Призма – мектептик катуу геометрия курсунда окулуучу көп жактуу же көп жактуу. Бул көп жактуулардын маанилүү касиеттеринин бири анын көлөмү. Келгиле, макалада бул маанини кантип эсептөөгө болорун карап көрөлү, ошондой эле призмалардын көлөмүнүн формулаларын - регулярдуу төрт бурчтуу жана алты бурчтуу.
Стереометриядагы призма
Бул фигура параллель тегиздикте жайгашкан эки бирдей көп бурчтуктан жана бир нече параллелограммдан турган көп жактуу деп түшүнүлөт. Призманын айрым түрлөрү үчүн параллелограммдар тик бурчтуу төрт бурчтуктарды же квадраттарды көрсөтө алат. Төмөндө беш бурчтуу призманын мисалы келтирилген.
Жогорудагы сүрөттөгүдөй фигураны куруу үчүн беш бурчтук алып, аны мейкиндикте белгилүү бир аралыкка параллелдүү өткөрүү керек. Параллелограммдардын жардамы менен эки беш бурчтуктун капталдарын бириктирип, биз каалаган призманы алабыз.
Ар бир призма беттерден, чокулардан жана четтерден турат. Призманын чокуларыпирамиданын айырмаланып, бирдей, алардын ар бири эки базанын бирине билдирет. Беттердин жана четтердин эки түрү бар: негиздерге тиешелүү жана капталдарга тиешелүү.
Призмалар бир нече түрү бар (туура, кыйгач, томпок, түз, ойгон). Келгиле, фигуранын формасын эске алуу менен призманын көлөмү кайсы формула менен эсептелерин макалада кийинчерээк карап көрөлү.
Призманын көлөмүн аныктоо үчүн жалпы туюнтма
Изилденип жаткан фигура кандай түргө таандык экендигине, түз же кыйгач, регулярдуу же туура эмес экенине карабастан, анын көлөмүн аныктоого мүмкүндүк берүүчү универсалдуу туюнтма бар. Мейкиндик фигурасынын көлөмү - бул анын беттеринин ортосунда жайгашкан мейкиндиктин аянты. Призманын көлөмүнүн жалпы формуласы:
V=So × с.
Бул жерде So базанын аянтын билдирет. Бул жерде эки эмес, бир негиз жөнүндө сөз болуп жатканын эстен чыгарбоо керек. h мааниси бийиктик болуп саналат. Изилденип жаткан фигуранын бийиктиги деп анын бирдей негиздеринин ортосундагы аралык түшүнүлөт. Бул аралык каптал кабыргалардын узундугу менен дал келсе, анда түз призма жөнүндө сөз болот. Түз фигуранын бардык тараптары тик бурчтуктар.
Ошентип, эгерде призма кыйшык болсо жана негизи туура эмес көп бурчтуу болсо, анда анын көлөмүн эсептөө татаалыраак болот. Эгерде фигура түз болсо, анда көлөмдү эсептөө базанын аянтын аныктоо үчүн гана кыскартылат So.
Кадимки фигуранын көлөмүн аныктоо
Үзгүлтүксүз - бул түз жана капталдары жана бурчтары бири-бирине барабар көп бурчтуу негизи бар бардык призмалар. Мисалы, мындай регулярдуу көп бурчтуктар квадрат жана тең жактуу үч бурчтук болуп саналат. Ошол эле учурда ромб регулярдуу фигура эмес, анткени анын бардык бурчтары бирдей эмес.
Регулярдуу призманын көлөмүнүн формуласы макаланын мурунку абзацында жазылган V үчүн жалпы туюнтмасынан бир түшүнүктүү келип чыгат. Тиешелүү формуланы жазуудан мурун, туура базанын аянтын аныктоо керек. Математикалык деталдарга барбастан, биз көрсөтүлгөн аймакты аныктоо формуласын сунуштайбыз. Ал бардык кадимки n-gon үчүн универсалдуу жана төмөнкү формага ээ:
S=n / 4 × ctg (pi / n) × a2.
Сиз туюнтмадан көрүнүп тургандай, Sn аянты эки параметрдин функциясы болуп саналат. Бүтүн саны n 3төн чексиздикке чейинки маанилерди ала алат. a мааниси n-гондун капталынын узундугу.
Фигуранын көлөмүн эсептөө үчүн S аянтын h бийиктигине же b каптал четинин узундугуна (h=b) көбөйтүү керек.. Натыйжада, биз төмөнкү жумушчу формулага келебиз:
V=n / 4 × ctg (pi / n) × a2 × ч.
Эскертүү: ыктыярдуу типтеги призманын көлөмүн аныктоо үчүн бир нече чоңдуктарды билүү керек (фигуранын негизинин капталдарынын узундугу, бийиктиги, эки жактуу бурчтары), бирок V маанисин эсептөө үчүн кадимки призма үчүн биз эки гана сызыктуу параметрди билишибиз керек, мисалы, a жана h.
Төрт бурчтуу регулярдуу призманын көлөмү
Төрт бурчтуу призма параллелепипед деп аталат. Эгерде анын бардык беттери бирдей жана квадраттар болсо, анда мындай фигура куб болот. Ар бир окуучу тик бурчтуу параллелепипедтин же кубдун көлөмү анын үч түрдүү капталын (узундугун, бийиктигин жана туурасын) көбөйтүү жолу менен аныкталарын билет. Бул факт кадимки фигура үчүн жазылган жалпы көлөмдүн туюнтмасынан келип чыгат:
V=n/4 × ctg (pi / n) × a2 × h=4/4 × ctg (pi / 4) × a2× ч=a2 × с.
Бул жерде 45° котангенси 1ге барабар. Негиздин бийиктиги h менен капталынын узундугунун теңдиги a автоматтык түрдө кубдун көлөмүнүн формуласына алып келерин эске алыңыз.
Алты бурчтуу регулярдуу призманын көлөмү
Эми алты бурчтуу фигуранын көлөмүн аныктоо үчүн жогорудагы теорияны колдонуңуз. Бул үчүн формуладагы n=6 маанисин алмаштыруу керек:
V=6/4 × ctg (pi / 6) × a2 × h=3 × √3/2 × a2 × с.
Жазылган туюнтманы S үчүн универсалдуу формуланы колдонбостон өз алдынча алууга болот. Бул үчүн кадимки алты бурчтукту алты тең жактуу үч бурчтукка бөлүү керек. Алардын ар биринин тарабы а барабар болот. Бир үч бурчтуктун аянты төмөнкүгө туура келет:
S3=√3/4 × a2.
Бул маанини үч бурчтуктардын санына (6) жана бийиктикке көбөйтүп, көлөм үчүн жогорудагы формуланы алабыз.
