Үч бурчтук, квадрат, алты бурчтук - бул фигуралар дээрлик баарына белгилүү. Бирок кадимки көп бурчтук эмне экенин баары эле биле бербейт. Бирок булардын баары бирдей геометриялык фигуралар. Кадимки көп бурчтук - бирдей бурчтары жана тараптары бар көп бурчтук. Мындай цифралар көп, бирок алардын бардыгы бирдей касиетке ээ жана аларга бирдей формулалар колдонулат.
Регитимдүү көп бурчтуктардын касиеттери
Кандай гана нормалдуу көп бурчтук болбосун, ал чарчы же сегиз бурчтук болсун, тегерекчеге жазылса болот. Бул негизги касиет көбүнчө фигураны курууда колдонулат. Мындан тышкары, тегеректи көп бурчтукка да жазса болот. Бул учурда байланыш чекиттеринин саны анын тараптарынын санына барабар болот. Кадимки көп бурчтукка чегилген тегерек аны менен жалпы борборго ээ болушу маанилүү. Бул геометриялык фигуралар ошол эле теоремага баш ийет. Ар кандай тарапрегулярдуу n-гондон анын айланасында чектелген тегеректин R радиусу менен байланышкан. Ошондуктан аны төмөнкү формула менен эсептөөгө болот: a=2R ∙ sin180°. Айлананын радиусу аркылуу көп бурчтуктун капталдарын гана эмес, периметрин да таба аласыз.
Жөнөкөй көп бурчтуктун тараптарынын санын кантип табууга болот
Кандайдыр бир регулярдуу n-gon бири-бирине барабар болгон сегменттердин белгилүү санынан турат, алар туташтырылганда жабык сызыкты түзөт. Бул учурда, түзүлгөн фигуранын бардык бурчтары бирдей мааниге ээ. Көп бурчтуктар жөнөкөй жана татаал болуп бөлүнөт. Биринчи топко үч бурчтук жана төрт бурчтук кирет. Татаал көп бурчтуктардын көп жактары болот. Алардын арасында жылдыз сымал фигуралар да бар. Татаал регулярдуу көп бурчтуктар үчүн капталдары тегерекчеге жазуу жолу менен табылат. Далил келтирели. Капталдарынын саны n болгон нормалдуу көп бурчтук тарткыла. Анын тегерегиндеги айлананы сүрөттөп бер. R радиусун көрсөтүңүз. Эми кээ бир n-gon берилгенин элестетиңиз. Эгерде анын бурчтарынын чекиттери тегеректин үстүндө жатса жана бири-бирине барабар болсо, анда тараптарды формула боюнча табууга болот: a=2R ∙ sinα: 2.
Ичтелген туура үч бурчтуктун тараптарынын санын табуу
Тең жактуу үч бурчтук – бул туура көп бурчтук. Квадрат жана n-гон үчүн бирдей формулалар колдонулат. Үч бурчтуктун тараптарынын узундугу бирдей болсо, туура деп эсептелет. Бул учурда, бурчтар 60⁰ болот. Капталынын узундугу a болгон үч бурчтукту түзүңүз. Анын медианасын жана бийиктигин билип,анын тараптарынын баасын таба аласыз. Бул үчүн, a \u003d x формуласы аркылуу табуу ыкмасын колдонобуз: cosα, мында x медиана же бийиктик. Үч бурчтуктун бардык тараптары бирдей болгондуктан, a=b=c алабыз. Анда төмөнкү билдирүү туура болот a=b=c=x: cosα. Ошо сыяктуу эле, сиз тең жактуу үч бурчтуктун тараптарынын маанисин таба аласыз, бирок х берилген бийиктик болот. Ошол эле учурда, ал фигуранын негизинде катуу долбоорлоо керек. Ошентип, х бийиктигин билип, биз a \u003d b \u003d x: cosα формуласын колдонуп, тең жактуу үч бурчтуктун а тарабын табабыз. aнын маанисин тапкандан кийин, с негизинин узундугун эсептей аласыз. Пифагор теоремасын колдонолу. Биз жарым базанын маанисин издейбиз c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2)=√x^2 (1 - cos^2α): cos^2α=x ∙ tgα. Анда c=2xtanα. Бул жерде кандайдыр бир чегилген көп бурчтуктун тараптарынын санын табуунун жөнөкөй жолу.
Тегерекке чегилген квадраттын капталдарын эсептеңиз
Башка чегилген нормалдуу көп бурчтуктар сыяктуу, квадраттын да бирдей тараптары жана бурчтары бар. Үч бурчтукка окшош формулалар ага да колдонулат. Сиз диагоналдын маанисин колдонуп, квадраттын капталдарын эсептей аласыз. Бул ыкманы кененирээк карап көрөлү. Диагонал бурчту экиге бөлөрү белгилүү. Башында, анын мааниси 90 градус болгон. Ошентип, бөлүнгөндөн кийин эки тик бурчтуу үч бурчтук пайда болот. Алардын негизги бурчтары 45 градус болот. Демек, квадраттын ар бир тарабы бирдей болот, башкача айтканда: a \u003d c \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e √ 2: 2, мында e - квадраттын диагоналы же негизи бөлүнгөндөн кийин пайда болгон тик бурчтук. Бул жалгыз жол эмесквадраттын тараптарын табуу. Бул фигураны тегерекчеге жазалы. Бул тегерек R радиусун билип, квадраттын капталын табабыз. Аны төмөнкүдөй эсептейбиз a4=R√2. Регулярдуу көп бурчтуктардын радиустары R=a: 2tg формуласы менен эсептелет (360o: 2n), мында a – каптал узундугу.
n-бурчтун периметрин кантип эсептөө керек
n-гондун периметри анын бардык тараптарынын суммасы. Аны эсептөө оңой. Бул үчүн, бардык тараптардын баалуулуктарын билиши керек. Көп бурчтуктардын кээ бир түрлөрү үчүн атайын формулалар бар. Алар периметрин тезирээк табууга мүмкүндүк берет. Ар кандай туура көп бурчтуктун бирдей тараптары бар экени белгилүү. Ошондуктан, анын периметрин эсептөө үчүн, алардын жок дегенде бирин билүү жетиштүү. Формула фигуранын тараптарынын санына жараша болот. Жалпысынан алганда, мындай көрүнөт: P \u003d an, мында a - капталдын мааниси, ал эми n - бурчтардын саны. Мисалы, капталы 3 см болгон туура сегиз бурчтуктун периметрин табуу үчүн аны 8ге көбөйтүү керек, башкача айтканда, P=3 ∙ 8=24 см. Капталы 5 см болгон алты бурчтук үчүн биз эсептейбиз. төмөнкүдөй: P=5 ∙ 6=30 см жана ар бир көп бурчтук үчүн.
Параллелограммдын, квадраттын жана ромбтун периметрин табуу
Кадимки көп бурчтуктун канча тарабы бар экенине жараша анын периметри эсептелет. Бул ишти бир топ жеңилдетет. Чынында эле, башка сандардан айырмаланып, бул учурда анын бардык жактарын издөөнүн кажети жок, бирөө эле жетиштүү. Ушул эле принцип боюнча периметрди табабызтөрт бурчтуктар, башкача айтканда, квадрат жана ромб. Булар ар кандай фигуралар болгонуна карабастан, алардын формуласы бирдей P=4a, мында a - каптал. Мисал келтирели. Эгерде ромбдун же квадраттын тарабы 6 см болсо, анда периметрди төмөнкүчө табабыз: P \u003d 4 ∙ 6 \u003d 24 см Параллелограммдын карама-каршы жактары гана бар. Ошондуктан, анын периметри башка ыкма менен табылган. Демек, биз фигуранын узундугун а жана b туурасын билишибиз керек. Андан кийин P=(a + c) ∙ 2 формуласын колдонобуз. Бардык тараптары жана ортосундагы бурчтары бирдей болгон параллелограмм ромб деп аталат.
Тең жактуу жана тик бурчтуктун периметрин табуу
Регулярдуу тең жактуу үч бурчтуктун периметрин P=3a формуласы боюнча табууга болот, мында а - капталынын узундугу. Эгер белгисиз болсо, аны медиана аркылуу табууга болот. Тик бурчтуктун эки тарабы гана бирдей. негизин Пифагор теоремасы аркылуу тапса болот. Бардык үч тараптын баалуулуктары белгилүү болгондон кийин, периметрди эсептейбиз. Аны P \u003d a + b + c формуласын колдонуу менен табууга болот, мында a жана b бирдей тараптар, ал эми в негизи. Эске салсак, тегиз жактуу үч бурчтукта a \u003d b \u003d a, демек, a + b \u003d 2a, андан кийин P \u003d 2a + c. Мисалы, тең жактуу үч бурчтуктун капталы 4 см, анын негизин жана периметрин табыңыз. Гипотенузанын маанисин Пифагор теоремасы аркылуу эсептейбиз c=√a2 + v2=√16+16=√32=5,65 см. Эми биз периметрди эсептейбиз Р=2 ∙ 4 + 5, 65=13,65 см.
Жөнөкөй көп бурчтуктун бурчтарын кантип тапса болот
Кадимки көп бурчтукжашообузда күн сайын кездешет, мисалы, кадимки квадрат, үч бурчтук, сегиз бурчтук. Бул фигураны өзүңүз куруудан оңой эч нерсе жоктой сезилет. Бирок бул биринчи караганда. Кандайдыр бир n-гонду куруу үчүн анын бурчтарынын маанисин билүү керек. Бирок аларды кантип табасың? Атүгүл байыркы окумуштуулар үзгүлтүксүз көп бурчтуктарды курууга аракет кылышкан. Аларды тегерекчелерге сыйдырууну ойлошту. Анан ага түз сызыктар менен байланышкан керектүү чекиттер белгиленген. Жөнөкөй цифралар үчүн курулуш маселеси чечилди. Формулалар жана теоремалар алынган. Мисалы, Евклид өзүнүн атактуу «Башталышы» аттуу эмгегинде 3-, 4-, 5-, 6- жана 15-гондор үчүн маселелерди чыгаруу менен алектенген. Аларды куруу жана бурчтарды табуу жолдорун тапкан. Келгиле, муну 15-гон үчүн кантип жасоону карап көрөлү. Алгач анын ички бурчтарынын суммасын эсептөө керек. S=180⁰(n-2) формуласын колдонуу зарыл. Ошентип, бизге 15-гон берилген, бул n саны 15 дегенди билдирет. Биз формулага биз билген маалыматтарды алмаштырып, S=180⁰ (15 - 2)=180⁰ x 13=2340⁰ алабыз. Биз 15-гондун бардык ички бурчтарынын суммасын таптык. Эми алардын ар биринин баасын алышыбыз керек. Бардыгы болуп 15 бурч бар. Биз 2340⁰ эсебин жасайбыз: 15=156⁰. Бул ар бир ички бурч 156⁰ экенин билдирет, азыр сызгыч жана циркуль колдонуп, сиз кадимки 15-гон кура аласыз. Бирок татаал н-гондор жөнүндө эмне айтууга болот? Кылымдар бою окумуштуулар бул маселени чечүү үчүн күрөшүп келишет. Аны 18-кылымда Карл Фридрих Гаусс гана тапкан. Ал 65537-гонду кура алган. Ошондон бери маселе расмий түрдө толугу менен чечилди деп эсептелет.
n-бурчтардын бурчтарын эсептөөрадианда
Албетте, көп бурчтуктардын бурчтарын табуунун бир нече жолу бар. Көбүнчө алар градус менен эсептелет. Бирок сиз аларды радиан менен да билдирсеңиз болот. Муну кандай жасаш керек? Төмөнкүдөй иш жүргүзүү зарыл. Адегенде нормалдуу көп бурчтуктун тараптарынын санын табабыз, андан 2ни кемитебиз. Ошентип, маанини алабыз: n - 2. Табылган айырманы n санына көбөйтөбүз (“pi”=3, 14). Эми алынган продуктуну n-гондогу бурчтардын санына бөлүү гана калды. Ошол эле он беш жактуу мисалды колдонуп, бул эсептөөлөрдү карап көрөлү. Демек, n саны 15. формуланы колдонуңуз S=p(n - 2): n=3, 14(15 - 2): 15=3, 14 ∙ 13: 15=2, 72. Бул, албетте, радиандагы бурчту эсептөөнүн жалгыз жолу эмес. Сиз жөн гана градус менен бурчтун өлчөмүн 57, 3 санына бөлсөңүз болот. Анткени, көптөгөн градустар бир радианга барабар.
Бурчтардын маанисин градус менен эсептеңиз
Градус менен радиандардан тышкары, нормалдуу көп бурчтуктун бурчтарынын маанисин град менен табууга аракет кылсаңыз болот. Бул төмөнкү жол менен жүзөгө ашырылат. Бурчтардын жалпы санынан 2ни кемитип, алынган айырманы туура көп бурчтуктун тараптарынын санына бөлгүлө. Табылган натыйжаны 200гө көбөйтөбүз. Айтмакчы, мөндүр сыяктуу бурчтарды өлчөө бирдиги иш жүзүндө колдонулбайт.
n-бурчтардын тышкы бурчтарын эсептөө
Ичкиден башка кадимки көп бурчтуктар үчүн тышкы бурчту да эсептей аласыз. Анын мааниси башка цифралардагыдай эле табылат. Ошентип, кадимки көп бурчтуктун тышкы бурчун табуу үчүн, керекички маанисин билүү. Андан тышкары, бул эки бурчтун суммасы ар дайым 180 градус экенин билебиз. Ошондуктан, биз эсептөөлөрдү төмөнкүдөй жасайбыз: 180⁰ минус ички бурчтун мааниси. Биз айырманы табабыз. Ал ага чектеш бурчтун маанисине барабар болот. Мисалы, квадраттын ички бурчу 90 градус, ошондуктан сырткы бурчу 180⁰ - 90⁰=90⁰ болот. Көрүнүп тургандай, аны табуу кыйын эмес. Тышкы бурч тиешелүүлүгүнө жараша +180⁰ден -180⁰ге чейинки маанини алышы мүмкүн.
