Трапеция – төрт бурчтуктун өзгөчө учуру, анын бир жуп тарабы параллелдүү. "Трапеция" термини гректин τράπεζα сөзүнөн келип, "стол", "стол" дегенди билдирет. Бул макалада биз трапециянын түрлөрүн жана анын касиеттерин карап чыгабыз. Мындан тышкары, биз бул геометриялык фигуранын айрым элементтерин кантип эсептөө керектигин аныктайбыз. Мисалы, тең жактуу трапециянын диагоналы, орто сызыгы, аянты ж.б.. Материал элементардык популярдуу геометриянын стилинде, б.а. оңой жеткиликтүү формада берилген.
Жалпы маалымат
Биринчи, төрт бурчтук деген эмне экенин аныктап алалы. Бул көрсөткүч төрт тарабы жана төрт чокусу бар көп бурчтуктун өзгөчө учуру. Төрт бурчтуктун чектеш эмес эки чокусу карама-каршы деп аталат. Жанаша эмес эки тарап жөнүндө да ушуну айтууга болот. Төрт бурчтуктун негизги түрлөрү параллелограмм, тик бурчтук, ромб, квадрат, трапеция жанадельтоид.
Демек, трапецияга кайтуу. Жогоруда айтылгандай, бул көрсөткүчтүн параллелдүү эки жагы бар. Алар база деп аталат. Калган экөө (параллель эмес) тараптар болуп саналат. Экзамендердин жана ар кандай тесттердин материалдарында трапецияларга байланыштуу тапшырмаларды көп кездештирүүгө болот, аларды чечүү көп учурда студенттен программада каралбаган билимди талап кылат. Мектептин геометриясы курсу окуучуларды бурчтардын жана диагоналдардын касиеттери, ошондой эле тең жактуу трапециянын орто сызыгы менен тааныштырат. Бирок, мындан тышкары, аталган геометриялык фигура башка өзгөчөлүктөргө ээ. Бирок алар жөнүндө кийинчерээк…
Трапециянын түрлөрү
Бул фигуранын көптөгөн түрлөрү бар. Бирок, көбүнчө алардын экөөнү - тең жана тик бурчтууларды кароо салтка айланган.
1. Төрт бурчтуу трапеция – капталдарынын бири негиздерине перпендикуляр болгон фигура. Анын эки бурчу дайыма токсон градус.
2. Тең жактуу трапеция – капталдары бири-бирине барабар болгон геометриялык фигура. Бул негиздердеги бурчтар да экиден бирдей экенин билдирет.
Трапециянын касиеттерин изилдөө техникасынын негизги принциптери
Негизги принцип – тапшырма ыкмасы деп аталган ыкманы колдонуу. Негизи геометриянын теориялык курсуна бул фигуранын жаңы касиеттерин киргизүүнүн кереги жок. Аларды ар кандай маселелерди чечүү процессинде (системалуу маселелерге караганда жакшыраак) ачууга жана формулировкалоого болот. Ошол эле учурда мугалимдин кандай тапшырмалар керек экенин билиши абдан маанилүү.окуу процессинин тигил же бул жеринде мектеп окуучуларынын алдына коюу. Мындан тышкары, трапециянын ар бир касиети тапшырмалар системасында негизги тапшырма катары көрсөтүлүшү мүмкүн.
Экинчи принцип трапециянын "кереметтүү" касиеттерин изилдөөнүн спиралдык уюштурулушу деп аталган нерсе. Бул окуу процессинде берилген геометриялык фигуранын жеке өзгөчөлүктөрүнө кайтып келүүнү билдирет. Ошентип, окуучулардын аларды жаттап алуусу жеңил болот. Мисалы, төрт пункттун касиети. Окшоштуктарды изилдөөдө да, андан кийин векторлордун жардамы менен да далилдесе болот. Ал эми фигуранын капталдарына жанаша турган үч бурчтуктардын бирдей аянтын бир түз сызыкта жаткан тараптарга тартылган бийиктиктери бирдей үч бурчтуктардын касиеттерин гана эмес, S=1/ формуласын колдонуу менен да далилдесе болот. 2(absinα). Кошумчалай кетсек, сиз чектелген трапециядагы синус теоремасын же чектелген трапециядагы тик бурчтук жана башкаларды иштеп чыга аласыз.
Геометриялык фигуранын «сабактан тышкаркы» өзгөчөлүктөрүн мектеп курсунун мазмунунда колдонуу аларды окутуунун тапшырмалык технологиясы болуп саналат. Башка темаларды өтүүдө изилденген касиеттерге дайыма кайрылуу студенттерге трапеция боюнча терең билим алууга мүмкүндүк берет жана милдеттерди ийгиликтүү чечүүнү камсыздайт. Келиңиз, бул керемет фигураны изилдеп баштайлы.
Бир теӊ бурчтуу трапециянын элементтери жана касиеттери
Белгиленгендей, бул геометриялык фигуранын тараптары бирдей. Ал ошондой эле туура трапеция катары белгилүү. Эмне үчүн ал мынчалык таң калыштуу жана эмне үчүн мындай атка ээ болгон?Бул фигуранын өзгөчөлүктөрүнө негиздердеги капталдары жана бурчтары гана эмес, диагоналдары да бирдей экендигин камтыйт. Ошондой эле, бир тең жактуу трапециянын бурчтарынын суммасы 360 градус. Бирок бул баары эмес! Бардык белгилүү трапециялардын ичинен бир тегерек тегерекченин айланасында гана сүрөттөлүшү мүмкүн. Себеби, бул фигуранын карама-каршы бурчтарынын суммасы 180 градуска барабар жана ушул шартта гана төрт бурчтуктун айланасында айлана сүрөттөлүшү мүмкүн. Каралып жаткан геометриялык фигуранын кийинки касиети - бул негизди камтыган сызыкка каршы чокунун негизги чокусунан проекциясына чейинки аралык орто сызыкка барабар болот.
Эми, келгиле, тең жактуу трапециянын бурчтарын кантип табууга болорун карап көрөлү. Фигуранын тараптарынын өлчөмдөрү белгилүү болсо, бул маселени чечүү жолун карап көрүңүз.
Чечим
Көбүнчө төрт бурчтук A, B, C, D тамгалары менен белгиленет, мында BS жана AD негизи болуп саналат. Тең жактуу трапецияда тараптар бирдей. Биз алардын өлчөмү X, ал эми базалардын өлчөмдөрү Y жана Z (тиешелүүлүгүнө жараша кичине жана чоңураак) деп ойлойбуз. Эсептөө жүргүзүү үчүн В бурчтан H бийиктигин тартуу керек. Натыйжада ABN тик бурчтуу үч бурчтук түзүлөт, мында AB гипотенузасы, ал эми BN жана AN – каттары. Биз AN бутунун өлчөмүн эсептейбиз: чоңураак базадан кичинесин алып, натыйжаны 2ге бөлөбүз. Аны формула түрүндө жазабыз: (Z-Y) / 2 \u003d F. Эми, үч бурчтуктун курч бурчу үчүн cos функциясын колдонобуз. Биз төмөнкү жазууну алабыз: cos(β)=Х/F. Эми бурчту эсептейбиз: β=arcos (Х/F). Андан ары, бир бурчту билип, биз аныктай алабыз жанаэкинчиден, бул үчүн элементардык арифметикалык операцияны аткарабыз: 180 - β. Бардык бурчтар аныкталган.
Бул маселенин экинчи жолу да бар. Башында, биз H бийиктигин бурчтан түшүрөбүз B. Биз BN бутунун маанисин эсептейбиз. Тик бурчтуктун гипотенузасынын квадраты катеттеринин квадраттарынын суммасына барабар экенин билебиз. Биз алабыз: BN \u003d √ (X2-F2). Андан кийин tg тригонометриялык функцияны колдонобуз. Натыйжада, бизде: β=arctg (BN / F). Курч бурч табылды. Андан кийин, биринчи ыкмага окшоп, сүйрү бурчту аныктайбыз.
Тең бурчтуу трапециянын диагоналдарынын касиети
Биринчи, төрт эрежени жазып алалы. Эгерде тең жактуу трапециядагы диагоналдар перпендикуляр болсо, анда:
- фигуранын бийиктиги экиге бөлүнгөн негиздеринин суммасына барабар болот;
- анын бийиктиги менен ортоңку сызыгы бирдей;
- трапециянын аянты бийиктиктин квадратына барабар болот (орто сызык, негиздердин суммасынын жарымы);
- диагоналынын квадраты негиздердин суммасынын жарымына барабар же орто сызыктын (бийиктик) эки эселенген квадратына барабар.
Эми теӊ жээктүү трапециянын диагоналын аныктоочу формулаларды карап көрөлү. Бул маалымат блогун шарттуу түрдө төрт бөлүккө бөлүүгө болот:
1. Диагоналдын капталдары боюнча узундугунун формуласы.
А – төмөнкү негиз, В – үстүнкү негиз, C – бирдей тараптар, D – диагональ. Бул учурда узундук төмөнкүчө аныкталышы мүмкүн:
D=√(C2+AB).
2. Косинус теоремасы боюнча диагоналдын узундугунун формулалары.
А - төмөнкү негиз, В - үстүнкү негиз, C - бирдей тараптар, D - диагональ, α (төмөнкү негизде) жана β (жогорку негизде)- трапеция бурчтары. Биз диагоналдын узундугун эсептей турган төмөнкү формулаларды алабыз:
- D=√(A2+C2-2ACcosα);
- D=√(A2+C2-2ACcosβ);
- D=√(B2+C2-2BCcosβ);
- D=√(B2+C2-2BCcosα).
3. Тең жактуу трапециянын диагоналдарынын узундугу үчүн формулалар.
А - төмөнкү негиз, В - үстүнкү негиз, D - диагональ, M - орто сызык, H - бийиктик, P - трапециянын аянты, α жана β диагоналдар ортосундагы бурчтар. Төмөнкү формулалар менен узундукту аныктаңыз:
- D=√(M2+H2);
- D=√(H2+(A+B)2/4);
- D=√(N(A+B)/sinα)=√(2P/sinα)=√(2MN/sinα).
Бул учурда теңдик туура: sinα=sinβ.
4. Капталдары жана бийиктиги боюнча диагоналдын узундугу үчүн формулалар.
А - төмөнкү негиз, В - үстүнкү негиз, C - капталдар, D - диагональ, H - бийиктик, α - төмөнкү негиздеги бурч деп кабыл алабыз.
Төмөнкү формулалар аркылуу узундукту аныктаңыз:
- D=√(Н2+(А-Рctgα)2);
- D=√(Н2+(В+Рctgα)2);
- D=√(A2+C2-2A√(C2-H2)).
Тик бурчтуу трапециянын элементтери жана касиеттери
Бул геометриялык фигуранын эмнеси кызык экенин карап көрөлү. Жогоруда айтылгандай, тик бурчтуу трапеция эки тик бурчка ээ.
Классикалык аныктамадан тышкары, башкалар да бар. Мисалы, тик бурчтуу трапеция – бул бир жагы негиздерине перпендикуляр болгон трапеция. Же капталында тик бурчтары бар фигура. Бултрапециянын түрү, бийиктиги негиздерине перпендикуляр болгон тарапка барабар. Медиандык сызык - эки тараптын орто чекиттерин бириктирүүчү сегмент. Белгиленген элементтин касиети анын негиздерине параллель жана алардын суммасынын жарымына барабар.
Эми бул геометриялык фигураны аныктаган негизги формулаларды карап көрөлү. Бул үчүн, биз A жана B негиздер деп ойлойбуз; C (негиздерге перпендикуляр) жана D - тик бурчтуу трапециянын капталдары, M - орто сызык, α - курч бурч, P - аянт.
1. Негиздерге перпендикуляр болгон каптал каптал фигуранын бийиктигине барабар (C \u003d H) жана экинчи тараптын D узундугу менен чоңураак негизи бар α бурчунун синусунун көбөйтүндүсүнө барабар (C \u003d Dsin α). Кошумчалай кетсек, ал α курч бурчтун тангенсинин көбөйтүндүсүнө жана негиздер айырмасына барабар: С=(А-Б)tgα.
2. Каптал D капталы (негиздерге перпендикуляр эмес) А жана В ортосундагы айырманын катнашы менен курч бурчтун косинус (α) бөлүгүнө же Н фигурасынын бийиктигинин жана курч бурчтун синусусунун коэффициентине барабар.: D \u003d (A-B) / cos α \u003d C / sin α.
3. Негиздерге перпендикуляр болгон каптал жагы D квадратынын айырмасынын квадрат тамырына - экинчи тарабы - жана негиздер айырмасынын квадратына барабар:
C=√(D2-(A-B)2).
4. Төрт бурчтуу трапециянын D капталы C капталынын квадратынын суммасынын квадрат тамырына жана геометриялык фигуранын негиздеринин айырмасынын квадратына барабар: D=√(C2+(A-B)2).
5. Каптал С жагы кош аянтты анын негиздеринин суммасына бөлүүчү коэффициентке барабар: C \u003d P / M \u003d 2P / (A + B).
6. Аянты М (тик бурчтуу трапециянын ортоңку сызыгы) жана бийиктиги же көбөйтүмү менен аныкталат.тарап, негиздерине перпендикуляр: P \u003d MN \u003d MS.
7. C жагы фигуранын эки эселенген аянтын курч бурчтун синусусунун көбөйтүндүсүнө жана анын негиздеринин суммасына бөлүү коэффициентине барабар: C \u003d P / Msinα \u003d 2P / ((A + B)sinα).
8. Төрт бурчтуу трапециянын каптал капталынын анын диагоналдары жана алардын ортосундагы бурч боюнча формулалары:
- sinα=sinβ;
- S=(D1D2/(A+B))sinα=(D1D2/(A+B))sinβ, мында D1 жана D2 трапециянын диагональдары; α жана β алардын ортосундагы бурчтар.
9. Төмөнкү базадагы бурч аркылуу каптал каптал формулалары жана башка тараптар: D \u003d (A-B) / cosα \u003d C / sinα \u003d H / sinα.
Тек бурчтуу трапеция трапециянын өзгөчө учуру болгондуктан, бул фигураларды аныктаган калган формулалар да тик бурчтууга туура келет.
Чызылган тегеректин касиеттери
Эгер шарт тегерек тик бурчтуу трапецияга чегилгенин айтса, анда төмөнкү касиеттерди колдонсо болот:
- негиздеринин суммасы тараптардын суммасына барабар;
- тик бурчтуу фигуранын чокусунан чегилген айлананын тийүү чекиттерине чейинки аралыктар дайыма бирдей;
- трапециянын бийиктиги капталына барабар, негиздерине перпендикуляр жана тегеректин диаметрине барабар;
- тегеректин борбору бурчтун биссектрисалары кесилишкен чекит;
- эгерде каптал жагы H жана M сегменттерине тийүү чекити менен бөлүнсө, анда тегеректин радиусу бул сегменттердин көбөйтүндүсүнүн квадраттык тамырына барабар;
- тангенс чекиттеринен, трапециянын чокусунан жана чегилген айлананын борборунан түзүлгөн төрт бурчтуккапталы радиуска барабар болгон квадрат;
- фигуранын аянты негиздер менен негиздер менен анын бийиктигинин жарымынын суммасынын көбөйтүндүсүнө барабар.
Окшош трапеция
Бул тема бул геометриялык фигуранын касиеттерин изилдөө үчүн абдан ыңгайлуу. Мисалы, диагоналдар трапецияны төрт үч бурчтукка бөлөт, ал эми негиздери менен чектештери окшош, ал эми капталдарына жанаша тургандары барабар. Бул билдирүүнү трапеция диагоналдары боюнча бөлүнгөн үч бурчтуктардын касиети деп атоого болот. Бул ырастоонун биринчи бөлүгү эки бурчта окшоштук критерийи аркылуу далилденген. Экинчи бөлүктү далилдөө үчүн төмөндөгү ыкманы колдонуу жакшы.
Теореманын далили
Биз ABSD фигурасы (AD жана BS трапециянын негиздери) VD жана AC диагоналдарына бөлүнгөнүн кабыл алабыз. Алардын кесилишкен чекити O. Биз төрт үч бурчтук алабыз: AOS - төмөнкү негизде, BOS - үстүнкү негизде, ABO жана SOD капталында. Эгерде BO жана OD сегменттери алардын негизи болсо, SOD жана BOS үч бурчтуктары жалпы бийиктикке ээ. Биз алардын аймактарынын ортосундагы айырма (P) бул сегменттер ортосундагы айырмага барабар экенин алабыз: PBOS / PSOD=BO / OD=K. Ошондуктан, PSOD=PBOS / K. Ошо сыяктуу эле, BOS жана AOB үч бурчтуктары жалпы бийиктикке ээ. Биз алардын негизи катары CO жана OA сегменттерин алабыз. Биз PBOS / PAOB \u003d CO / OA \u003d K жана PAOB \u003d PBOS / K алабыз. Мындан PSOD=PAOB деген жыйынтык чыгат.
Материалды бекемдөө үчүн окуучуларга трапеция диагоналдары боюнча бөлүнгөн алынган үч бурчтуктардын райондорунун ортосундагы байланышты төмөнкү маселени чечүү аркылуу табуу сунушталат. экендиги белгилууүч бурчтуктар BOS жана AOD аймактары барабар, сиз трапециянын аянтын табышыңыз керек. PSOD \u003d PAOB болгондуктан, бул PABSD \u003d PBOS + PAOD + 2PSOD дегенди билдирет. BOS жана AOD үч бурчтуктарынын окшоштугунан BO / OD=√ (PBOS / PAOD) экени келип чыгат. Демек, PBOS/PSOD=BO/OD=√(PBOS/PAOD). Биз PSOD=√ (PBOSPAOD) алабыз. Анда PABSD=PBOS+PAOD+2√(PBOSPAOD)=(√PBOS+√PAOD)2.
Окшош касиеттер
Бул теманы өнүктүрүүнү улантуу менен трапециялардын башка кызыктуу өзгөчөлүктөрүн далилдей алабыз. Ошентип, окшоштуктан пайдаланып, бул геометриялык фигуранын диагоналдарынын кесилишинен пайда болгон чекиттен өткөн сегменттин негиздерине параллелдүү касиетин далилдей аласыз. Ал үчүн төмөнкү маселени чечебиз: О чекитинен өткөн РК кесиндисинин узундугун табуу керек. AOD жана BOS үч бурчтуктарынын окшоштугунан AO/OS=AD/BS келип чыгат. AOP жана ASB үч бурчтуктарынын окшоштугунан AO / AS \u003d RO / BS \u003d AD / (BS + AD) болот. Бул жерден биз RO \u003d BSAD / (BS + AD) алабыз. Ошо сыяктуу эле, DOK жана DBS үч бурчтуктарынын окшоштугунан OK \u003d BSAD / (BS + AD) чыгат. Бул жерден биз RO=OK жана RK=2BSAD/(BS+AD) дегенди алабыз. Негиздерге параллелдүү жана эки капталын бириктирген диагоналдардын кесилишкен чекити аркылуу өткөн сегмент кесилишкен чекитке экиге бөлүнөт. Анын узундугу фигуранын негиздеринин гармоникалык орточо мааниси.
Трапециянын төмөнкү касиетин карап көрөлү, ал төрт чекиттин касиети деп аталат. Диагоналдардын (О) кесилишкен чекиттери, капталдарынын (Е) уландысынын кесилиштери, ошондой эле негиздеринин ортоңку чекиттери (T жана W) дайыма бир сызыкта жатат. Бул окшоштук ыкмасы менен оңой далилденет. Натыйжада BES жана AED үч бурчтуктары окшош жана жылыалардын ар бири ET жана EZH медианалары E чокусунда бурчту бирдей бөлүктөргө бөлөт. Демек, E, T жана W чекиттери бир түз сызыкта жатат. Ошол сыяктуу эле T, O, G чекиттери бир түз сызыкта жайгашкан. Мунун баары BOS жана AOD үч бурчтуктарынын окшоштугунан келип чыгат. Мындан биз төрт чекиттин баары - E, T, O жана W - бир түз сызыкта болот деген жыйынтыкка келебиз.
Окшош трапецияларды колдонуу менен окуучулардан фигураны эки окшош кесипке бөлүүчү сегменттин узундугун (LF) табууну сунуштоого болот. Бул сегмент негиздер менен параллелдүү болушу керек. Алынган ALFD жана LBSF трапециялары окшош болгондуктан, BS/LF=LF/AD болот. Мындан LF=√(BSBP) деген жыйынтык чыгат. Биз трапецияны окшош экиге бөлгөн сегменттин узундугу фигуранын негиздеринин узундуктарынын геометриялык орточосуна барабар экенин алдык.
Төмөнкү окшоштук касиетин карап көрүңүз. Ал трапецияны эки бирдей өлчөмдөгү фигурага бөлүүчү сегментке негизделген. Биз трапеция ABSD EN сегменти менен эки окшоштукка бөлүнгөнүн кабыл алабыз. В чокусунан бийиктик алынып салынат, ал EH сегменти тарабынан эки бөлүккө бөлүнөт - B1 жана B2. Биз төмөнкүлөрдү алабыз: PABSD / 2 \u003d (BS + EH)B1 / 2 \u003d (AD + EH)B2 / 2 жана PABSD \u003d (BS + HELL)(B1 + B2) / 2. Андан кийин, биз системаны түзөбүз, анын биринчи теңдемеси (BS + EH)B1 \u003d (AD + EH)B2 жана экинчи (BS + EH)B1 \u003d (BS + HELL)(B1 + B2) / 2. Мындан B2/ B1=(BS+EN)/(AD+EN) жана BS+EN=((BS+AD)/2)(1+B2/ B1) деген жыйынтык чыгат. Биз трапецияны бирдей экиге бөлүүчү сегменттин узундугу негиздеринин узундугунун орточо квадратына барабар экенин алдык: √((BS2+AD2)/2).
Окшоштук корутундулары
Ошентип, биз муну далилдедик:
1. Трапециянын каптал капталдарынын ортоңку чекиттерин бириктирүүчү сегмент AD жана BS ге параллелдүү жана барабарBS жана BPдин орточо арифметикалык мааниси (трапециянын негизинин узундугу).
2. AD жана BS параллелдүү диагоналдардын кесилишинин О чекити аркылуу өткөн сызык AD жана BS сандарынын гармоникалык ортосуна барабар болот (2BSAD/(BS+AD)).
3. Трапецияны окшошторго бөлүүчү сегмент BS жана AD негиздеринин геометриялык орточо узундугуна ээ.
4. Фигураны бирдей экиге бөлүүчү элемент AD жана BS орточо квадраттык сандарынын узундугуна ээ.
Материалды консолидациялоо жана каралып жаткан сегменттердин ортосундагы байланышты түшүнүү үчүн студент аларды белгилүү бир трапеция үчүн курушу керек. Ал орто сызыкты жана О чекитинен өткөн сегментти – фигуранын диагоналдарынын кесилишин – негиздерине параллелдүү оңой эле көрсөтө алат. Бирок үчүнчү жана төртүнчү кайда болот? Бул жооп студентти орточо көрсөткүчтөрдүн ортосундагы керектүү байланышты табууга алып келет.
Трапециянын диагоналдарынын ортолорун бириктирүүчү сегмент
Бул фигуранын төмөнкү касиетин карап көрөлү. MH сегменти негиздерине параллель жана диагоналдарды экиге бөлөрүн кабыл алабыз. Кесилиш чекиттерин W жана W деп атайлы. Бул сегмент негиздеринин жарым айырмасына барабар болот. Муну кененирээк талдап көрөлү. MSH - ABS үч бурчтуктун орто сызыгы, ал BS / 2ге барабар. MS - АКШ үч бурчтугунун ортоңку сызыгы, ал AD/2ге барабар. Ошондо биз ShSh=MSh-MSh алабыз, демек, ShSh=AD/2-BS/2=(AD+VS)/2.
Оордуктун борбору
Бул элемент берилген геометриялык фигура үчүн кандайча аныкталганын карап көрөлү. Бул үчүн, ал карама-каршы багыттар боюнча негиздери узартуу зарыл. Бул эмнени билдирет? Төмөнкү базаны үстүнкү базага кошуу керек - ичиндеэки тарапка, мисалы, оңго. Ал эми асты солго үстүнкү узундугу менен узартылат. Андан кийин, биз аларды диагональ менен бириктиребиз. Бул сегменттин фигуранын орто сызыгы менен кесилишкен чекити трапециянын оордук борбору болуп саналат.
Чызылган жана чектелген трапециялар
Мындай цифралардын өзгөчөлүктөрүн санап көрөлү:
1. Трапецияны тегерекчеге сызууга болот, эгерде ал тең жактуу болсо.
2. Трапецияны тегеректин айланасында сүрөттөсө болот, эгерде алардын негиздеринин узундуктарынын суммасы тараптардын узундуктарынын суммасына барабар болсо.
Чызылган тегеректин кесепеттери:
1. Чектелген трапециянын бийиктиги ар дайым эки радиуска барабар.
2. Чектелген трапециянын каптал жагы тегеректин борборунан тик бурчта байкалат.
Биринчи жыйынтык ачык эле көрүнүп турат, бирок экинчисин далилдөө үчүн SOD бурчунун туура экенин аныктоо керек, бул да кыйын эмес. Бирок бул касиетти билүү көйгөйлөрдү чечүүдө тик бурчтуу үч бурчтукту колдонууга мүмкүндүк берет.
Эми бул кесепеттерди тегерекчеге чегилген тең жактуу трапеция үчүн тактап жатабыз. Бийиктик фигуранын негиздеринин орточо геометриялык мааниси экенин алабыз: H=2R=√(BSAD). Трапециялар үчүн маселелерди чыгаруунун негизги техникасын (эки бийиктикти тартуу принциби) машыгып, студент төмөнкү тапшырманы чечиши керек. Биз BT ABSD изоскелдик фигурасынын бийиктиги экенин кабыл алабыз. AT жана TD сегменттерин табуу керек. Жогорудагы формуланы колдонуу кыйынга турбашы керек.
Эми чектелген трапециянын аянтын колдонуу менен тегеректин радиусун кантип аныктоону чечели. В чокусунан түшүүбийиктиги кан басымынын негизине чейин. Тегерек трапецияда жазылгандыктан, BS + AD \u003d 2AB же AB \u003d (BS + AD) / 2. ABN үч бурчтугунан sinα=BN / AB=2BN / (BS + AD) табабыз. PABSD \u003d (BS + AD)BN / 2, BN \u003d 2R. Биз PABSD \u003d (BS + AD)R алабыз, бул R \u003d PABSD / (BS + AD).
Трапециянын орто сызыгынын бардык формулалары
Эми бул геометриялык фигуранын акыркы элементине өтүүгө убакыт келди. Келгиле, трапециянын ортоңку сызыгы (M) эмнеге барабар экенин аныктайлы:
1. Негиздер аркылуу: M=(A+B)/2.
2. Бийиктик, негиз жана бурчтар аркылуу:
• M=A-H(ctgα+ctgβ)/2;
• M=B+N(ctgα+ctgβ)/2.
3. Бийиктик, диагоналдар жана алардын ортосундагы бурч аркылуу. Мисалы, D1 жана D2 трапециянын диагоналдары; α, β - алардын ортосундагы бурчтар:
M=D1D2sinα/2N=D1D2sinβ/2N.
4. Аянты жана бийиктиги аркылуу: M=P / N.
