Матрицалардын көбөйтүндүсүн кантип тапса болот. Матрицаны көбөйтүү. Матрицалардын скалярдык көбөйтүндүсү. Үч матрицанын продуктусу

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Акыркы өзгөртүү: 2023-12-17 05:34

Матрицалар (сандык элементтери бар таблицалар) ар кандай эсептөөлөр үчүн колдонулушу мүмкүн. Алардын айрымдары санга, векторго, башка матрицага, бир нече матрицага көбөйтүү. продукт кээде туура эмес болуп саналат. Эсептөө иш-аракеттерин аткаруу эрежелерин билбегендиктин натыйжасы ката натыйжа болуп саналат. Келиңиз, көбөйтүүнү кантип жасоону карап көрөлү.

Матрица жана сан

Эң жөнөкөй нерседен баштайлы - сандар менен таблицаны белгилүү бир мааниге көбөйтүү. Мисалы, бизде a_ij элементтери бар А матрицасы бар (i - саптардын номерлери жана j - мамычанын номерлери) жана e саны. Матрицанын e санына көбөйтүлүшү төмөнкү формула боюнча табылган b_ij элементтери бар В матрицасы болот:

b_ij=e × a_ij.

Т. e. b₁₁ элементин алуу үчүн a₁₁ элементин алып, аны керектүү санга көбөйтүү керек, b_{12 алуу үчүн} a₁₂ элементинин жана e санынын, ж.б.

көбөйтүндүсүн табуу талап кылынат.

Сүрөттө берилген №1 маселени чечели. В матрицасын алуу үчүн, жөн гана Адан элементтерди 3кө көбөйтүү керек:

1. a₁₁ × 3=18. Бул маанини B матрицасына №1 тилке менен №1 сап кесилишкен жерге жазабыз.
2. a₂₁ × 3=15. Биз b₂₁ элементин алдык.
3. a₁₂ × 3=-6. Биз b₁₂ элементин алдык. Аны B матрицасына №2 мамыча менен №1 сап кесилишкен жерге жазабыз.
4. a₂₂ × 3=9. Бул натыйжа b₂₂ элементи.
5. a₁₃ × 3=12. Бул санды матрицага b₁₃ элементинин ордуна киргизиңиз.
6. a₂₃ × 3=-3. Акыркы алынган сан - b₂₃ элементи.

Ошентип, сандык элементтери бар тик бурчтуу массив алдык.

18	–6	12
15	9	–3

Векторлор жана матрицалардын көбөйтүндүсүнүн болушунун шарты

Математика сабагында «вектор» деген нерсе бар. Бул термин а₁ дан чейин иреттелген маанилер топтомун билдирет. Алар вектордук мейкиндиктин координаттары деп аталат жана мамыча түрүндө жазылат. Ошондой эле "транспозицияланган вектор" деген термин бар. Анын компоненттери сап катары тизилген.

Векторлорду матрица деп атоого болот:

• мамыча вектору – бир мамычадан курулган матрица;
• катар вектору бир гана сапты камтыган матрица.

Бүткөндөкөбөйтүү амалдарынын матрицаларынын үстүнөн, продукт бар үчүн бир шарт бар экенин эстен чыгарбоо керек. A × B эсептөө аракети А таблицасындагы мамычалардын саны В таблицасындагы саптардын санына барабар болгондо гана аткарылышы мүмкүн. Эсептөөнүн натыйжасында келип чыккан матрицада дайыма А таблицасындагы саптардын саны жана мамычалардын саны болот. B таблицада.

Көбөйтүүдө матрицаларды (көбөйтүүчүлөрдү) кайра уюштуруу сунушталбайт. Алардын көбөйтүндүсү, адатта, көбөйтүүнүн коммутативдик (орун алмаштыруу) мыйзамына туура келбейт, б.а. А × В операциясынын натыйжасы В × А операциясынын натыйжасына барабар эмес. Бул өзгөчөлүк көбөйтүндүн алмаштырылбоочулугу деп аталат. матрицалар. Кээ бир учурларда, A × B көбөйтүүнүн натыйжасы B × A көбөйтүүнүн натыйжасына барабар, б.а., продукт коммутативдик. A × B=B × A теңдигине ээ болгон матрицалар алмаштыруу матрицалары деп аталат. Төмөндө мындай таблицалардын мисалдарын караңыз.

Мамыча векторуна көбөйтүү

Матрицаны мамычанын векторуна көбөйтүүдө биз продукттун бар болуу шартын эске алышыбыз керек. Таблицадагы мамычалардын саны (n) векторду түзгөн координаттардын санына дал келиши керек. Эсептөөнүн натыйжасы трансформацияланган вектор болуп саналат. Анын координаттарынын саны таблицадагы сызыктардын санына (м) барабар.

А матрицасы жана х вектору бар болсо, y векторунун координаттары кантип эсептелет? Эсептөөлөр үчүн түзүлгөн формулалар:

y₁=a₁₁x₁ + a_{12 x}2 _{+ … + a}1 _x , y₂=a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a 2n_x ,

………………………………, y_m=a_m1x₁ + a_{m2 x}2 _{+ … + a}mn_x ,

мында x₁, …, x х-векторунун координаттары, m – матрицадагы катарлардын саны жана сан жаңы y- векторундагы координаттардын саны, n - матрицадагы мамычалардын саны жана x векторундагы координаттардын саны, a₁₁, a_{12, …, a}mn– A матрицанын элементтери.

Ошентип, жаңы вектордун i-компонентин алуу үчүн скалярдык көбөйтүндү аткарат. i-катар вектору А матрицасынан алынган жана ал жеткиликтүү x векторуна көбөйтүлгөн.

Келгиле, №2 маселени чечели. Матрица менен вектордун көбөйтүндүсүн таба аласыз, анткени Ада 3 мамыча бар жана х 3 координатадан турат. Натыйжада, биз 4 координаты бар мамычанын векторун алышыбыз керек. Жогорудагы формулаларды колдонолу:

1. Эсептөө y₁. 1 × 4 + (–1) × 2 + 0 × (–4). Акыркы маани 2.
2. Эсептөө y₂. 0 × 4 + 2 × 2 + 1 × (–4). Эсептөөдө биз 0 алабыз.
3. Эсептөө y₃. 1 × 4 + 1 × 2 + 0 × (–4). Көрсөтүлгөн факторлордун продуктуларынын суммасы 6.
4. Эсептөө y₄. (–1) × 4 + 0 × 2 + 1 × (–4). Координаты -8.

Сатып вектор-матрицаны көбөйтүү

Бир нече мамычасы бар матрицаны сап векторуна көбөйтө албайсыз. Мындай учурларда иштин болушунун шарты канааттандырылбайт. Бирок сап векторун матрицага көбөйтүү мүмкүн. Булвектордогу координаттардын саны менен таблицадагы катарлардын саны дал келгенде эсептөө операциясы аткарылат. Вектор менен матрицанын натыйжасынын натыйжасы жаңы сап вектору болуп саналат. Анын координаттарынын саны матрицадагы мамычалардын санына барабар болушу керек.

Жаңы вектордун биринчи координатын эсептөө таблицадагы сап векторун жана биринчи мамыча векторун көбөйтүүнү камтыйт. Экинчи координат да ушундай эле жол менен эсептелет, бирок биринчи мамычанын векторунун ордуна экинчи мамычанын вектору алынат. Бул жерде координаттарды эсептөөнүн жалпы формуласы:

y_k=a_1kx₁+ a_2kx₂ + … + a_mkx _m, мында y_k - y-векторунун координаты, (k 1 менен n ортосунда), m - матрицадагы саптардын саны жана координаттардын саны x-векторунда, n - матрицадагы мамычалардын саны жана y-векторундагы координаттардын саны, алфавиттик-сандык индекстери бар a - A матрицасынын элементтери.

Тик бурчтуу матрицалардын продуктысы

Бул эсептөө татаал сезилиши мүмкүн. Бирок, көбөйтүү оңой жасалат. Келгиле, аныктама менен баштайлы. m саптары жана n мамычалары бар А матрицанын жана n саптары жана p мамылары бар B матрицасынын көбөйтүлүшү m саптары жана p мамылары бар C матрицасы, мында c_ij элементи А таблицасынан i-катар жана В таблицасынан j-тилке элементтеринин көбөйтүлгөн суммасы. Жөнөкөй сөз менен айтканда, c_ij элементи i-катардын скалярдык көбөйтүндүсү болуп саналат. А таблицасынан вектор жана B таблицасынан j-тилке вектору.

Эми тик бурчтуу матрицалардын көбөйтүндүсүн кантип табууга болорун иш жүзүндө аныктап көрөлү. Бул учун No 3 маселени чечели Продукциянын болушунун шарты канааттандырылган. c_ij:

элементтерин эсептей баштайлы

1. С матрицасында 2 сап жана 3 тилке болот.
2. Элементти эсептөө c₁₁. Ал үчүн А матрицасынан №1 саптын жана В матрицасынан №1 мамычанын скалярдык көбөйтүндүсүн аткарабыз. c₁₁=0 × 7 + 5 × 3 + 1 × 1=16. Андан кийин биз саптарды, мамычаларды гана өзгөртүп (элементтин индексине жараша) окшош жол менен улантабыз.
3. c₁₂=12.
4. c₁₃=9.
5. c₂₁=31.
6. c₂₂=18.
7. c₂₃=36.

Элементтер эсептелген. Эми кабыл алынган сандардан тик бурчтуу блок жасоо гана калды.

16	12	9
31	18	36

Үч матрицаны көбөйтүү: теориялык бөлүгү

Үч матрицанын көбөйтүндүсүн таба аласызбы? Бул эсептөө операциясы мүмкүн. Натыйжа бир нече жол менен алынышы мүмкүн. Мисалы, 3 чарчы үстөл (ошол эле тартипте) бар - A, B жана C. Продукцияны эсептөө үчүн сиз:

1. Адегенде А менен Вны көбөйтүңүз. Андан кийин натыйжаны Cга көбөйтүңүз.
2. Адегенде В жана С көбөйтүндүсүн табыңыз. Андан соң А матрицасын натыйжага көбөйтүңүз.

Эгер сизге тик бурчтуу матрицаларды көбөйтүү керек болсо, анда алгач бул эсептөө операциясы мүмкүн экенине ынанышыңыз керек. керекA × B жана B × C өнүмдөрү бар.

Кошумча көбөйтүү ката эмес. "Матрицаны көбөйтүүнүн ассоциативдүүлүгү" деген нерсе бар. Бул термин теңдикти билдирет (A × B) × C=A × (B × C).

Үч матрицаны көбөйтүү практикасы

Квадрат матрицалар

Кичинекей квадрат матрицаларды көбөйтүү менен баштаңыз. Төмөнкү сүрөттө биз чечишибиз керек болгон №4 маселе көрсөтүлгөн.

Биз ассоциация касиетин колдонобуз. Алгач биз же А менен В, же В жана С көбөйтөбүз. Биз бир гана нерсени эстейбиз: факторлорду алмаштыра албайсыз, башкача айтканда, B × A же C × B көбөйтө албайсыз. Бул көбөйтүү менен биз бир нерсени алабыз. ката натыйжа.

Чечимдин аткарылышы.

Биринчи кадам. Жалпы көбөйтүндү табуу үчүн, биз адегенде А менен В көбөйтөбүз. Эки матрицаны көбөйтүүдө, биз жогоруда айтылган эрежелерди жетекчиликке алабыз. Ошентип, A жана B көбөйтүүнүн натыйжасы 2 сап жана 2 мамычасы бар D матрицасы болот, башкача айтканда, тик бурчтуу массив 4 элементти камтыйт. Келгиле, аларды эсептөө менен табалы:

• d₁₁=0 × 1 + 5 × 6=30;
• d₁₂=0 × 4 + 5 × 2=10;
• d₂₁=3 × 1 + 2 × 6=15;
• d₂₂=3 × 4 + 2 × 2=16.

Аралык натыйжа даяр.

30	10
15	16

Экинчи кадам. Эми D матрицасын С матрицасына көбөйтөлү. Жыйынтыгында 2 сап жана 2 мамычасы бар квадрат G матрицасы пайда болушу керек. Элементтерди эсептөө:

• g₁₁=30 × 8 + 10 × 1=250;
• g₁₂=30 × 5 + 10 × 3=180;
• g₂₁=15 × 8 + 16 × 1=136;
• g₂₂=15 × 5 + 16 × 3=123.

Ошентип, квадраттык матрицалардын көбөйтүлүшүнүн натыйжасы эсептелген элементтери бар G таблицасы болуп саналат.

250	180
136	123

Төрт бурчтуу матрицалар

Төмөнкү сүрөттө №5 маселе көрсөтүлгөн. Ал тик бурчтуу матрицаларды көбөйтүп, чечимди табуу керек.

Келгиле, A × B жана B × C продуктуларынын болушунун шарты аткарылган-канааттанбаганын текшерип көрөлү. Көрсөтүлгөн матрицалардын буйруктары көбөйтүүнү жүргүзүүгө мүмкүндүк берет. Маселени чечип баштайлы.

Чечимдин аткарылышы.

Биринчи кадам. D алуу үчүн Вды С менен көбөйтүңүз. В матрицасында 3 сап жана 4 тилке бар, ал эми С матрицасында 4 сап жана 2 тилке бар. Бул биз 3 сап жана 2 мамычасы бар D матрицасын алабыз дегенди билдирет. Келгиле, элементтерди эсептеп көрөлү. Бул жерде 2 эсептөө мисалы:

• d₁₁=3 × 0 + 0 × 0 + 1 × 0 + 0 × 1=0;
• d₁₂=3 × 2 + 0 × 3 + 1 × 1 + 0 × 6=7.

Маселени чечүүнү улантып жатабыз. Кийинки эсептөөлөрдүн натыйжасында биз d₂₁, d₂ маанилерин таптык 2, d₃₁ жана d₃₂. Бул элементтер тиешелүүлүгүнө жараша 0, 19, 1 жана 11. Келгиле, табылган маанилерди тик бурчтуу массивге жазалы.

0	7
0	19
1	11

Экинчи кадам. Акыркы F матрицасын алуу үчүн Aны D менен көбөйтүңүз. Анын 2 сапы жана 2 мамычасы болот. Элементтерди эсептөө:

• f₁₁=2 × 0 + 6 × 0 + 1 × 1=1;
• f₁₂=2 × 7 + 6 × 19 + 1 × 11=139;
• f₂₁=0 × 0 + 1 × 0 + 3 × 1=3;
• f₂₂=0 × 7 + 1 × 19 + 3 × 11=52.

Үч матрицаны көбөйтүүнүн жыйынтыгы болгон тик бурчтуу массив түзүңүз.

1	139
3	52

Түздөн-түз ишке киришүү

Матрицалардын Кронеккер продуктусун түшүнүү өтө кыйын. Анын дагы кошумча аталышы бар - түз чыгарма. Бул термин эмнени билдирет? Бизде m × n тартиптеги А таблицасы жана p × q тартиптеги В таблицасы бар дейли. А матрицасы менен В матрицасынын түз көбөйтүлүшү mp × nq иреттүү матрицасы.

Бизде A, B 2 квадраттык матрица бар, алар сүрөттө көрсөтүлгөн. Биринчисинде 2 мамыча жана 2 сап, экинчисинде 3 тилке жана 3 сап бар. Түз өндүрүмдүн натыйжасында пайда болгон матрица 6 саптан жана так бирдей сандагы тилкелерден турганын көрөбүз.

Жаңы матрицанын элементтери түз продуктта кантип эсептелет? Сүрөттү талдап көрсөңүз, бул суроого жооп табуу абдан оңой. Алгач биринчи сапты толтуруңуз. А таблицасынын үстүнкү сабынан биринчи элементти алып, биринчи катардын элементтерине ырааттуу түрдө көбөйтүңүзB таблицасынан. Андан кийин А таблицасынын биринчи катарынын экинчи элементин алып, В таблицасынын биринчи катарынын элементтерине ырааттуу түрдө көбөйтүңүз. Экинчи сапты толтуруу үчүн А таблицасынын биринчи катарындагы биринчи элементти кайрадан алыңыз жана аны B таблицасынын экинчи катарынын элементтерине көбөйтүңүз.

Түз көбөйтүлүүчү аркылуу алынган акыркы матрица блок матрица деп аталат. Эгерде фигураны дагы бир жолу талдап көрсөк, анда биздин натыйжа 4 блоктон турганын көрүүгө болот. Алардын бардыгына В матрицасынын элементтери кирет. Мындан тышкары, ар бир блоктун элементи А матрицасынын белгилүү бир элементине көбөйтүлөт. Биринчи блокто бардык элементтер a₁₁ көбөйтүлөт. экинчи - a_{12боюнча, үчүнчүдө - a}21 _{боюнча, төртүнчүдө - a}22 _{боюнча.}

Өнүмдү аныктоочу

Матрицаларды көбөйтүү темасын кароодо «матрицалардын көбөйтүлүшүнүн аныктоочусу» деген терминди эске алуу зарыл. Детерминант деген эмне? Бул чарчы матрицанын маанилүү мүнөздөмөсү, бул матрицага берилген белгилүү бир маани. Детерминанттын түз мааниси det.

Эки мамыча жана эки саптан турган А матрицасы үчүн аныктоочуну табуу оңой. Белгилүү элементтердин продуктуларынын ортосундагы айырма болгон кичинекей формула бар:

det A=a₁₁ × a₂₂ – a₁₂ × a₂₁.

Экинчи даражадагы таблица үчүн аныктоочуну эсептөөнүн мисалын карап көрөлү. А матрицасы бар, анда a₁₁=2, a₁₂=3, a₂₁=5 жана a22_{=1. Детерминантты эсептөө үчүн формуланы колдонуңуз:}

det A=2 × 1 – 3 × 5=2 – 15=–13.

3 × 3 матрицалар үчүн аныктоочу татаалыраак формула менен эсептелет. Ал төмөндө А матрицасы үчүн берилген:

det A=a₁₁a₂₂a₃₃ + a_{12 a}23_a31 _{+ a}13_a21_{a 32} – a₁₃a₂₂a₃₁ – a₁₁ a₂₃a₃₂ – a₁₂a₂₁ a₃₃.

Формуланы эстеп калуу үчүн биз үч бурчтук эрежесин ойлоп таптык, ал сүрөттө көрсөтүлгөн. Биринчиден, негизги диагонал элементтери көбөйтүлөт. Алынган мааниге кызыл капталдары бар үч бурчтуктун бурчтары менен көрсөтүлгөн элементтердин продуктулары кошулат. Андан кийин, экинчи даражадагы диагонал элементтеринин көбөйтүндүсү алынып, көк түстөгү үч бурчтуктун бурчтары менен көрсөтүлгөн элементтердин көбөйтүндүлөрү алынып салынат.

Эми матрицалардын көбөйтүндүсүнүн аныктоочусу жөнүндө сүйлөшөлү. Бул көрсөткүч көбөйтүүчү таблицалардын аныктоочуларынын көбөйтүндүсүнө барабар деген теорема бар. Муну бир мисал менен ырастайлы. Бизде a₁₁=2, a₁₂=3, a₂₁=1 жана aжазуулары бар А матрицасы бар 22_{=1 жана B матрицасы b}11_{=4, b}12_{=5, b} 21 _{=1 жана b}22_{=2. А жана В матрицаларынын детерминанттарын, A × B продуктусун жана бул көбөйтүндүн аныктоочусун табыңыз.}

Чечимдин аткарылышы.

Биринчи кадам. А үчүн аныктоочуну эсептеңиз: det A=2 × 1 – 3 × 1=–1. Андан кийин, B үчүн аныктоочуну эсептеңиз: det B=4 × 2 – 5 × 1=3.

Экинчи кадам. Келгиле табабызпродукт A × B. Жаңы матрицаны C тамгасы менен белгилеңиз. Анын элементтерин эсептеңиз:

• c₁₁=2 × 4 + 3 × 1=11;
• c₁₂=2 × 5 + 3 × 2=16;
• c₂₁=1 × 4 + 1 × 1=5;
• c₂₂=1 × 5 + 1 × 2=7.

Үчүнчү кадам. С үчүн аныктоочуну эсептегиле: det C=11 × 7 – 16 × 5=–3. Баштапкы матрицалардын детерминанттарын көбөйтүү жолу менен алынышы мүмкүн болгон маани менен салыштырыңыз. Сандар бирдей. Жогорудагы теорема туура.

Товардын даражасы

Матрицанын рангы – сызыктуу көз карандысыз саптардын же мамычалардын максималдуу санын чагылдырган мүнөздөмө. Даражаны эсептөө үчүн матрицанын элементардык трансформациялары аткарылат:

• эки параллелдүү катарды кайра иретке келтирүү;
• таблицадан белгилүү бир саптын бардык элементтерин нөл эмес санга көбөйтүү;
• бир саптын элементтерине башка саптын элементтерин кошуу, белгилүү бир санга көбөйтүлдү.

Элементардык трансформациялардан кийин нөл эмес саптардын санын караңыз. Алардын саны матрицанын даражасы болуп саналат. Мурунку мисалды карап көрөлү. Ал 2 матрицаны көрсөттү: a₁₁=2 элементтери бар A, a₁₂=3, a₂₁=1 жана a₂₂ =1 жана B элементтери менен b₁₁=4, b₁₂=5, b ₂₁=1 жана b₂₂=2. Көбөйтүүнүн натыйжасында алынган С матрицасын да колдонобуз. Эгерде биз элементардык трансформацияларды аткарсак, анда жөнөкөйлөтүлгөн матрицаларда нөлдүк катар болбойт. Бул А таблицасынын даражасын да, В таблицасынын даражасын да, даражасын билдиретC таблицасы 2.

Эми матрицалардын көбөйтүндүсүнүн даражасына өзгөчө көңүл буралы. Сандык элементтерди камтыган таблицалардын көбөйтүндүсүнүн даражасы факторлордун эч биринин даражасынан ашпайт деген теорема бар. Муну далилдесе болот. А к × s матрицасы, ал эми В s × m матрицасы болсун. А менен Внын көбөйтүлүшү Cга барабар.

Жогорудагы сүрөттү изилдеп көрөлү. Бул С матрицасынын биринчи мамычасын жана анын жөнөкөйлөштүрүлгөн белгиленишин көрсөтөт. Бул тилке А матрицасына кирген мамычалардын сызыктуу айкалышы. Ушул сыяктуу эле, С тик бурчтуу массивинен башка каалаган мамыча жөнүндө айтууга болот. Ошентип, С таблицасынын мамыча векторлору түзгөн субмейкиндик төмөнкү мейкиндикте болот. А таблицасынын мамыча векторлору. Ушуга ылайык, №1 подпространствонун өлчөмү №2 кичи мейкиндиктин өлчөмүнөн ашпайт. Бул С таблицасынын мамычаларындагы ранг А таблицасынын мамычаларынын рангынан ашпайт дегенди билдирет, б.а., r(C) ≦ r(A). Ушундай эле жол менен талашсак, анда биз С матрицасынын саптары В матрицасынын саптарынын сызыктуу айкалышы экенине ынансак болот. Бул r(C) ≦ r(B) теңсиздигин билдирет.

Матрицалардын көбөйтүндүсүн кантип табуу керек - бул өтө татаал тема. Аны оңой эле өздөштүрсө болот, бирок мындай натыйжага жетүү үчүн бардык учурдагы эрежелерди жана теоремаларды жаттоого көп убакыт коротушуңуз керек болот.