Үч бурчтук – үч тарабы (үч бурчу) бар көп бурчтук. Көбүнчө тараптар карама-каршы чокуларды билдирген баш тамгаларга туура келген кичинекей тамгалар менен белгиленет. Бул макалада биз бул геометриялык фигуралардын түрлөрү, үч бурчтуктун бурчтарынын суммасы эмне экенин аныктоочу теорема менен таанышабыз.
Бурчтар боюнча көрүү
Үч чокусу бар көп бурчтуктун төмөнкү түрлөрү айырмаланат:
- курч бурчтуу, анын бардык бурчтары курч;
- тик бурчтуу, бир тик бурчка ээ, ал эми аны түзгөн тараптар буттар деп аталат, ал эми туура бурчка карама-каршы жайгашкан тарап гипотенуза деп аталат;
- бир бурчу сүйрү болгондо сүйрү;
- эки жагы бирдей жана алар каптал деп аталат, үчүнчүсү үч бурчтуктун негизи;
- тең жактуу, үч тарабы тең бирдей.
Касиеттер
Алар үч бурчтуктун ар бир түрүнө мүнөздүү болгон негизги касиеттерди бөлүп көрсөтөт:
- чоң тараптын карама-каршысында дайыма чоңураак бурч болот жана тескерисинче;
- бирдей өлчөмдөгү карама-каршы тараптар бирдей бурчтар жана тескерисинче;
- ар кандай үч бурчтуктун эки курч бурчу бар;
- тышкы бурч ага чектеш эмес бардык ички бурчтардан чоңураак;
- каалаган эки бурчтун суммасы ар дайым 180 градустан аз;
- тышкы бурч аны менен кесилишпеген башка эки бурчтун суммасына барабар.
Бурчтардын үч бурчтуктун суммасы
Теоремада айтылгандай, эгер сиз Евклид тегиздигинде жайгашкан берилген геометриялык фигуранын бардык бурчтарын кошсоңуз, анда алардын суммасы 180 градус болот. Келгиле, бул теореманы далилдегенге аракет кылалы.
Келгиле, чокулары KMN болгон ыктыярдуу үч бурчтук алалы.
М чокусу аркылуу KN түз сызыгына параллель түз сызык өткөрөбүз (бул сызык Евклид түз сызыгы деп да аталат). Ага А чекитти К жана А чекиттери MN түз сызыгынын ар кайсы тарабында жайгашкандай кылып белгилейбиз. Биз бирдей AMN жана KNM бурчтарын алабыз, алар ички бурчтар сыяктуу эле кайчылаш жайгашкан жана MN секанты менен параллель болгон KN жана MA түз сызыктары менен бирге түзүлөт. Мындан М жана Н чокуларында жайгашкан үч бурчтуктун бурчтарынын суммасы KMA бурчунун чоңдугуна барабар экени келип чыгат. Бардык үч бурч тең сумманы түзөт, ал KMA жана MKN бурчтарынын суммасына барабар. Бул бурчтар карата ички бир жактуу болгондуктанпараллель түз сызыктар KN жана MA секанты KM, алардын суммасы 180 градус. Теорема далилденген.
Натыйжа
Жогоруда далилденген теоремадан төмөнкү жыйынтык келип чыгат: каалаган үч бурчтуктун эки курч бурчу болот. Муну далилдөө үчүн берилген геометриялык фигура бир гана курч бурчка ээ деп эсептейли. Ошондой эле бурчтардын бири да курч эмес деп болжолдоого болот. Бул учурда, 90 градуска барабар же андан жогору болгон жок дегенде эки бурч болушу керек. Бирок анда бурчтардын суммасы 180 градустан чоң болот. Бирок бул болушу мүмкүн эмес, анткени теоремага ылайык, үч бурчтуктун бурчтарынын суммасы 180 ° - ашык эмес жана кем эмес. Бул далилдениши керек болчу.
Сырткы бурчтун мүлкү
Үч бурчтуктун сырткы бурчтарынын суммасы канча? Бул суроого эки жолдун бирине жооп берсе болот. Биринчиси, ар бир чокудан бирден, башкача айтканда үч бурчтан алынган бурчтардын суммасын табуу керек. Экинчиси, чокулардагы бардык алты бурчтун суммасын табуу керек экенин билдирет. Биринчиден, биринчи вариантты карап көрөлү. Ошентип, үч бурчтук алты тышкы бурчун камтыйт - ар бир чокусунда экиден.
Ар бир түгөй бирдей бурчтарга ээ, анткени алар вертикалдуу:
∟1=∟4, ∟2=∟5, ∟3=∟6.
Мындан тышкары үч бурчтуктун тышкы бурчу аны менен кесилишпеген эки ички бурчтун суммасына барабар экени белгилүү. Ошондуктан, ∟1=∟A + ∟C, ∟2=∟A + ∟B, ∟3=∟B + ∟C.
Мындан сырткы сумма экени билинип туратар бир чокудан бирден алынган бурчтар төмөнкүгө барабар болот:
∟1 + ∟2 + ∟3=∟A + ∟C + ∟A + ∟B + ∟B + ∟C=2 x (∟A + ∟B + ∟C).
Бурчтардын суммасы 180 градус экенин эске алып, ∟A + ∟B + ∟C=180° деп айтууга болот. Жана бул ∟1 + ∟2 + ∟3=2 x 180°=360° дегенди билдирет. Эгерде экинчи вариант колдонулса, анда алты бурчтун суммасы тиешелүүлүгүнө жараша эки эсе чоң болот. Башкача айтканда, үч бурчтуктун тышкы бурчтарынын суммасы:
∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6=2 x (∟1 + ∟2 + ∟2)=720°.
Оң үч бурчтук
Түк бурчтуктун курч бурчтарынын суммасы канчага барабар? Бул суроонун жообу, дагы бир жолу, үч бурчтуктун бурчтары 180 градуска чейин кошулат деген теоремадан келип чыгат. Ал эми биздин билдирүүбүз (мүлкүбүз) мындай угулат: туура үч бурчтукта курч бурчтар 90 градуска чейин кошулат. Анын чындыгын далилдейли.
Бизге ∟Н=90° болгон KMN үч бурчтугу берилсин. ∟K + ∟M=90° экенин далилдеш керек.
Демек, бурчтук сумма теоремасы боюнча ∟К + ∟М + ∟Н=180°. Биздин шарт ∟Н=90° дейт. Демек, ∟K + ∟M + 90°=180° болот. Башкача айтканда, ∟K + ∟M=180° - 90°=90°. Муну биз далилдешибиз керек болчу.
Түк бурчтуктун жогорудагы касиеттеринен тышкары, төмөнкүнү кошсоңуз болот:
- буттарга каршы турган бурчтар курч;
- гипотенуза бардык буттарга караганда үч бурчтуу;
- буттардын суммасы гипотенузага караганда чоңураак;
- бут30 градус бурчка карама-каршы турган үч бурчтук гипотенузанын жарымы, б.а. анын жарымына барабар.
Бул геометриялык фигуранын дагы бир касиети катары Пифагор теоремасын бөлүп көрсөтүүгө болот. Ал 90 градус бурчтуу үч бурчтукта (тик бурчтуу) буттарынын квадраттарынын суммасы гипотенузанын квадратына барабар экенин айтат.
Тең бурчтуу үч бурчтуктун бурчтарынын суммасы
Мурда биз тең барабар үч чокусу бар көп бурчтук деп айтканбыз, анын эки бирдей тарабы бар. Берилген геометриялык фигуранын бул касиети белгилүү: анын түбүндөгү бурчтар барабар. Келгиле, муну далилдейли.
КМN үч бурчтугун алалы, ал тең жактуу, KN анын негизи.
Бизден ∟К=∟Н экендигин далилдешибиз керек. Ошентип, MA биздин KMN үч бурчтугубуздун биссектрисасы болсун дейли. MCA үч бурчтугу теңдиктин биринчи белгисин эске алуу менен MCA үч бурчтугуна барабар. Тактап айтканда, шарт боюнча KM=NM, MA жалпы тарап, ∟1=∟2 деп берилген, анткени MA биссектриса. Бул эки үч бурчтуктун тең экендигин пайдаланып, ∟K=∟Н деп айта алабыз. Ошентип, теорема далилденген.
Бирок бизди үч бурчтуктун бурчтарынын суммасы канча экени кызыктырат. Бул жагынан анын өзүнүн өзгөчөлүгү болбогондуктан, биз мурда каралган теоремадан баштайбыз. Башкача айтканда, ∟K + ∟M + ∟H=180°, же 2 x ∟K + ∟M=180° (∟K=∟H болгондуктан) деп айта алабыз. Биз бул касиетти далилдебейбиз, анткени үч бурчтуктун суммасы теореманын өзү мурда далилденген.
Талкуулангандан башкасыүч бурчтуктун бурчтары жөнүндө өзгөчөлүктөр, ошондой эле мындай маанилүү билдирүүлөр бар:
- тең бурчтуу үч бурчтукта негизге түшүрүлгөн бийиктик медиана, бирдей тараптардын ортосундагы бурчтун биссектрисасы, ошондой эле анын негизинин симметрия огу болуп саналат;
- Мындай геометриялык фигуранын капталдарына тартылган медианалар (биссектрисалар, бийиктиктер) барабар.
Тең жактуу үч бурчтук
Бул туура деп да аталат, ал бардык тараптары бирдей болгон үч бурчтук. Демек, бурчтар да бирдей. Ар бири 60 градус. Келиңиз, бул мүлктү далилдейли.
Бизде KMN үч бурчтугу бар деп ойлойлу. KM=NM=KN экенин билебиз. Ал эми бул тең жактуу үч бурчтуктун түбүндө жайгашкан бурчтардын касиетине ылайык ∟К=∟М=∟Н экенин билдирет. Теорема боюнча үч бурчтуктун бурчтарынын суммасы ∟К + ∟М + ∟Н=180° болгондуктан, анда 3 x ∟К=180° же ∟К=60°, ∟М=60°, ∟ Н=60°. Ошентип, сөз далилденди.
Теореманын негизинде келтирилген жогорудагы далилден көрүнүп тургандай, башка үч бурчтуктун бурчтарынын суммасы сыяктуу тең жактуу үч бурчтуктун бурчтарынын суммасы 180 градуска барабар. Бул теореманы кайра далилдөөнүн кереги жок.
Тең жактуу үч бурчтукка мүнөздүү касиеттер дагы бар:
Мындай геометриялык фигурадагы
Тут бурчтуу үч бурчтук
Толук үч бурчтуктун аныктамасына ылайык, анын бир бурчу 90 менен 180 градустун ортосунда. Бирок бул геометриялык фигуранын калган эки бурчу курч экенин эске алсак, алар 90 градустан ашпайт деген жыйынтыкка келсек болот. Демек, үч бурчтуктун бурчтарынын суммасы теоремасы сүйрү үч бурчтуктун бурчтарынын суммасын эсептөөдө иштейт. Көрсө, жогоруда айтылган теореманын негизинде, сүйрү үч бурчтуктун бурчтарынын суммасы 180 градус деп ишенимдүү айта алабыз. Дагы бир жолу, бул теореманы кайра далилдөөнүн кереги жок.
