү теңдеме менен сүрөттөлөөрү белгилүү:
y=3 × x - 4
Тийиштүү туюнтманы жазышыңыз кереквектор формасы.
Бул ар бир мектеп окуучусуна белгилүү, жалпы формада жазылган түз сызыктын типтүү теңдемеси. Келгиле, аны вектордук түрдө кантип кайра жазууну көрсөтөлү.
Сүрөт төмөнкүчө көрсөтүлүшү мүмкүн:
(x; y)=(x; 3 × x - 4)
Ачсаңыз, баштапкы теңдикке ээ болосуз. Эми анын оң тарабын эки векторго бөлөбүз, алардын биринде гана х бар, бизде:
(x; y)=(x; 3 × x) + (0; -4)
Кашанын ичинен x алып, аны грек символу менен белгилөө жана оң тараптын векторлорун алмаштыруу калды:
(x; y)=(0; -4) + λ × (1; 3)
Биз баштапкы туюнтумдун вектордук формасын алдык. Түз сызыктын багытынын вектордук координаттары (1; 3).
Саптардын салыштырмалуу абалын аныктоо тапшырмасы
Боштукта эки сап берилген:
(x; y; z)=(1; 0; -2) + λ × (-1; 3; 1);
(x; y; z)=(3; 2; 2) + γ × (1; 2; 0)
Алар параллельби, кесилишкенби же кесилишкенби?
Нөл эмес векторлор (-1; 3; 1) жана (1; 2; 0) бул сызыктар үчүн жол көрсөткүч болот. Бул теңдемелерди параметрдик формада туюнтуп, биринчинин координаталарын экинчисине алмаштыралы. Биз алабыз:
x=1 - λ;
y=3 × λ;
z=-2 + λ;
x=3 + γ=1 - λ=>γ=-2 - λ;
y=2 + 2 × γ=3 × λ=> γ=3 / 2 × λ - 1;
z=2=-2 + λ=> λ=4
Табылган λ параметрин жогорудагы эки теңдемеге алмаштырсак:
γ=-2 - λ=-6;
γ=3 / 2 × λ - 1=5
γ параметри бир эле учурда эки башка маанини ала албайт. Бул сызыктардын бирдиктүү бир чекити жок, башкача айтканда, алар кесилишет дегенди билдирет. Алар параллель эмес, анткени нөлдөн башка векторлор бири-бирине параллель эмес (алардын параллелдүүлүгү үчүн бир векторго көбөйтүү менен экинчинин координаталарына алып келе турган сан болушу керек).
Самолёттун математикалык сүрөттөлүшү
Тегиздикти мейкиндикке коюу үчүн, биз жалпы теңдемени беребиз:
A × x + B × y + C × z + D=0
Бул жерде латын баш тамгалары белгилүү сандарды билдирет. Алардын алгачкы үчөө тегиздиктин нормалдуу векторунун координаталарын аныктайт. Эгерде ал n¯ менен белгиленсе, анда:
n¯=(A; B; C)
Бул вектор тегиздикке перпендикуляр, ошондуктан ал багыттоочу деп аталат. Анын билими, ошондой эле тегиздикке таандык каалаган чекиттин белгилүү координаттары акыркыны өзгөчө аныктайт.
Эгерде P(x1; y1; z1) чекитине таандык болсо учак, анда D кесилиши төмөнкүдөй эсептелет:
D=-1 × (A × x1+ B × y1 + C × z1)
Келгиле, учактын жалпы теңдемесин колдонуп бир нече маселелерди чечели.
Тапшырмаучактын нормал векторун табуу
Учак төмөнкүчө аныкталган:
(y - 3) / 2 + (x + 1) / 3 - z / 4=1
Анын багыт векторун кантип тапса болот?
Жогорудагы теориядан n¯ нормалдуу векторунун координаттары өзгөрмөлөрдүн алдындагы коэффициенттер экени келип чыгат. Ушуга байланыштуу n¯ табуу үчүн теңдемени жалпы түрдө жазуу керек. Бизде:
1 / 3 × x + 1 / 2 × y - 1 / 4 × z - 13 / 6=0
Анда учактын нормалдуу вектору:
n¯=(1/3; 1/2; -1/4)
Тегиздиктин теңдемесин түзүү маселеси
Үч чекиттин координаттары берилген:
M1(1; 0; 0);
M2(2; -1; 5);
M3(0; -2; -2)
Бул чекиттерди камтыган учактын теңдемеси кандай болот.
Бир сызыкка кирбеген үч чекит аркылуу бир гана тегиздик тартууга болот. Анын теңдемесин табуу үчүн адегенде n¯ тегиздигинин багыт векторун эсептейбиз. Бул үчүн биз төмөнкүдөй иштейбиз: тегиздикке тиешелүү ыктыярдуу эки векторду таап, алардын вектордук көбөйтүндүсүн эсептейбиз. Бул тегиздикке перпендикуляр болгон векторду берет, башкача айтканда, n¯. Бизде:
M1M2¯=(1; -1; 5); M1M3¯=(-1; -2; -2);
n¯=[M1M2¯ × M1M 3¯]=(12; -3; -3)
Чизүү үчүн M1 чекитти алыңызтегиздик туюнтмалар. Биз алабыз:
D=-1 × (12 × 1 + (-3) × 0 + (-3) × 0)=-12;
12 × x - 3 × y - 3 × z - 12=0=>
4 × x - y - z - 4=0
Биз мейкиндиктеги тегиздиктин жалпы түрдөгү туюнтмасын алгач анын багыт векторун аныктоо менен алдык.
Тегиздиктер менен маселелерди чечүүдө кайчылаш продукт касиетин эстен чыгарбоо керек, анткени ал нормалдуу вектордун координаталарын жөнөкөй жол менен аныктоого мүмкүндүк берет.
