Бул макалада метод сызыктуу теңдемелер системасын (SLAE) чечүүнүн бир жолу катары каралат. Метод аналитикалык, башкача айтканда, жалпы чечим алгоритмин жазууга, андан кийин ал жердеги конкреттүү мисалдардын маанилерин алмаштырууга мүмкүндүк берет. Матрицалык методдон же Крамердин формулаларынан айырмаланып, сызыктуу теңдемелер системасын Гаусс ыкмасы менен чечүүдө сиз чексиз көп чечимдерге ээ болгондор менен да иштей аласыз. Же такыр жок.
Гаусс ыкмасы менен чечүү эмнени билдирет?
Биринчиден, биз теңдемелер системасын матрица катары жазып алышыбыз керек. Бул окшойт. Система алынды:
Коэффициенттер таблица түрүндө, ал эми оң жагында өзүнчө тилкеде - бош мүчөлөр жазылат. Бош мүчөлөр бар тилке ыңгайлуулук үчүн тик тилке менен бөлүнгөн. Бул тилкени камтыган матрица кеңейтилген деп аталат.
Кийин, коэффициенттери бар негизги матрица жогорку үч бурчтук формага келтирилиши керек. Бул системаны Гаусс ыкмасы менен чечүүнүн негизги пункту. Жөнөкөй сөз менен айтканда, белгилүү бир манипуляциялардан кийин матрица төмөнкүдөй болушу керек, анын төмөнкү сол бөлүгүндө нөлдөр гана болушу керек:
Андан кийин, эгер сиз жаңы матрицаны кайра теңдемелер системасы катары жазсаңыз, акыркы сапта тамырлардын биринин мааниси камтылганын, андан кийин жогорудагы теңдемеге алмаштырылганын, башка тамыр табылганын байкайсыз., жана башкалар.
Бул Гаусс чечиминин эң жалпы терминдер менен сүрөттөлүшү. Жана күтүлбөгөн жерден системанын чечими жок болсо эмне болот? Же алардын чексиз саны барбы? Ушул жана башка көптөгөн суроолорго жооп берүү үчүн Гаусс ыкмасы менен чечимде колдонулган бардык элементтерди өзүнчө карап чыгуу керек.
Матрицалар, алардын касиеттери
Матрицада эч кандай жашыруун маани жок. Бул кийинки операциялар үчүн маалыматтарды жаздыруунун ыңгайлуу жолу. Алардан мектеп окуучулары да коркпошу керек.
Матрица ар дайым тик бурчтуу, анткени ал ыңгайлуу. Гаусс методунда да, бардыгы үч бурчтуу матрицаны курууга чейин кайнап турганда, жазууда тик бурчтук пайда болот, сандар жок жерде гана нөлдөр менен. Нөлдөрдү көрсөтпөй коюуга болот, бирок алар болжолдонууда.
Матрицанын өлчөмү бар. Анын "туурасы" - катарлардын саны (м), "узундугу" - мамычалардын саны (n). Анда А матрицанын өлчөмү (алардын белгилөө үчүн көбүнчө латын тамгалары колдонулат) Am×n катары белгиленет. Эгерде m=n болсо, анда бул матрица квадрат, жанаm=n - анын тартиби. Демек, А матрицасынын каалаган элементин анын сап жана мамычасынын саны менен белгилесе болот: axy; x - сап номери, өзгөртүү [1, м], y - мамычанын номери, өзгөртүү [1, n].
Гаусс методунда матрицалар чечимдин негизги пункту эмес. Негизи бардык операцияларды теңдемелердин өзүлөрү менен түздөн-түз аткарууга болот, бирок белгилер бир топ түйшүктүү болуп, андагы чаташтыруу бир топ жеңил болот.
Квалификация
Матрицанын аныктоочу да бар. Бул абдан маанилүү өзгөчөлүк болуп саналат. Анын маанисин азыр табуу анчалык деле кереги жок, сиз жөн гана анын кантип эсептелгенин көрсөтүп, анан матрицанын кандай касиеттерин аныктай турганын айтып бере аласыз. Детерминантты табуунун эң оңой жолу - диагоналдар аркылуу. Матрицада элестүү диагоналдар тартылат; алардын ар биринде жайгашкан элементтер көбөйтүлөт, андан кийин алынган продуктылар кошулат: оңго эңкейиштүү диагоналдар - "плюс" белгиси менен, солго эңкейиш - "минус" белгиси менен.
Детерминант чарчы матрица үчүн гана эсептелиши мүмкүн экенин белгилей кетүү абдан маанилүү. Төрт бурчтуу матрица үчүн төмөнкүнү аткара аласыз: саптардын жана мамычалардын санынын эң кичүүсүн тандаңыз (ал k болсун), андан кийин матрицадагы k мамыча менен k сапты туш келди белгилеңиз. Тандалган мамычалардын жана саптардын кесилишинде жайгашкан элементтер жаңы чарчы матрицаны түзөт. Эгерде мындай матрицанын аныктоочусу нөлдөн башка сан болсо, анда ал баштапкы тик бурчтуу матрицанын негизги минору деп аталат.
МурдаГаусс ыкмасы менен теңдемелер системасын чечүүнү кантип баштоо керек, аныктоочуну эсептөө зыяны жок. Эгерде ал нөл болуп чыкса, анда биз дароо эле матрицада чексиз сандагы чечимдер бар же такыр жок деп айта алабыз. Мындай кейиштүү учурда, сиз андан ары барып, матрицанын даражасын билишиңиз керек.
Системалардын классификациясы
Матрицанын даражасы деген нерсе бар. Бул анын нөлдөн башка детерминанттын максималдуу тартиби (базис минорду эстеп, матрицанын рангы базис минорунун тартиби деп айта алабыз).
Нарлардын даражасы боюнча ЖАЯН төмөнкүгө бөлүнөт:
- Биргелешкен. Биргелешкен системалар үчүн негизги матрицанын рангы (коэффициенттерден гана турган) кеңейтилгендин рангы менен дал келет (эркин терминдердин мамычасы менен). Мындай системалардын чечими бар, бирок сөзсүз түрдө бир эмес, ошондуктан биргелешкен системалар кошумча түрдө төмөнкүлөргө бөлүнөт:
- - так - уникалдуу чечимге ээ. Белгилүү системаларда матрицанын даражасы жана белгисиздердин саны бирдей (же тилкелердин саны, бул бир эле нерсе);
- - белгисиз - чексиз сандагы чечимдер менен. Мындай системалардагы матрицалардын даражасы белгисиздердин санынан азыраак.
- Шайкеш келбейт. Мындай системалар үчүн негизги жана кеңейтилген матрицалардын рангдары дал келбейт. Шайкеш келбеген системалардын чечими жок.
Гаусс ыкмасы жакшы, анткени ал системанын карама-каршылыгынын ачык далилин (чоң матрицалардын детерминанттарын эсептебестен) же чексиз сандагы чечимдери бар система үчүн жалпы чечимди алууга мүмкүндүк берет.
Элементардык трансформациялар
Мурдасистеманы чечүү үчүн түздөн-түз кантип өтүү үчүн, сиз аны азыраак түйшүктүү жана эсептөөлөр үчүн ыңгайлуураак кыла аласыз. Бул элементардык трансформациялар аркылуу жетишилет - аларды ишке ашыруу акыркы жоопту эч кандай түрдө өзгөртпөйт. Белгилеп кетүүчү нерсе, жогоруда айтылган кээ бир элементардык кайра түзүүлөр матрицалар үчүн гана жарактуу, алардын булагы так SLAE болгон. Бул трансформациялардын тизмеси:
- Саптарды өзгөртүү. Эгерде системалык жазуудагы теңдемелердин тартибин өзгөртсөк, анда бул чечимге эч кандай таасир тийгизбей турганы айдан ачык. Демек, бул системанын матрицасында саптарды алмаштырууга да болот, албетте, эркин мүчөлөрдүн мамычасын да унутпай.
- Саптын бардык элементтерин кандайдыр бир факторго көбөйтүү. Абдан пайдалуу! Анын жардамы менен сиз матрицадагы чоң сандарды азайтып же нөлдөрдү алып салсаңыз болот. Чечимдердин топтому, адаттагыдай эле, өзгөрбөйт жана андан аркы операцияларды аткаруу үчүн ыңгайлуу болуп калат. Эң негизгиси, коэффициент нөлгө барабар болбошу керек.
- Пропорционалдык коэффициенттери бар сызыктарды жок кылуу. Бул жарым-жартылай мурунку абзацтан келип чыгат. Эгерде матрицадагы эки же андан көп саптар пропорционалдык коэффициенттерге ээ болсо, анда саптардын бирин пропорционалдык коэффициентке көбөйтүүдө/бөлүүдө эки (же дагы, андан көп) абсолюттук бирдей саптар алынат жана ашыкчаларды алып салууга болот, алардан гана калтырышат. бир.
- Нөл сапты жок кылуу. Эгерде трансформациялардын жүрүшүндө бардык элементтер, анын ичинде эркин мүчө да нөлгө барабар болгон сап алынса, анда мындай сапты нөл деп атап, матрицадан чыгарып салууга болот.
- Бир катар элементтердин элементтерине башкасынын элементтерин кошуу (боюнчатиешелүү мамычалар) кандайдыр бир коэффициентке көбөйтүлөт. Эң бүдөмүк жана эң маанилүү трансформация. Бул тууралуу кененирээк токтолуп кетүү керек.
Сапты факторго көбөйтүү
Түшүнүү үчүн, бул процессти этап-этабы менен демонтаждоо керек. Матрицадан эки сап алынды:
a11 a12 … a1n | b1
a21 a22 … a2n | b2
Биринчисин экинчисине "-2" коэффициентине көбөйтүш керек дейли.
a'21 =a21 + -2×a11
a'22 =a22 + -2×a12
a'2n =a2n + -2×a1n
Андан кийин матрицадагы экинчи сап жаңысына алмаштырылат, ал эми биринчиси өзгөрүүсүз калат.
a11 a12 … a1n | b1
a'21 a'22 … a'2n | b2
Белгилей кетүүчү нерсе, көбөйтүү коэффициентин эки сапты кошуунун натыйжасында жаңы саптын элементтеринин бири нөлгө барабар боло тургандай кылып тандоого болот. Демек, системада бир азыраак белгисиз боло турган теңдемени алууга болот. Эгерде сиз эки теңдемени алсаңыз, анда операцияны кайра жасап, эки азыраак белгисизди камтыган теңдемени алууга болот. Ал эми ар бир жолу биз нөлгө бурсак, бардык саптар үчүн баштапкыдан төмөн болгон бир коэффициент, анда биз кадамдар сыяктуу, матрицанын эң түбүнө түшүп, бир белгисиз теңдемени ала алабыз. Бул деп аталатсистеманы Гаусс ыкмасы менен чечүү.
Жалпысынан
Система болсун. Анын m теңдемеси жана n белгисиз тамыры бар. Муну төмөнкүчө жазсаңыз болот:
Негизги матрица системанын коэффициенттеринен түзүлгөн. Кеңейтилген матрицага эркин мүчөлөрдүн тилкеси кошулуп, ыңгайлуулук үчүн тилке менен бөлүнгөн.
Кийинки:
- матрицанын биринчи сабы к коэффициентине көбөйтүлөт=(-a21/a11);
- матрицанын биринчи өзгөртүлгөн сабы жана экинчи сабы кошулат;
- экинчи катардын ордуна мурунку абзацтагы толуктоонун натыйжасы матрицага киргизилет;
- эми жаңы экинчи саптын биринчи коэффициенти a11 × (-a21/a11) + a21 =-a21 + a21=0.
Азыр ошол эле трансформациялар сериясы аткарылып, биринчи жана үчүнчү саптар гана тартылган. Демек, алгоритмдин ар бир кадамында a21 элементи a31 менен алмаштырылат. Андан кийин баары 41, … am1 үчүн кайталанат. Натыйжада саптардагы биринчи элемент [2, m] нөлгө барабар болгон матрица. Эми сиз биринчи сапты унутуп, экинчи саптан баштап ошол эле алгоритмди аткарышыңыз керек:
- k коэффициент=(-a32/a22);
- экинчи өзгөртүлгөн сап "учурдагы" сапка кошулат;
- кошуунун натыйжасы үчүнчү, төртүнчү жана башка саптарга алмаштырылат, ал эми биринчи жана экинчи саптар өзгөрүүсүз калат;
- матрицанын [3, m] саптарында, биринчи эки элемент мурунтан эле нөлгө барабар.
Алгоритм к=коэффициенти (-am, m-1/amm пайда болгонго чейин кайталанышы керек). Бул алгоритм акыркы жолу төмөнкү теңдеме үчүн гана иштетилгенин билдирет. Эми матрица үч бурчтукка окшош, же баскычтуу формага ээ. Төмөнкү сапта amn × x =bm теңдемеси камтылган. Коэффициент жана эркин мүчө белгилүү, тамыр алар аркылуу туюнтулат: x =bm/amn. Натыйжадагы тамыр xn-1=(bm-1 - am-1, n табуу үчүн жогорку сапка алмаштырылат.×(bm/amn))÷am-1, n-1. Аналогия боюнча: ар бир кийинки сапта жаңы тамыр бар жана системанын "жогоркусуна" жеткенде, бир катар чечимдерди табууга болот [x1, … x ]. Бул жалгыз болот.
Чечим жок болгондо
Эгер матрицанын саптарынын биринде бош мүчөдөн башка бардык элементтер нөлгө барабар болсо, анда бул сапка туура келген теңдеме 0=b окшойт. Анын чечими жок. Жана мындай теңдеме системага киргендиктен, бүт системанын чечимдеринин жыйындысы бош, башкача айтканда, ал бузулган.
Чексиз сандагы чечимдер болгондо
Кыскартылган үч бурчтук матрицада бир элементи бар - теңдеменин коэффициенти жана бир - бош мүчөсү бар саптар жок экени белгилүү болушу мүмкүн. Кайра жазылганда эки же андан көп өзгөрмөлүү теңдемеге окшош болгон саптар гана бар. Бул системанын чексиз сандагы чечимдер бар экенин билдирет. Бул учурда жооп жалпы чечим түрүндө берилиши мүмкүн. Муну кантип кылуу керек?
Баарыматрицадагы өзгөрмөлөр негизги жана эркин болуп бөлүнөт. Негизги - бул тепкичтүү матрицадагы катарлардын "четинде" тургандар. Калгандары бекер. Жалпы чечимде негизги өзгөрмөлөр бош болгондор менен жазылат.
Ыңгайлуулук үчүн, матрица адегенде кайра теңдемелер системасына кайра жазылат. Андан кийин алардын акыркысында, так бир гана негизги өзгөрмө калган, ал бир тарапта калат, ал эми калганынын баары экинчи тарапка өтөт. Бул бир негизги өзгөрмөлүү ар бир теңдеме үчүн жасалат. Андан кийин, калган теңдемелерде, мүмкүн болсо, негизги өзгөрмөнүн ордуна, ал үчүн алынган туюнтма алмаштырылат. Эгерде натыйжа кайра эле бир гана негизги өзгөрмөнү камтыган туюнтма болсо, анда ар бир негизги өзгөрмө эркин өзгөрмөлөр менен туюнтма катары жазылганга чейин, ал ошол жерден кайра туюнтулат. Бул SLAEнин жалпы чечими.
Сиз ошондой эле системанын негизги чечимин таба аласыз - эркин өзгөрмөлөргө каалаган маанилерди бериңиз, андан кийин бул конкреттүү учур үчүн негизги өзгөрмөлөрдүн маанилерин эсептеңиз. Чексиз көп өзгөчө чечимдер бар.
Конкреттүү мисалдар менен чечим
Бул жерде теңдемелер системасы.
Ыңгайлуу болуу үчүн анын матрицасын дароо жасап койгонуңуз жакшы
Гаусс ыкмасы менен чечкенде биринчи сапка туура келген теңдеме өзгөртүүлөрдүн аягында өзгөрүүсүз кала турганы белгилүү. Демек, матрицанын жогорку сол элементи эң кичине болсо, анда ал пайдалуураак болот - анда биринчи элементтероперациялардан кийин калган катарлар нөлгө айланат. Бул түзүлгөн матрицада биринчи саптын ордуна экинчи сапты коюу пайдалуу болот дегенди билдирет.
Андан кийин, биринчи элементтер нөлгө айланышы үчүн экинчи жана үчүнчү саптарды өзгөртүү керек. Бул үчүн, аларды биринчисине кошуп, коэффициентке көбөйтүңүз:
экинчи сап: k=(-a21/a11)=(-3/1)=-3
a'21 =a21 + k×a11=3 + (-3)×1=0
a'22 =a22 + k×a12 =-1 + (- 3)×2=-7
a'23 =a23 + k×a13 =1 + (-3)×4=-11
b'2 =b2 + k×b1=12 + (-3)×12=-24
үчүнчү сап: k=(-a31/a11)=(- 5/1)=-5
a'31 =a31+ k×a11=5 + (-5)×1=0
a'32 =a32+ k×a12 =1 + (-5)×2=-9
a'33 =a33 + k×a13 =2 + (-5)×4=-18
b'3=b3 + k×b1=3 + (-5)×12=-57
Эми, чаташтырбоо үчүн, трансформациялардын аралык натыйжалары менен матрицаны жазуу керек.
Албетте, мындай матрицаны кээ бир операциялардын жардамы менен окууга мүмкүн болот. Мисалы, ар бир элементти "-1ге" көбөйтүү менен экинчи саптан бардык "минустарды" алып салсаңыз болот.
Ошондой эле үчүнчү сапта бардык элементтер үчкө эселенгендигин белгилей кетүү керек. Андан кийин болотсапты ушул санга кесип, ар бир элементти "-1/3" көбөйтүңүз (минус - ошол эле учурда терс маанилерди алып салуу үчүн).
Жакшыраак көрүнөт. Эми биринчи сапты жалгыз калтырып, экинчи жана үчүнчү менен иштешибиз керек. Милдет - экинчи сапты үчүнчү сапка кошуу, а32 элементи нөлгө айлангандай коэффициентке көбөйтүлөт.
k=(-a32/a22)=(-3/7)=-3/7 (айрым трансформациялар учурунда жооп бүтүн сан эмес болуп чыкты, аны жөнөкөй бөлчөк түрүндө калтыруу сунушталат, андан кийин гана жооптор келип түшкөндө тегеректөө жана башка формага которуу чечими кабыл алынат. белги)
a'32=a32 + k×a22=3 + (-3 /7)×7=3 + (-3)=0
a'33=a33 + k×a23=6 + (-3 /7)×11=-9/7
b'3 =b3 + k×b2=19 + (-3 /7)×24=-61/7
Матрица кайрадан жаңы маанилер менен жазылды.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Сиз көрүп тургандай, натыйжада пайда болгон матрица этаптуу формага ээ. Демек, системаны Гаусс ыкмасы менен андан ары трансформациялоо талап кылынбайт. Бул жерде эмне кылса болот - үчүнчү саптан жалпы "-1/7" коэффициентин алып салуу.
Азыр баарыжакшы. Кеп кичинекей - матрицаны кайра теңдемелер системасы түрүндө жазыңыз жана тамырларын эсептеңиз
x + 2y + 4z=12 (1)
7y + 11z=24 (2)
9z=61 (3)
Тамырлар эми табыла турган алгоритм Гаусс методунда тескери кыймыл деп аталат. Теңдеме (3) z маанисин камтыйт:
z=61/9
Кийинки, экинчи теңдемеге кайтуу:
y=(24 - 11×(61/9))/7=-65/9
Ал эми биринчи теңдеме x табууга мүмкүндүк берет:
x=(12 - 4z - 2ж)/1=12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9)=-6/9=-2/3
Биз мындай системаны биргелешкен, атүгүл анык, башкача айтканда, уникалдуу чечимге ээ деп атаганга акыбыз бар. Жооп төмөнкү формада жазылган:
x1=-2/3, y=-65/9, z=61/9.
Белгисиз системанын мисалы
Белгилүү бир системаны Гаусс ыкмасы менен чечүү варианты талдоого алынды, эми система чексиз болсо, башкача айтканда ал үчүн чексиз көп чечимдерди табууга боло турган жагдайды карап чыгуу зарыл.
x1 + x2 + x3 + x 4+ x5=7 (1)
3x1 + 2x2 + x3 + x 4 - 3x5=-2 (2)
x2 + 2x3 + 2x4 + 6x 5 =23 (3)
5x1 + 4x2 + 3x3 + 3x 4 - x5=12 (4)
Системанын формасынын өзү эле кооптуу, анткени белгисиздердин саны n=5, ал эми система матрицанын рангы бул сандан так азыраак, анткени саптардын саны m=4, башкача айтканда, квадрат аныктоочунун эң чоң тартиби 4. Демек,Чечимдердин чексиз саны бар жана биз анын жалпы формасын издешибиз керек. Сызыктуу теңдемелердин Гаусс ыкмасы муну жасоого мүмкүндүк берет.
Биринчи, адаттагыдай эле, кеңейтилген матрица түзүлөт.
Экинчи сап: k=(-a21/a11)=-3. Үчүнчү сапта биринчи элемент трансформациялардын алдында турат, ошондуктан эч нерсеге тийүүнүн кереги жок, аны ошол бойдон калтырыш керек. Төртүнчү сап: k=(-a41/a11)=-5
Биринчи саптын элементтерин алардын ар бир коэффициентине кезеги менен көбөйтүп, аларды керектүү саптарга кошуп, төмөнкү формадагы матрицаны алабыз:
Көрүп тургандай, экинчи, үчүнчү жана төртүнчү катарлар бири-бирине пропорционал элементтерден турат. Экинчи жана төртүнчүсү жалпысынан бирдей, андыктан алардын бирин дароо алып салууга болот, ал эми калганын "-1" коэффициентине көбөйтүп, 3-сапты алуу керек. Жана дагы эки бирдей саптын бирин калтырыңыз.
Натыйжа ушундай матрица. Система али жазылып бүтө элек, бул жерде негизги өзгөрмөлөрдү аныктоо керек - a11=1 жана a22=1 коэффициенттеринде туруп., жана бекер - калганынын баары.
Экинчи теңдемеде бир гана негизги өзгөрмө бар - x2. Демек, аны x3, x4, x5 өзгөрмөлөр аркылуу жазып, ошол жерден туюнтса болот. бекер.
Натыйжадагы туюнтманы биринчи теңдемеге алмаштырыңыз.
Мындай теңдеме чыктыжалгыз негизги өзгөрмө x1. Аны x2 менен кылгандай кылалы.
Бардык негизги өзгөрмөлөр, алардын ичинен экөөсү, үч эркин менен туюнтулган, эми жоопту жалпы формада жазсаңыз болот.
Сиз ошондой эле тутумдун өзгөчө чечимдеринин бирин көрсөтсөңүз болот. Мындай учурларда, эреже катары, нөлдөр эркин өзгөрмөлөр үчүн маанилер катары тандалат. Анда жооп мындай болот:
-16, 23, 0, 0, 0.
Ийкеш келбеген системанын мисалы
Туура эмес теңдемелер системасын Гаусс ыкмасы менен чечүү эң ылдам. Этаптардын биринде чечими жок теңдеме алынганда эле бүтөт. Башкача айтканда, бир топ узун жана каргашалуу болгон тамырларды эсептөө менен этап жок болот. Төмөнкү система каралууда:
x + y - z=0 (1)
2x - y - z=-2 (2)
4x + y - 3z=5 (3)
Адаттагыдай эле, матрица түзүлөт:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
Жана тепкичтүү формага келтирилген:
k1 =-2k2 =-4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
Биринчи трансформациядан кийин үчүнчү сап формадагы теңдемени камтыйт
0=7, чечим жок. Демек, системадал келбейт жана жооп бош топтом.
Усулдун артыкчылыктары жана кемчиликтери
Эгер сиз SLAEди кагазга калем менен чечүүнүн кайсы ыкмасын тандасаңыз, анда бул макалада каралган ыкма эң жагымдуу көрүнөт. Элементардык трансформацияларда детерминантты же кандайдыр бир татаал тескери матрицаны кол менен издөөгө туура келгенге караганда чаташтыруу алда канча кыйыныраак. Бирок, эгерде сиз ушул типтеги маалыматтар менен иштөө үчүн программаларды, мисалы, электрондук таблицаларды колдонсоңуз, анда мындай программаларда матрицалардын негизги параметрлерин - детерминант, минорлор, тескери жана которулган матрицалар ж.б.у.с. эсептөө алгоритмдери бар экени белгилүү болду.. Жана эгер сиз машина бул маанилерди өзү эсептеп, ката кетирбей турганына ишенсеңиз, матрицалык ыкманы же Крамердин формулаларын колдонуу максатка ылайыктуу, анткени аларды колдонуу детерминанттарды жана тескери матрицаларды эсептөө менен башталып, бүтөт.
Колдонмо
Гаусс чечими алгоритм болгондуктан, ал эми матрица чындыгында эки өлчөмдүү массив болгондуктан, аны программалоодо колдонсо болот. Бирок макала өзүн "муляждар үчүн" колдонмо катары көрсөткөндүктөн, бул ыкманы киргизүү үчүн эң оңой жер таблицалар, мисалы, Excel деп айтуу керек. Кайрадан, таблицага матрица түрүндө киргизилген ар кандай SLAE Excel тарабынан эки өлчөмдүү массив катары каралат. Жана алар менен операциялар үчүн көптөгөн жакшы буйруктар бар: кошуу (бир эле өлчөмдөгү матрицаларды гана кошо аласыз!), Санга көбөйтүү, матрицаны көбөйтүү (ошондой элекээ бир чектөөлөр), тескери жана которулган матрицаларды табуу жана эң негизгиси аныктоочуну эсептөө. Эгер бул көп убакытты талап кылган тапшырма бир буйрук менен алмаштырылса, матрицанын даражасын аныктоо жана, демек, анын шайкештигин же дал келбестигин аныктоо алда канча тезирээк болот.
