Матрица – математикадагы өзгөчө объект. Ал белгилүү бир сандагы катар жана мамычалардан турган тик бурчтуу же чарчы таблица түрүндө сүрөттөлөт. Математикада көлөмү же мазмуну боюнча айырмаланган матрицалардын түрлөрү көп. Анын катарларынын жана мамычаларынын номерлери буйруктар деп аталат. Бул объекттер математикада сызыктуу теңдемелердин системаларын жазууну уюштуруу жана алардын натыйжаларын ыңгайлуу издөө үчүн колдонулат. Матрицаны колдонгон теңдемелер Карл Гаусс, Габриэль Крамер методу, минорлор жана алгебралык толуктоолор жана башка көптөгөн жолдор менен чечилет. Матрицалар менен иштөөдө негизги көндүм аларды стандарттуу формага келтирүү болуп саналат. Бирок, адегенде математиктер матрицалардын кандай түрлөрүн айырмалай турганын аныктап алалы.
Нол түрү
Бул түрдөгү матрицанын бардык компоненттери нөлгө барабар. Ошол эле учурда, анын саптары менен мамычаларынын саны такыр башка.
Чарчы түрү
Матрицанын бул түрүнүн тилкелеринин жана саптарынын саны бирдей. Башкача айтканда, бул "төрт бурчтуу" формадагы таблица. Анын мамычаларынын (же саптарынын) саны тартип деп аталат. Өзгөчө учурларга экинчи тартиптеги (2x2 матрица), төртүнчү тартиптеги (4x4), онунчу (10x10), он жетинчи (17x17) жана башка матрицанын болушу саналат.
Мамыча векторы
Бул үч сандык маанини камтыган бир гана мамычаны камтыган матрицалардын эң жөнөкөй түрлөрүнүн бири. Ал сызыктуу теңдемелер тутумундагы эркин терминдердин сериясын (өзгөрмөлөргө көз каранды эмес сандар) билдирет.
Сатар вектор
Мурункуга окшош көрүү. Өз кезегинде бир сапта уюштурулган үч сандык элементтен турат.
Диагоналдык түрү
Негизги диагоналдын компоненттери гана (жашыл түс менен белгиленген) матрицанын диагоналдык формасында сандык маанилерди алат. Негизги диагональ жогорку сол бурчтагы элементтен башталып, тиешелүүлүгүнө жараша төмөнкү оң жактагы элемент менен аяктайт. Калган компоненттер нөлгө барабар. Диагоналдык түрү кандайдыр бир тартиптеги чарчы матрица гана. Диагоналдык формадагы матрицалардын ичинен скалярды бөлүп көрсөтүүгө болот. Анын бардык компоненттери бирдей мааниге ээ.
Идентификация матрицасы
Диагоналдык матрицанын түрчөлөрү. Анын бардык сандык маанилери бирдиктер болуп саналат. Матрицалык таблицалардын бир түрүн колдонуп, анын негизги трансформацияларын аткарыңыз же түпнускага тескери матрицаны табыңыз.
Канондук түрү
Матрицанын канондук формасы негизгилеринин бири болуп эсептелет; ага кастинг көбүнчө иштөө үчүн керек болот. Канондук матрицадагы саптардын жана мамычалардын саны ар кандай, ал сөзсүз түрдө квадрат түрүнө тиешелүү эмес. Ал бир аз окшоштук матрицасына окшош, бирок анын учурда негизги диагоналынын бардык компоненттери бирге барабар мааниге ээ боло бербейт. Эки же төрт негизги диагоналдык бирдиктер болушу мүмкүн (баары матрицанын узундугуна жана туурасына жараша болот). Же такыр эле бирдиктер жок болушу мүмкүн (анда нөл деп эсептелет). Канондук типтин калган компоненттери, ошондой эле диагоналдык жана иденттүүлүктүн элементтери нөлгө барабар.
Үч бурчтуктун түрү
Матрицанын эң маанилүү түрлөрүнүн бири, аны аныктоочу издөөдө жана жөнөкөй операцияларды аткарууда колдонулат. Үч бурчтук түрү диагоналдык түрдөн келет, ошондуктан матрица да квадрат болуп саналат. Матрицанын үч бурчтуу көрүнүшү үстүнкү үч бурчтук жана төмөнкү үч бурчтук болуп бөлүнөт.
Жогорку үч бурчтук матрицада (1-сүрөт) негизги диагоналдан жогору турган элементтер гана нөлгө барабар мааниге ээ. Диагоналдын компоненттери жана анын астындагы матрицанын бөлүгү сандык маанилерди камтыйт.
Төмөнкү үч бурчтук матрицада (2-сүрөт), тескерисинче, матрицанын төмөнкү бөлүгүндө жайгашкан элементтер нөлгө барабар.
Кадамдык матрица
Көрүү матрицанын рангын табуу үчүн, ошондой эле алар боюнча элементардык операциялар үчүн (үч бурчтук түрү менен бирге) керек. Кадамдык матрица ушундай аталды, анткени ал нөлдөрдүн мүнөздүү "кадамдарын" камтыйт (сүрөттө көрсөтүлгөндөй). Кадамдуу типте нөлдөрдүн диагоналы түзүлөт (негизгиси сөзсүз эмес), бул диагонал астындагы бардык элементтер да нөлгө барабар маанилерге ээ. Төмөнкү милдеттүү шарт болуп саналат: кадам матрицасында нөл сап болсо, анын астындагы калган саптар да сандык маанилерди камтыбайт.
Ошентип, биз алар менен иштөө үчүн керектүү матрицалардын эң маанилүү түрлөрүн карап чыктык. Эми матрицаны талап кылынган формага айландыруу маселесин чечели.
Үч бурчтук формага кичирейтүү
Матрицаны үч бурчтук формага кантип алып келүү керек? Көбүнчө тапшырмаларда анын аныктоочусун табуу үчүн матрицаны үч бурчтук формага айландыруу керек, башкача айтканда детерминант деп аталат. Бул процедураны аткарып жатканда, матрицанын негизги диагоналын "сактоо" өтө маанилүү, анткени үч бурчтуу матрицанын аныктоочусу так анын негизги диагоналынын компоненттеринин продуктусу болуп саналат. Детерминантты табуунун альтернативалуу ыкмаларын да эске сала кетейин. Чарчы типтеги аныктоочу атайын формулалар аркылуу табылат. Мисалы, сиз үч бурчтук ыкмасын колдоно аласыз. Башка матрицалар үчүн сап, тилке же алардын элементтери боюнча ажыратуу ыкмасы колдонулат. Ошондой эле матрицанын кичи жана алгебралык толуктоолору ыкмасын колдонсоңуз болот.
Чоо-жайыКелгиле, кээ бир тапшырмалардын мисалдары менен матрицаны үч бурчтук формага келтирүү процессин талдап көрөлү.
1-тапшырма
Белтирилген матрицаны үч бурчтук формага келтирүү ыкмасын колдонуу менен аны аныктоочу табуу керек.
Бизге берилген матрица үчүнчү тартиптеги квадраттык матрица. Ошондуктан, аны үч бурчтук формага айландыруу үчүн биринчи мамычанын эки компонентин жана экинчинин бир компонентин жокко чыгарышыбыз керек.
Аны үч бурчтук формага келтирүү үчүн трансформацияны матрицанын ылдыйкы сол бурчунан - 6 санынан баштаңыз. Аны нөлгө айландыруу үчүн биринчи катарды үчкө көбөйтүп, акыркы саптан кемитүү керек.
Маанилүү! Жогорку сызык өзгөрбөйт, бирок баштапкы матрицадагыдай эле калат. Түпнускадан төрт эсе көп сап жазуунун кереги жок. Бирок компоненттерин жокко чыгаруу керек болгон саптардын маанилери тынымсыз өзгөрүп турат.
Кийинки маанини карайлы – биринчи мамычанын экинчи катарынын элементи, саны 8. Биринчи сапты төрткө көбөйтүп, экинчи саптан кемитип алалы. Биз нөл алабыз.
Акыркы маани гана калат - экинчи мамычанын үчүнчү саптын элементи. Бул сан (-1). Аны нөлгө айландыруу үчүн биринчи саптан экинчисин алып салыңыз.
Текшерели:
detA=2 x (-1) x 11=-22.
Демек, тапшырманын жообу -22.
2-тапшырма
Матрицаны үч бурчтук формага келтирүү менен анын аныктоочусун табышыбыз керек.
Матрица көрсөтүлгөнчарчы тибине кирет жана төртүнчү тартиптеги матрица болуп саналат. Бул биринчи тилкенин үч компоненти, экинчи тилкенин эки компоненти жана үчүнчү тилкенин бир компоненти нөлгө барабар болушу керек дегенди билдирет.
Келгиле, анын кыскарышын төмөнкү сол бурчта жайгашкан элементтен - 4 санынан баштайлы. Бул санды нөлгө айлантышыбыз керек. Муну жасоонун эң оңой жолу - үстүнкү катарды төрткө көбөйтүп, андан кийин аны төртүнчү катардан алып салуу. Трансформациянын биринчи этабынын жыйынтыгын жазалы.
Ошентип, төртүнчү саптын компоненти нөлгө коюлган. Үчүнчү саптын биринчи элементине, 3 санына өтөбүз. Ушундай эле операцияны жасайбыз. Биринчи сапты үчкө көбөйтүп, үчүнчү саптан кемитип, натыйжаны жаз.
Кийинки, биз экинчи сапта 2 санын көрөбүз. Биз операцияны кайталайбыз: жогорку сапты экиге көбөйтүп, экинчиден кемитесиз.
Биз бул квадрат матрицанын биринчи мамычасынын бардык компоненттерин нөлгө коюуга жетиштик, 1-сандан башкасы, трансформацияны талап кылбаган негизги диагоналдын элементи. Эми алынган нөлдөрдү сактап калуу маанилүү, ошондуктан биз мамычалар менен эмес, саптар менен трансформацияларды жасайбыз. Келиңиз, берилген матрицанын экинчи мамычасына өтөбүз.
Келгиле, кайра ылдыйдан баштайлы - акыркы саптын экинчи мамычасынын элементинен. Бул сан (-7). Бирок, бул учурда үчүнчү катардын экинчи мамычасынын элементи - (-1) санынан баштоо ыңгайлуураак. Аны нөлгө айлантуу үчүн үчүнчү катардан экинчи сапты алып салуу керек. Анан экинчи катарды жетиге көбөйтүп, төртүнчүдөн кемитебиз. Экинчи тилкенин төртүнчү катарында жайгашкан элементтин ордуна нөл алдык. Эми үчүнчүсүнө өтөбүзтилке.
Бул тилкеде биз бир гана санды нөлгө айлантышыбыз керек - 4. Муну жасоо оңой: жөн гана үчүнчүнү акыркы сапка кошуп, бизге керектүү нөлдү көрүңүз.
Бардык өзгөртүүлөрдөн кийин биз сунушталган матрицаны үч бурчтук формага келтирдик. Эми анын аныктоочусун табуу үчүн негизги диагоналдын алынган элементтерин гана көбөйтүү керек. Биз алабыз: detA=1 x (-1) x (-4) x 40=160. Демек, чечим 160 саны.
Демек, эми матрицаны үч бурчтук формага алып келүү маселеси сизге кыйынчылык жаратпайт.
Кадамдуу формага кыскартуу
Матрицалар боюнча элементардык операцияларда тепкичтүү форма үч бурчтукка караганда азыраак "талап кылынат". Ал көбүнчө матрицанын рангын табуу үчүн (б.а. анын нөл эмес катарларынын санын) же сызыктуу көз каранды жана көз карандысыз саптарды аныктоо үчүн колдонулат. Бирок тепкичтүү матрицалык көрүнүш ар тараптуураак, анткени ал чарчы түргө гана эмес, бардык башкаларга ылайыктуу.
Матрицаны тепкичтүү формага келтирүү үчүн алгач анын детерминантын табышыңыз керек. Бул үчүн, жогоруда айтылган ыкмалар ылайыктуу болуп саналат. Детерминантты табуунун максаты - аны кадамдык матрицага айландырууга болорун билүү. Эгерде детерминант нөлдөн чоң же аз болсо, анда сиз аман-эсен тапшырманы уланта аласыз. Эгерде ал нөлгө барабар болсо, матрицаны баскычтуу формага түшүрүү иштебейт. Бул учурда, жазууда же матрицалык трансформацияларда кандайдыр бир каталар бар-жогун текшерүү керек. Эгерде мындай так эместиктер болбосо, тапшырманы чечүү мүмкүн эмес.
Келгиле кантип көрөбүзбир нече тапшырмалардын мисалдарын колдонуп, матрицаны баскычтуу формага келтириңиз.
1-тапшырма. Берилген матрицалык таблицанын рангын табыңыз.
Биздин алдыбызда үчүнчү тартиптеги чарчы матрица (3x3). Ранг табуу үчүн аны тепкичтүү формага түшүрүү зарыл экенин билебиз. Ошондуктан, биз адегенде матрицанын аныктоочусун табышыбыз керек. Үч бурчтук ыкмасын колдонуу: detA=(1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2)=12.
Аныктоочу=12. Ал нөлдөн чоң, бул матрицаны тепкичтүү формага келтирсе болот дегенди билдирет. Аны өзгөртүүнү баштайлы.
Үчүнчү катардын сол мамычасынын элементинен баштайлы - 2 саны. Жогорку сапты экиге көбөйтүп, үчүнчүдөн кемитип алалы. Бул операциянын аркасында бизге керектүү элемент дагы, 4 саны дагы - үчүнчү катардын экинчи мамычасынын элементи - нөлгө айланды.
Андан кийин, биринчи мамычанын экинчи катарындагы элементти - 3 санын нөлгө буруңуз. Ал үчүн жогорку сапты үчкө көбөйтүп, экинчиден кемитүү керек.
Кыскартуу үч бурчтук матрицага алып келгенин көрүп жатабыз. Биздин учурда трансформацияны улантуу мүмкүн эмес, анткени калган компоненттерди нөлгө буруу мүмкүн эмес.
Ошентип, бул матрицадагы (же анын рангындагы) сандык маанилерди камтыган саптардын саны 3 деген жыйынтыкка келдик. Тапшырмага жооп: 3.
2-тапшырма. Бул матрицанын сызыктуу көз карандысыз саптарынын санын аныктаңыз.
Эч кандай өзгөртүүлөр менен кайтарылбай турган саптарды табышыбыз керекнөлгө. Чынында, биз нөл эмес катарлардын санын же көрсөтүлгөн матрицанын даражасын табышыбыз керек. Бул үчүн, аны жөнөкөйлөштүрөлү.
Биз чарчы түргө кирбеген матрицаны көрүп жатабыз. Анын өлчөмдөрү 3х4. Төмөнкү сол бурчтун элементинен – сандан (-1) баштайлы.
Биринчи сапты үчүнчү сапка кошуңуз. Андан кийин 5 санын нөлгө айландыруу үчүн андан экинчисин алып салыңыз.
Мындан ары трансформациялоо мүмкүн эмес. Ошентип, биз андагы сызыктуу көз карандысыз сызыктардын саны жана тапшырманын жообу 3 деген жыйынтыкка келебиз.
Эми матрицаны баскычтуу формага алып келүү сиз үчүн мүмкүн эмес иш эмес.
Бул тапшырмалардын мисалдарында биз матрицаны үч бурчтуу формага жана тепкичтүү формага келтирүүнү талдадык. Матрицалык таблицалардын керектүү маанилерин жокко чыгаруу үчүн, кээ бир учурларда фантазияны көрсөтүү жана алардын мамычаларын же саптарын туура өзгөртүү керек. Математикада жана матрицалар менен иштөөдө ийгилик!
