Бул геометриялык фигуралар бизди бардык жерде курчап турат. Томпок көп бурчтуктар табигый болушу мүмкүн, мисалы, бал же жасалма (адам жасаган). Бул фигуралар ар кандай түрдөгү жабууларды өндүрүүдө, живописте, архитектурада, жасалгалоодо ж.б. Томпок көп бурчтуктар алардын бардык чекиттери бул геометриялык фигуранын жуп жанаша чокулары аркылуу өткөн түз сызыктын бир тарабында болуу касиетине ээ. Башка аныктамалар да бар. Көп бурчтук томпок деп аталат, эгерде ал анын бир капталын камтыган түз сызыкка карата бир жарым тегиздикте жайгашса.
Топтук көп бурчтуктар
Элементардык геометрия курсунда дайыма жөнөкөй көп бурчтуктар каралат. Мындай бардык касиеттерин түшүнүү үчүнгеометриялык фигуралар, алардын табиятын түшүнүү зарыл. Баштоо үчүн, ар кандай сызык жабык деп аталат, анын учтары дал келет. Мындан тышкары, ал тарабынан түзүлгөн фигура ар кандай конфигурацияларга ээ болушу мүмкүн. Көп бурчтук – бул кошуна звенолор бир түз сызыкта жайгашпаган жөнөкөй жабык сынык сызык. Анын шилтемелери жана чокулары, тиешелүүлүгүнө жараша, бул геометриялык фигуранын капталдары жана чокулары. Жөнөкөй көп сызыкта кесилишкен жерлер болбошу керек.
Көп бурчтуктун чокулары, эгерде алар анын бир капталынын учтарын көрсөтсө жанаша деп аталат. Чокуларынын n-саны, демек, тараптарынын n-саны бар геометриялык фигура n-гон деп аталат. Сынык сызыктын өзү бул геометриялык фигуранын чеги же контуру деп аталат. Көп бурчтуу тегиздик же жалпак көп бурчтук аны менен чектелген ар кандай тегиздиктин акыркы бөлүгү деп аталат. Бул геометриялык фигуранын чектеш капталдары бир чокудан чыккан сынык сызыктын сегменттери деп аталат. Эгер алар көп бурчтуктун ар кайсы чокуларынан келсе, алар чектеш болбойт.
Төмөнкү көп бурчтуктардын башка аныктамалары
Элементардык геометрияда кайсы көп бурчтук томпок деп атаарын көрсөткөн дагы бир нече эквиваленттүү аныктамалар бар. Бул айтылгандардын баары бирдей чындык. Көп бурчтук томпок деп эсептелет, эгерде:
• ичиндеги эки чекитти бириктирген ар бир сегмент толугу менен анын ичинде болот;
• анын ичиндеанын бардык диагоналдары жалган;
• бардык ички бурч 180° ашпайт.
Көп бурчтук дайыма тегиздикти 2 бөлүккө бөлөт. Алардын бири чектелген (ал тегерекче менен курчалган болот), экинчиси чексиз. Биринчиси ички аймак деп аталат, экинчиси бул геометриялык фигуранын сырткы аймагы. Бул көп бурчтук бир нече жарым тегиздиктердин кесилиши (башкача айтканда, жалпы компоненти) болуп саналат. Мындан тышкары, көп бурчтукка тиешелүү чекиттерде аяктаган ар бир сегмент толугу менен ага таандык.
Төмөнкү көп бурчтуктардын түрлөрү
Чоң бурчтуктун аныктамасы алардын көп түрү бар экенин билдирбейт. Жана алардын ар биринин белгилүү критерийлери бар. Ошентип, ички бурчу 180° болгон томпок көп бурчтуктар начар томпок деп аталат. Үч чокусу бар томпок геометриялык фигура үч бурчтук, төртөө төрт бурчтук, беш бурчтук ж.б деп аталат. Томпок n-бурчтардын ар бири төмөнкү негизги талапка жооп берет: n 3кө барабар же андан чоң болушу керек. үч бурчтуктар томпок. Бардык чокулары бир тегерекчеде жайгашкан мындай типтеги геометриялык фигура тегерекчеге чегилген деп аталат. Эгерде тегеректин жанындагы бардык капталдары тийсе, томпок көп бурчтук чектелген деп аталат. Эки көп бурчтук, эгерде аларды суперпозиция аркылуу коюуга мүмкүн болсо, бирдей деп айтылат. Тегиздик көп бурчтук көп бурчтуу тегиздик деп аталат.(тегиздиктин бир бөлүгү), бул геометриялык фигура менен чектелген.
Кадимки томпок көп бурчтуктар
Үзгүлтүксүз көп бурчтуктар - бирдей бурчтары жана тараптары бар геометриялык фигуралар. Алардын ичинде анын ар бир чокусунан бирдей аралыкта турган 0 чекити бар. Бул геометриялык фигуранын борбору деп аталат. Бул геометриялык фигуранын чокулары менен борборду бириктирген сегменттер апотемдер, ал эми 0 чекитинин капталдары менен туташтыргычтары радиустар деп аталат.
Жөнөкөй төрт бурчтук – бул квадрат. Тең жактуу үч бурчтук тең жактуу үч бурчтук деп аталат. Мындай фигуралар үчүн төмөнкү эреже бар: томпок көп бурчтуктун ар бир бурчу 180°(n-2)/ n, бул жерде n – бул томпок геометриялык фигуранын чокуларынын саны.
Кандайдыр бир нормалдуу көп бурчтуктун аянты формула менен аныкталат:
S=pч, мында p – берилген көп бурчтуктун бардык тараптарынын жарымынын суммасы жана h – апотеманын узундугу.
Төмөнкү көп бурчтуктардын касиеттери
Топтук көп бурчтуктар белгилүү касиеттерге ээ. Демек, мындай геометриялык фигуранын каалаган 2 чекитин бириктирүүчү сегмент сөзсүз түрдө анда жайгашкан. Далил:
Р берилген томпок көп бурчтук деп эсептейли. Биз 2 ыктыярдуу чекиттерди алабыз, мисалы, А, В, алар Р га таандык. Томпок көп бурчтуктун колдонулуп жаткан аныктамасына ылайык, бул чекиттер Рдин каалаган тарабын камтыган сызыктын бир тарабында жайгашкан. Демек, AB да ушундай касиетке ээ жана P ичинде камтылган. Томпок көп бурчтук ар дайым анын чокуларынын биринен тартылган бардык диагоналдары боюнча бир нече үч бурчтуктарга бөлүнүшү мүмкүн.
Төмөнкү геометриялык фигуралардын бурчтары
Төмөнкү көп бурчтуктун бурчтары анын капталдарынан түзүлгөн бурчтар. Ички бурчтар берилген геометриялык фигуранын ички аймагында жайгашкан. Анын бир чокусуна жакындаган капталдарынан пайда болгон бурч томпок көп бурчтуктун бурчу деп аталат. Берилген геометриялык фигуранын ички бурчтарына жанаша турган бурчтар тышкы деп аталат. Анын ичинде жайгашкан томпок көп бурчтуктун ар бир бурчу:
180° - x, мында x - тышкы бурчтун мааниси. Бул жөнөкөй формула ушул түрдөгү бардык геометриялык фигуралар үчүн иштейт.
Жалпысынан тышкы бурчтар үчүн төмөнкү эреже бар: томпок көп бурчтуктун ар бир бурчу 180° менен ички бурчтун маанисинин айырмасына барабар. Бул -180 ° дан 180 ° чейин өзгөргөн маанилерге ээ болушу мүмкүн. Демек, ички бурч 120° болгондо, сырткы бурч 60° болот.
Топтук көп бурчтуктардын бурчтарынын суммасы
Төмөнкү көп бурчтуктун ички бурчтарынын суммасы төмөнкү формула менен белгиленет:
180°(n-2), бул жерде n - n-гондун чокуларынын саны.
Төмөнкү көп бурчтуктун бурчтарынын суммасын эсептөө оңой. Мындай геометриялык фигураны карап көрөлү. Томпок көп бурчтуктун ичиндеги бурчтардын суммасын аныктоо үчүн зарыланын бир чокусун башка чокуларына туташтыруу. Бул аракеттин натыйжасында (n-2) үч бурчтуктар алынат. Ар кандай үч бурчтуктун бурчтарынын суммасы дайыма 180° экенин билебиз. Ар кандай көп бурчтуктагы алардын саны (n-2) болгондуктан, мындай фигуранын ички бурчтарынын суммасы 180° x (n-2) болот.
Берилген томпок геометриялык фигура үчүн томпок көп бурчтуктун бурчтарынын, тактап айтканда каалаган эки ички жана чектеш тышкы бурчтардын суммасы ар дайым 180° ге барабар болот. Мунун негизинде анын бардык бурчтарынын суммасын аныктай аласыз:
180 x n.
Ички бурчтардын суммасы 180°(n-2). Мунун негизинде бул көрсөткүчтүн бардык тышкы бурчтарынын суммасы формула менен белгиленет:
180°n-180°-(n-2)=360°.
Кандайдыр бир томпок көп бурчтуктун тышкы бурчтарынын суммасы ар дайым 360° болот (капталдарынын санына карабастан).
Төмөнкү көп бурчтуктун тышкы бурчу көбүнчө 180° менен ички бурчтун маанисинин ортосундагы айырма менен көрсөтүлөт.
Топбурчтуктун башка касиеттери
Бул геометриялык фигуралардын негизги касиеттеринен тышкары, аларды манипуляциялоодо пайда болгон башка касиеттери бар. Ошентип, көп бурчтуктардын каалаганын бир нече томпок n-бурчтарга бөлүүгө болот. Бул үчүн, анын ар бир тарабын улантып, бул түз сызыктар боюнча бул геометриялык фигураны кесүү керек. Ошондой эле ар бир көп бурчтукту бир нече томпок бөлүктөргө бөлүүгө болот, ошондой эле бөлүктөрүнүн ар биринин чокулары анын бардык чокулары менен дал келет. Мындай геометриялык фигурадан үч бурчтуктарды бардыгын тартуу менен абдан жөнөкөй жасоого болотбир чокудан диагоналдар. Ошентип, ар кандай көп бурчтук акыры үч бурчтуктун белгилүү бир санына бөлүнүшү мүмкүн, бул мындай геометриялык фигуралар менен байланышкан ар кандай маселелерди чечүүдө абдан пайдалуу болуп чыгат.
Топбурчтуктун периметри
Көп бурчтуктун тараптары деп аталган сынык сызыктын сегменттери көбүнчө төмөнкү тамгалар менен белгиленет: ab, bc, cd, de, ea. Бул чокулары a, b, c, d, e болгон геометриялык фигуранын капталдары. Бул томпок көп бурчтуктун бардык тараптарынын узундуктарынын суммасы анын периметри деп аталат.
Көп бурчтуктун айланасы
Төмөнкү көп бурчтуктарды жазууга жана чектоого болот. Бул геометриялык фигуранын бардык тарабына тийген тегерекче ага чегилген деп аталат. Мындай көп бурчтук чектелген деп аталат. Көп бурчтукка чегилген айлананын борбору берилген геометриялык фигуранын ичиндеги бардык бурчтардын биссектрисаларынын кесилишкен чекити болуп саналат. Мындай көп бурчтуктун аянты:
S=pr, мында r - чегилген айлананын радиусу жана p - берилген көп бурчтуктун жарым периметри.
Көп бурчтуктун чокуларын камтыган тегерек анын айланасында чектелген деп аталат. Мындан тышкары, бул томпок геометриялык фигура жазылган деп аталат. Мындай көп бурчтуктун тегерегинде чектелген тегеректин борбору бардык тараптардын перпендикулярдык биссектрисаларынын кесилишкен чекити болуп саналат.
Төмөнкү геометриялык фигуралардын диагоналдары
Төмөнкү көп бурчтуктун диагоналдары бул сегменттерчектеш эмес чокуларды бириктирүү. Алардын ар бири бул геометриялык фигуранын ичинде жатат. Мындай n-бурчтун диагоналдарынын саны төмөнкү формула менен белгиленет:
N=n (n – 3)/ 2.
Элементардык геометрияда томпок көп бурчтуктун диагоналдарынын саны маанилүү роль ойнойт. Ар бир томпок көп бурчтукту бөлүүгө мүмкүн болгон үч бурчтуктардын саны (K) төмөнкү формула боюнча эсептелет:
K=n – 2.
Чоң бурчтуктун диагоналдарынын саны ар дайым анын чокуларынын санына жараша болот.
Дөңсөк көп бурчтуктун ажыроосу
Айрым учурларда геометриялык маселелерди чыгаруу үчүн томпок көп бурчтукту диагональдары кесилишкен эмес бир нече үч бурчтукка бөлүү керек. Бул көйгөйдү белгилүү бир формуланы чыгаруу менен чечсе болот.
Маселенин аныктамасы: келгиле, томпок n-бурчту ушул геометриялык фигуранын чокуларында гана кесилишкен диагоналдар боюнча бир нече үч бурчтуктарга туура бөлүштүрөлү.
Чечим: Р1, Р2, Р3 …, Pn бул n-гондун чокулары болсун дейли. Xn саны - анын бөлүмдөрүнүн саны. Pi Pn геометриялык фигурасынын алынган диагоналын кылдат карап чыгалы. Кадимки бөлүмдөрдүн каалаганында P1 Pn белгилүү бир үч бурчтук P1 Pi Pn таандык, ал 1<i<n. Мындан келип чыгып, i=2, 3, 4 …, n-1 деп эсептесек, бул бөлүктөрдөн (n-2) топторун алабыз, алар бардык мүмкүн болгон конкреттүү учурларды камтыйт.
I=2 дайыма R2 Pn диагоналын камтыган кадимки бөлүктөрүнүн бир тобу болсун. Ага кирген бөлүмдөрдүн саны бөлүмдөрдүн саны менен бирдей(n-1)-gon P2 P3 P4… Pn. Башкача айтканда, ал Xn-1ге барабар.
Эгер i=3 болсо, анда бөлүмдөрдүн бул башка тобу ар дайым Р3 Р1 жана Р3 Pn диагоналдарын камтыйт. Бул учурда, бул топто камтылган кадимки бөлүмдөрдүн саны (n-2)-gon P3 P4 … Pn бөлүктөрүнүн санына дал келет. Башкача айтканда, ал Xn-2ге барабар болот.
I=4 болсун, анда үч бурчтуктардын арасында кадимки бөлүм P1 P4 Pn үч бурчтугун камтыйт, ага P1 P2 P3 P4, (n-3)-gon P4 P5 … Pn төрт бурчтук кошулат.. Мындай төрт бурчтуктун регулярдуу бөлүктөрүнүн саны X4, ал эми (n-3)-гондун бөлүктөрүнүн саны Xn-3. Жогоруда айтылгандардын негизинде, биз бул топто камтылган туура бөлүмдөрдүн жалпы саны Xn-3 X4 деп айта алабыз. i=4, 5, 6, 7… болгон башка топтор Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 … кадимки бөлүмдөрдү камтыйт.
I=n-2 болсун, анда бул топтогу туура бөлүнүүлөрдүн саны i=2 болгон топтун бөлүктөрүнүн саны менен бирдей болот (башкача айтканда, Xn-1ге барабар).
X1=X2=0, X3=1, X4=2… болгондуктан, томпок көп бурчтуктун бардык бөлүктөрүнүн саны:
Xn=Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + … + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.
Мисалы:
X5=X4 + X3 + X4=5
X6=X5 + X4 + X4 + X5=14
X7=X6 + X5 + X4X4 + X5 + X6=42
X8=X7 + X6 + X5X4 + X4X5 + X6 + X7=132
Ичинде бир диагональ менен кесилишкен туура бөлүктөрдүн саны
Өзгөчө иштерди текшерип жатканда, төмөнкүгө келсе болоттомпок n-гондордун диагоналдарынын саны бул фигуранын бардык бөлүктөрүнүн (n-3) көбөйтүндүсүнө барабар деген божомол.
Бул божомолдун далили: P1n=Xn(n-3) деп элестетиңиз, анда каалаган n-гонду (n-2)-үч бурчтуктарга бөлүүгө болот. Мындан тышкары, алардан (n-3) төрт бурчтуу түзүлүшү мүмкүн. Муну менен катар ар бир төрт бурчтуктун диагоналы болот. Бул томпок геометриялык фигурада эки диагонал тартууга мүмкүн болгондуктан, бул кошумча (n-3) диагоналдарды каалаган (n-3) төрт бурчтуу сызууга болот дегенди билдирет. Ушуга таянып, биз каалаган регулярдуу бөлүштүрүүдө бул маселенин шарттарына жооп берген (n-3)-диагоналдарын тартууга болот деген тыянак чыгарууга болот.
Төмөнкү көп бурчтуктардын аянты
Көп учурда элементардык геометриянын ар кандай маселелерин чечүүдө томпок көп бурчтуктун аянтын аныктоо зарыл болуп калат. (Xi. Yi), i=1, 2, 3… n - өз алдынча кесилишкен жерлери жок көп бурчтуктун бардык кошуна чокуларынын координаттарынын ырааттуулугу деп ойлойлу. Бул учурда анын аянты төмөнкү формула боюнча эсептелет:
S=½ (∑ (Xi + Xi + 1) (Yi + Yi + 1)), кайда (X1, Y1)=(Xn +1, Yn + 1).
