Георг Кантор (сүрөт макалада кийинчерээк берилген) – көптүктөр теориясын түзгөн жана чексиз чоң, бирок бири-биринен айырмаланган трансфиниттик сандар түшүнүгүн киргизген немис математики. Ал ошондой эле иреттик жана негизги сандарды аныктап, алардын арифметикасын түзгөн.
Георг Кантор: кыскача өмүр баян
Санкт-Петербургда 03.03.1845-жылы туулган. Анын атасы протестант ишениминдеги даниялык Георг-Вальдемар Кантор соода менен, анын ичинде биржада иштеген. Анын апасы Мария Бем католик болгон жана белгилүү музыканттардын үй-бүлөсүнөн чыккан. 1856-жылы Георгдун атасы ооруп калганда, үй-бүлө жумшак климат издеп, адегенде Висбаденге, андан кийин Франкфуртка көчүп кетишкен. Баланын математикалык таланты 15 жашка чыга электе эле Дармштадт менен Висбадендеги жеке мектептерде жана гимназияларда окуп жүргөндө байкалган. Акыр-аягы, Георг Кантор атасын инженер эмес, математик болуу ниетине ынандырды.
Цюрих университетинде кыскача окуудан кийин, 1863-жылы Кантор Берлин университетине физика, философия жана математика боюнча окууга өткөн. Ал жердеүйрөткөн:
- Карл Теодор Вейерштрасс, анын талдоо адистиги Георгго эң чоң таасирин тийгизген;
- Эрнст Эдуард Куммер, жогорку арифметикадан сабак берген;
- Леопольд Кронекер, кийинчерээк Канторго каршы чыккан сандар теоретиги.
1866-жылы Гёттинген университетинде бир семестр өткөндөн кийин, кийинки жылы Георг Карл Фридрих Гаусс койгон проблемага байланыштуу "Математикада суроолорду берүү чеберчилиги маселелерди чечүүдөн баалуу" деген темада докторлук диссертациясын жазган. анын Disquisitiones Arithmeticae (1801) китебинде чечилбей калган. Берлин кыздар мектебинде кыска убакытка сабак бергенден кийин Кантор Галле университетинде иштей баштаган жана ал жерде өмүрүнүн акырына чейин, адегенде мугалим, 1872-жылдан ассистент, 1879-жылы профессор болуп иштеген.
Изилдөө
1869-жылдан 1873-жылга чейин 10 макаладан турган сериянын башында Георг Кантор сандар теориясын караган. Чыгармада анын бул темага болгон кызыгуусу, Гаусс боюнча изилдөөлөрү жана Кронеккердин таасири чагылдырылган. Кантордун Галледеги кесиптеши, анын математикалык талантын тааныган Генрих Эдуард Гейненин сунушу боюнча ал тригонометриялык катарлар теориясына кайрылып, анда чыныгы сандар түшүнүгүн кеңейткен.
1854-жылы немец математиги Бернхард Римандын комплекстүү өзгөрмөнүн функциясы боюнча эмгегинин негизинде, 1870-жылы Кантор мындай функцияны бир гана жол менен – тригонометриялык катар менен көрсөтүүгө болоорун көрсөткөн. Сандардын (пункттардын) топтомун карап чыгуумындай көз карашка карама-каршы келбей, аны, биринчиден, 1872-жылы иррационалдык сандарды рационалдуу сандардын (бүтүн сандардын бөлчөктөрүнүн) конвергент ырааттуулугу боюнча аныктоого жана андан ары өзүнүн өмүр бою эмгектери, көптүктөр теориясы жана концепциясы боюнча ишти баштоого алып келген. трансфиниттүү сандар.
Топтоо теориясы
Жыйнтык теориясы Брауншвейг техникалык институтунун математиги Ричард Дедекинд менен кат алышууда пайда болгон Георг Кантор анын бала кезинен бери досу болгон. Алар жыйындылар, чектүү болобу, чексиз болобу, индивидуалдуулугун сактап, белгилүү бир касиетке ээ болгон элементтердин жыйындысы (мисалы, сандар, {0, ±1, ±2..}) деген жыйынтыкка келишкен. Бирок Георг Кантор алардын мүнөздөмөлөрүн изилдөө үчүн бирден кат алышууну (мисалы, {A, B, C} менен {1, 2, 3}) колдонгондо, ал алардын мүчөлүк даражасы боюнча айырмаланарын тез түшүндү. эгерде алар чексиз көптүктөр болсо., башкача айтканда, бир бөлүгү же чакан жыйындысы өзүнө канча объектилерди камтыйт. Анын ыкмасы бат эле укмуштуудай натыйжаларды берди.
1873-жылы Георг Кантор (математик) рационалдуу сандар чексиз болсо да саналууга болоорун көрсөткөн, анткени аларды натурал сандар менен бирден-бир корреспонденцияга салууга болот (б.а. 1, 2, 3 ж.б.). г.). Ал иррационал жана рационалдуу сандардан турган реалдуу сандардын жыйындысы чексиз жана эсепсиз экендигин көрсөткөн. Андан да парадоксалдуу, Кантор бардык алгебралык сандардын жыйындысы ошончо элементтерди камтыйт деп далилдедиканча бүтүн сандардын жыйындысы жана алгебралык эмес, иррационалдык сандардын ички жыйындысы болуп саналган трансценденттик сандар саналгыс, демек, алардын саны бүтүн сандардан чоң жана чексиз деп каралышы керек.
Каршылаштар жана колдоочулар
Бирок бул жыйынтыктарды биринчи жолу айткан Кантордун макаласы Креллде жарыяланган эмес, анткени рецензенттердин бири Кронеккер кескин түрдө каршы болгон. Бирок Дедекинддин кийлигишүүсүнөн кийин, ал 1874-жылы "Бардык реалдуу алгебралык сандардын мүнөздүү касиеттери жөнүндө" деген ат менен жарык көргөн.
Илим жана жеке жашоо
Ошол эле жылы Швейцариянын Интерлакен шаарында жубайы Уолли Гутман менен бал айында жүрүп Кантор Дедекиндди жолуктурду, ал өзүнүн жаңы теориясын жактырган. Жорждун айлыгы аз эле, бирок 1863-жылы каза болгон атасынын акчасына аялы жана беш баласы үчүн үй куруп берген. Анын көптөгөн макалалары Швецияда немец математикинин талантын биринчилерден болуп тааныган Геста Миттаг-Леффлер тарабынан редакцияланган жана негизделген жаңы Acta Mathematica журналында басылып чыккан.
Метафизика менен байланыш
Кантордун теориясы чексиздердин математикасына (мисалы, 1, 2, 3 ж.б. сериялар жана андан да татаал топтомдорго) байланыштуу такыр жаңы изилдөө предмети болуп калды, ал бирден-бир кат алышуулардан көз каранды. Кантордун жаңы сахналаштыруу ыкмаларын иштеп чыгуусуүзгүлтүксүздүккө жана чексиздикке байланыштуу суроолор анын изилдөөсүнө түшүнүксүз мүнөз берди.
Ал чексиз сандар чындыгында бар деп ырастаганда, чыныгы жана потенциалдуу чексиздикке байланыштуу байыркы жана орто кылымдардагы философияга, ошондой эле ата-энеси ага берген алгачкы диний билимге кайрылган. 1883-жылы Кантор «Жалпы көптүктөр теориясынын негиздери» деген китебинде өзүнүн концепциясын Платондун метафизикасы менен айкалыштырган.
Бүтүн сандар гана «бар» деп ырастаган Кронекер («Бүтүн сандарды Кудай жараткан, калганы адамдын иши») көп жылдар бою анын ой-пикирлерин кескин түрдө четке кагып, Берлин университетине дайындалышына жолтоо болгон.
Учурдуу сандар
1895-97-ж. Георг Кантор үзгүлтүксүздүк жана чексиздик, анын ичинде чексиз иреттик жана негизги сандар жөнүндөгү түшүнүгүн өзүнүн эң атактуу эмгегинде «Трансфиниттик сандар теориясынын негизделишине салым» (1915) деп аталган эмгегинде толугу менен калыптандырган. Бул эссе анын концепциясын камтыйт, ал концепциясына чексиз көптүктү анын бир бөлүгү менен бирден катнашууга болорун көрсөтүү менен жетектеген.
Эң аз трансфиниттүү кардиналдык сандын астында ал натурал сандар менен бирден-бир корреспонденцияга коюла турган ар кандай топтомдун кардиналдуулугун билдирген. Кантор аны aleph-null деп атаган. Чоң трансфиниттүү көптүктөр алеф-бир, алеф-эки ж.б. деп белгиленет. Ал чектүү арифметикага окшош болгон трансфиниттик сандардын арифметикасын андан ары өнүктүрдү. ошондуктан, алчексиздик түшүнүгүн байытты.
Ал дуушар болгон каршылык жана анын идеяларынын толук кабыл алынышы үчүн талап кылынган убакыт сан деген эмне деген байыркы суроону кайра баалоо кыйындыгынан келип чыккан. Кантор сызыктагы чекиттердин жыйындысы алеф-нөлгө караганда жогорку кардиналдуулукка ээ экенин көрсөттү. Бул континуум гипотезасынын белгилүү көйгөйүнө алып келди - алеф-нөл менен сызыктагы чекиттердин күчү ортосунда кардиналдык сандар жок. Бул маселе 20-кылымдын биринчи жана экинчи жарымында чоң кызыгууну жаратып, көптөгөн математиктер, анын ичинде Курт Годель жана Пол Коэн тарабынан изилденген.
Депрессия
1884-жылдан бери Георг Кантордун өмүр баяны анын психикалык оорусуна көлөкө түшүп, бирок ал жигердүү ишин уланткан. 1897-жылы Цюрихте биринчи эл аралык математикалык конгрессти өткөрүүгө жардам берген. Кронеккер ага каршы чыккандыктан, ал көп учурда жаш математиктерге боор ооруп, аларды жаңы идеялардын коркунучун сезген мугалимдердин куугунтугунан куткаруунун жолун издеген.
Тануу
Кылымдын аягында анын эмгектери функция теориясынын, анализинин жана топологиясынын негизи катары толугу менен таанылган. Мындан тышкары, Кантор Георгдун китептери математиканын логикалык негиздеринин интуициялык жана формалисттик мектептеринин андан ары өнүгүшүнө түрткү болгон. Бул окутуу системасын олуттуу түрдө өзгөрттү жана көбүнчө "жаңы математика" менен байланышкан.
1911-жылы Кантор чакырылгандардын арасында болгонШотландиядагы Сент-Эндрюс университетинин 500 жылдыгын майрамдоо. Ал жакында эле жарык көргөн Principia Mathematica эмгегинде немис математигине бир нече жолу кайрылган, бирок андай болгон жок. Университет Канторго ардактуу наам ыйгарды, бирок оорусуна байланыштуу ал сыйлыкты жеке кабыл ала алган жок.
Кантор 1913-жылы пенсияга чыгып, жакырчылыкта жашап, Биринчи дүйнөлүк согушта ачкачылыкта жашаган. 1915-жылы анын 70 жылдык мааракесине арналган салтанат согуштан улам токтотулуп, бирок анын үйүндө чакан салтанат болгон. Ал 1918-06-01 күнү өмүрүнүн акыркы жылдарын өткөргөн Галледе психиатриялык ооруканада каза болгон.
Георг Кантор: өмүр баяны. Үй-бүлө
1874-жылы 9-августта немис математики Валли Гутманга турмушка чыккан. Жубайлар 4 уул, 2 кыздуу болушкан. Акыркы бала 1886-жылы Кант сатып алган жаңы үйдө төрөлгөн. Атасынын мурасы ага үй-бүлөсүн багууга жардам берген. 1899-жылы кичүү уулу каза болгондон кийин Кантордун ден соолугуна катуу таасир эткен жана ошондон бери депрессиядан чыга элек.
