Матрицалар: Гаусс ыкмасы. Гаусс матрицасын эсептөө: Мисалдар

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Акыркы өзгөртүү: 2023-12-17 05:34

Университеттерде түрдүү адистиктер боюнча окутулган сызыктуу алгебра көптөгөн татаал темаларды бириктирет. Алардын айрымдары матрицаларга, ошондой эле сызыктуу теңдемелер системасын Гаусс жана Гаусс-Иордан методдору менен чечүүгө байланыштуу. Бул темаларды, ар кандай маселелерди чечүүнүн алгоритмдерин бардык эле окуучулар түшүнө алышпайт. Келгиле, Гаусс менен Гаусс-Джордандын матрицаларын жана ыкмаларын чогуу түшүнөлү.

Негизги түшүнүктөр

Сызыктуу алгебрада матрица элементтердин тик бурчтуу массиви (таблица). Төмөндө кашаага алынган элементтердин топтому бар. Бул матрицалар. Жогорудагы мисалдан тик бурчтуу массивдердин элементтери сандар гана эмес экенин көрүүгө болот. Матрица математикалык функциялардан, алгебралык символдордон турушу мүмкүн.

Кээ бир түшүнүктөрдү түшүнүү үчүн a_ij элементтеринен А матрицасын түзөлү. Индекстер жөн гана тамгалар эмес: i - таблицадагы саптын саны, ал эми j - элемент жайгашкан кесилишинин аймагындагы мамычанын саны.a_ij. Ошентип, бизде а₁₁, a₂₁, a₁₂, a сыяктуу элементтердин матрицасы бар экенин көрөбүз. ₂₂ ж.б.. n тамгасы мамычалардын санын, ал эми m тамгасы саптардын санын билдирет. m × n символу матрицанын өлчөмүн билдирет. Бул элементтердин тик бурчтуу массивиндеги саптардын жана мамычалардын санын аныктаган түшүнүк.

Милдеттүү эмес, матрицада бир нече мамычалар жана саптар болушу керек. Өлчөмү 1 × n болгон элементтер массиви бир катарлуу, ал эми m × 1 өлчөмү менен ал бир мамычалык массив болуп саналат. Катарлардын саны менен мамычалардын саны бирдей болгондо, матрица квадрат деп аталат. Ар бир квадрат матрицанын аныктоочу бар (дет А). Бул термин A матрицасына ыйгарылган санды билдирет.

Матрицаларды ийгиликтүү чечүү үчүн эстен чыгарбоо керек болгон дагы бир нече маанилүү түшүнүктөр - негизги жана кошумча диагоналдар. Матрицанын негизги диагоналы - үстөлдүн оң бурчуна жогорку сол бурчтан түшкөн диагонал. Каптал диагоналы ылдый жактан сол бурчтан өйдө оң бурчка кетет.

Кадамдуу матрицалык көрүнүш

Төмөнкү сүрөттү караңыз. Анда сиз матрицаны жана диаграмманы көрөсүз. Адегенде матрица менен алектенели. Сызыктуу алгебрада мындай түрдөгү матрица кадамдык матрица деп аталат. Анын бир касиети бар: эгерде a_ij i-катардагы нөлдөн башка биринчи элемент болсо, анда төмөнкү матрицадан жана a_{ijтин сол жагындагы бардык башка элементтер} , нөл (б.а., a_kl тамга белгиси берилиши мүмкүн болгон бардык элементтер, мында k>i жанаl<j).

Эми диаграмманы карап көрөлү. Ал матрицанын баскычтуу формасын чагылдырат. Схемада клеткалардын 3 түрү көрсөтүлгөн. Ар бир түрү белгилүү элементтерди билдирет:

• бош клеткалар - матрицанын нөл элементтери;
• көлөкөлүү уячалар нөл жана нөл эмес болушу мүмкүн болгон эркин элементтер;
• кара квадраттар нөлдөн башка элементтер, алар бурчтун элементтери, «кадамдар» деп аталат (алардын жанында көрсөтүлгөн матрицада мындай элементтер –1, 5, 3, 8 сандары).

Матрицаларды чечүүдө кээде натыйжада кадамдын "узундугу" 1ден чоң болот. Буга уруксат берилет. Кадамдардын "бийиктиги" гана маанилүү. Кадамдык матрицада бул параметр ар дайым бирге барабар болушу керек.

Матрицаны кадам формасына кыскартуу

Кандай гана тик бурчтуу матрицаны тепкичтүү формага айландырса болот. Бул элементардык трансформациялар аркылуу ишке ашырылат. Алар төмөнкүлөрдү камтыйт:

• саптарды кайра иретке келтирүү;
• Бир сапка дагы бир сап кошуу, керек болсо кандайдыр бир санга көбөйтүлөт (кемитүү операциясын да аткара аласыз).

Келгиле, конкреттүү маселени чечүүдө элементардык трансформацияларды карап көрөлү. Төмөнкү сүрөттө баскычтуу формага кичирейтүү керек болгон А матрицасы көрсөтүлгөн.

Маселени чечүү үчүн биз алгоритмди аткарабыз:

• Матрицада трансформацияларды жасоо ыңгайлуужогорку сол бурчтагы биринчи элемент (б.а., "башкы" элемент) 1 же -1. Биздин учурда, жогорку саптагы биринчи элемент 2, андыктан биринчи жана экинчи саптарды алмаштыралы.
• Келгиле, 2, 3 жана 4-саптарга таасир этүүчү кемитүү амалдарын аткаралы. Биз "башкы" элементтин астындагы биринчи тилкеде нөлдөрдү алышыбыз керек. Мындай натыйжага жетишүү үчүн: No 2 саптын элементтеринен 2ге көбөйтүлгөн No 1 саптын элементтерин ырааттуу түрдө алып салабыз; No 3 саптын элементтеринен 4кө көбөйтүлгөн No 1 саптын элементтерин ырааттуу алып салабыз; № 4 саптын элементтеринен ырааттуу түрдө № 1 саптын элементтерин алып салабыз.
• Кийин, биз кесилген матрица менен иштейбиз (№1 тилкесиз жана №1 сапсыз). Экинчи мамычанын жана экинчи саптын кесилишинде турган жаңы "алдыңкы" элемент -1ге барабар. Саптарды кайра иреттештирүүнүн кереги жок, ошондуктан биз биринчи тилкени жана биринчи жана экинчи саптарды өзгөртүүсүз кайра жазабыз. "Алдынкы" элементтин астындагы экинчи тилкеде нөлдөрдү алуу үчүн кемитүү амалдарын аткаралы: үчүнчү саптын элементтеринен 3кө көбөйтүлгөн экинчи саптын элементтерин ырааттуу түрдө алып чыгабыз; төртүнчү саптын элементтеринен 2ге көбөйтүлгөн экинчи саптын элементтерин алып салуу.
• Акыркы сапты өзгөртүү калды. Анын элементтеринен үчүнчү катардын элементтерин ырааттуу алып салабыз. Ошентип, тепкичтүү матрицага ээ болдук.

Матрицаларды кадамдык формага келтирүү Гаусс ыкмасы менен сызыктуу теңдемелердин системаларын (SLE) чечүүдө колдонулат. Бул ыкманы карап чыгуудан мурун, келгиле, SLNге байланыштуу айрым терминдерди түшүнүп алалы.

Матрицалар жана сызыктуу теңдемелер системасы

Матрицалар ар кандай илимдерде колдонулат. Сандардын таблицаларын колдонуу менен, мисалы, Гаусс ыкмасын колдонуу менен системага бириктирилген сызыктуу теңдемелерди чечүүгө болот. Биринчиден, келгиле, бир нече терминдер жана алардын аныктамалары менен таанышалы, ошондой эле бир нече сызыктуу теңдемелерди бириктирген системадан матрица кантип түзүлөөрүн карап көрөлү.

SLU – биринчи күчү белгисиз жана продукт терминдери жок бир нече айкалыштырылган алгебралык теңдеме.

SLE чечими – системадагы теңдемелер иденттүүлүккө айланган белгисиздердин табылган маанилери.

Биргелешкен SLE – жок дегенде бир чечими бар теңдемелердин системасы.

Туура эмес SLE – чечими жок теңдемелердин системасы.

Сызыктуу теңдемелерди бириктирген системанын негизинде матрица кантип түзүлөт? Системанын негизги жана кеңейтилген матрицалары сыяктуу түшүнүктөр бар. Системанын негизги матрицасын алуу үчүн таблицага белгисиздер үчүн бардык коэффициенттерди коюу керек. Кеңейтилген матрица негизги матрицага эркин терминдердин тилкесин кошуу жолу менен алынат (ал системадагы ар бир теңдеме теңдештирилген белгилүү элементтерди камтыйт). Төмөнкү сүрөттү изилдөө менен бул процессти толук түшүнө аласыз.

Сүрөттө биз көргөн биринчи нерсе – бул сызыктуу теңдемелерди камтыган система. Анын элементтери: a_ij – сандык коэффициенттер, x_j – белгисиз маанилер, b_i – туруктуу терминдер (мында i=1, 2, …, m, жана j=1, 2, …, n). Сүрөттөгү экинчи элемент - коэффициенттердин негизги матрицасы. Ар бир теңдемеден коэффициенттер катарга жазылат. Натыйжада, матрицада системада канча теңдеме болсо, ошончо катар бар. Мамычалардын саны ар кандай теңдемедеги коэффициенттердин эң чоң санына барабар. Сүрөттөгү үчүнчү элемент эркин шарттар мамычасы менен кеңейтилген матрица.

Гаусс ыкмасы жөнүндө жалпы маалымат

Сызыктуу алгебрада Гаусс ыкмасы SLEди чечүүнүн классикалык жолу болуп саналат. Ал 18-19-кылымдарда жашаган Карл Фридрих Гаусстун ысымын алып жүрөт. Бул бардык убактагы эң улуу математиктердин бири. Гаусс ыкмасынын маңызы сызыктуу алгебралык теңдемелер системасында элементардык өзгөртүүлөрдү жүргүзүү болуп саналат. Трансформациялардын жардамы менен SLE үч бурчтуу (кадамдуу) формадагы эквиваленттүү системага келтирилет, анын ичинен бардык өзгөрмөлөр табылат.

Белгилей кетүүчү нерсе, Карл Фридрих Гаусс сызыктуу теңдемелер системасын чыгаруунун классикалык ыкмасын ачуучу эмес. Бул ыкма алда канча мурда ойлоп табылган. Анын биринчи сүрөттөлүшү "Математика 9 китепте" деп аталган байыркы кытай математиктеринин билим энциклопедиясында табылган.

SLEди Гаусс ыкмасы менен чечүүнүн мисалы

Келгиле, системалардын Гаусс ыкмасы менен чечилишин конкреттүү мисалда карап көрөлү. Биз сүрөттө көрсөтүлгөн SLU менен иштейбиз.

Чечүү алгоритми:

1. Биз системаны Гаусс ыкмасынын түз жылышы менен баскычтуу формага түшүрөбүз, бирок адегендебиз сандык коэффициенттердин жана бош мүчөлөрдүн кеңейтилген матрицасын түзөбүз.
2. Матрицаны Гаусс ыкмасы менен чечүү үчүн (б.а. аны тепкичтүү формага келтирүү) экинчи жана үчүнчү катардын элементтеринен биринчи катардын элементтерин ырааттуу түрдө кемитебиз. Биз "башкы" элементтин астындагы биринчи тилкеде нөлдөрдү алабыз. Андан кийин, биз ыңгайлуулук үчүн жерлерде экинчи жана үчүнчү саптарды алмаштырабыз. Акыркы саптын элементтерине 3кө көбөйтүлгөн экинчи саптын элементтерин ырааттуу түрдө кошуңуз.
3. Матрицаны Гаусс ыкмасы менен эсептөөнүн натыйжасында элементтердин баскычтуу массивине ээ болдук. Анын негизинде сызыктуу теңдемелердин жаңы системасын түзөбүз. Гаусс ыкмасынын тескери жолу менен биз белгисиз терминдердин маанилерин табабыз. Акыркы сызыктуу теңдемеден x₃ 1ге барабар экенин көрүүгө болот. Бул маанини системанын экинчи сабына алмаштырабыз. Сиз x₂ – 4=–4 теңдемесин аласыз. Мындан x₂ 0ге барабар экени келип чыгат. Системанын биринчи теңдемесинде x₂ жана x₃ ордуна коюңуз: x1 _{+ 0 +3=2. Белгисиз термин -1.}

Жооп: матрицаны, Гаусс ыкмасын колдонуу менен биз белгисиздердин маанилерин таптык; x₁ =–1, x₂=0, x₃=1.

Гаусс-Джордан ыкмасы

Сызыктуу алгебрада Гаусс-Джордан ыкмасы сыяктуу нерсе да бар. Ал Гаусс ыкмасынын модификациясы болуп эсептелет жана тескери матрицаны табууда, алгебралык сызыктуу теңдемелердин квадраттык системаларынын белгисиз мүчөлөрүн эсептөөдө колдонулат. Гаусс-Джордан методу ыңгайлуу, анткени ал SLEди бир кадамда чечүүгө мүмкүндүк берет (түз жана тескери ыкмаларды колдонбостон).жылдырат).

Келиңиз, "тескери матрица" термининен баштайлы. Бизде А матрицасы бар дейли. Анын тескериси A^-1 матрицасы болот, ал эми шарт сөзсүз түрдө аткарылат: A × A^-1=A -1 ^{× A=E, б.а. бул матрицалардын көбөйтүндүсү иденттүүлүк матрицасына барабар (иденттик матрицанын негизги диагоналынын элементтери бир, ал эми калган элементтер нөлгө барабар).}

Маанилүү нюанс: сызыктуу алгебрада тескери матрицанын бар экендиги жөнүндө теорема бар. A^-1 матрицасы болушу үчүн жетиштүү жана зарыл шарт – бул А матрицасы сингулярдуу эмес.

Гаусс-Джордан ыкмасы негизделген негизги кадамдар:

1. Кайсы бир матрицанын биринчи сабын караңыз. Эгерде биринчи маани нөлгө барабар болбосо, Гаусс-Джордан ыкмасын баштоого болот. Эгерде биринчи орун 0 болсо, анда биринчи элемент нөл эмес мааниге ээ болушу үчүн катарларды алмаштырыңыз (сан бирге жакыныраак болушу керек).
2. Биринчи катардын бардык элементтерин биринчи санга бөлүңүз. Сиз бир менен башталган сапты бүтүрөсүз.
3. Экинчи саптан экинчи саптын биринчи элементине көбөйтүлгөн биринчи сапты кемитесиз, б.а. аягында нөлдөн башталган сызыкты аласыз. Калган саптар үчүн да ушундай кылыңыз. Диагональ боюнча 1 алуу үчүн ар бир сапты биринчи нөл эмес элементине бөлүңүз.
4. Натыйжада Гаусс - Йордан ыкмасын колдонуу менен үстүнкү үч бурчтук матрицаны аласыз. Анда негизги диагонал бирдиктер менен берилген. Төмөнкү бурч нөл менен толтурулат, жанажогорку бурч - ар кандай маанилер.
5. Акыркы саптан талап кылынган коэффициентке көбөйтүлгөн акыркы сапты алып салыңыз. Сиз нөл жана бир сапты алышыңыз керек. Калган саптар үчүн ошол эле аракетти кайталаңыз. Бардык өзгөртүүлөрдөн кийин иденттүүлүк матрицасы алынат.

Гаусс-Джордан ыкмасын колдонуу менен тескери матрицаны табуу мисалы

Тескери матрицаны эсептөө үчүн A|E көбөйтүлгөн матрицаны жазып, керектүү өзгөртүүлөрдү жүргүзүү керек. Жөнөкөй бир мисалды карап көрөлү. Төмөнкү сүрөттө A матрицасы көрсөтүлгөн.

Чечим:

1. Биринчи, Гаусс ыкмасы менен матрицанын аныктоочуну табалы (дет А). Эгерде бул параметр нөлгө барабар болбосо, анда матрица сингулярдуу эмес деп эсептелет. Бул бизге Ада сөзсүз A^-1 бар деген жыйынтыкка келүүгө мүмкүндүк берет. Детерминантты эсептөө үчүн матрицаны элементардык өзгөртүүлөр аркылуу этаптуу формага өткөрөбүз. Келгиле, K санын сап алмаштыруулардын санына барабар санайлы. Саптарды 1 жолу гана алмаштырдык. Детерминантты эсептеп көрөлү. Анын мааниси (–1)^K көбөйтүлгөн негизги диагоналдын элементтеринин көбөйтүндүсүнө барабар болот. Эсептөө натыйжасы: det A=2.
2. Идентификациялык матрицаны түпнуска матрицага кошуу менен көбөйтүлгөн матрицаны түзүңүз. Натыйжадагы элементтер массиви тескери матрицаны Гаусс-Джордан ыкмасы менен табуу үчүн колдонулат.
3. Биринчи катардагы биринчи элемент бирге барабар. Бул бизге ылайыктуу, анткени сызыктарды кайра иретке келтирүүнүн жана берилген сызыкты кандайдыр бир санга бөлүүнүн кереги жок. Ишти баштайлыэкинчи жана үчүнчү саптар менен. Экинчи катардагы биринчи элементти 0гө айландыруу үчүн, экинчи саптан биринчи сапты 3кө көбөйтүлгөн сапты алып салыңыз. Үчүнчү катардан биринчи сапты алып салыңыз (көбөйтүүнүн кереги жок).
4. Натыйжадагы матрицада экинчи катардын экинчи элементи -4, үчүнчү катардын экинчи элементи -1. Ыңгайлуу болуу үчүн сызыктарды алмаштыралы. Үчүнчү катардан 4кө көбөйтүлгөн экинчи сапты алып таштаңыз. Экинчи катарды -1ге, үчүнчү катарды 2ге бөлүңүз. Үч бурчтуктун үстүнкү матрицасын алабыз.
5. Экинчи саптан 4кө көбөйтүлгөн акыркы сапты, биринчи саптан акыркы сапты 5ке көбөйткөн сапты алып салалы. Андан кийин биринчи саптан экинчи сапты 2ге көбөйтүлгөн сапты алып салалы. Сол жактан алдык. иденттүүлүк матрицасы. Оң жакта тескери матрица.

SLEди Гаусс-Джордан ыкмасы менен чечүүнүн мисалы

Сүрөттө сызыктуу теңдемелердин системасы көрсөтүлгөн. Белгисиз өзгөрмөлөрдүн маанилерин Гаусс-Джордан ыкмасы менен матрица аркылуу табуу талап кылынат.

Чечим:

1. Келгиле, кеңейтилген матрицаны түзөлү. Бул үчүн коэффициенттерди жана эркин шарттарды таблицага салабыз.
2. Матрицаны Гаусс-Джордан ыкмасы менен чечиңиз. №2 саптан №1 сапты алып салабыз. №3 саптан мурда 2ге көбөйтүлгөн №1 сапты алып салабыз.
3. 2 жана 3-саптарды алмаштыруу.
4. №3 саптан №2 сапты кемитүү 2ге көбөйтүлдү. Натыйжадагы үчүнчү сапты –1ге бөлүңүз.
5. 2-саптан 3-сапты кемитүү.
6. 1-саптан №1-сапты кемитүү2 жолу -1. Капталында 0, 1 жана -1 сандарынан турган тилке алдык. Мындан биз x₁=0, x₂=1 жана x₃ =–1 деген жыйынтыкка келебиз.

Эгер кааласаңыз, эсептелген маанилерди теңдемелерге алмаштыруу менен чечимдин тууралыгын текшере аласыз:

• 0 – 1=–1, системанын биринчи идентификациясы туура;
• 0 + 1 + (–1)=0, системанын экинчи идентификациясы туура;
• 0 – 1 + (–1)=–2, системанын үчүнчү идентификациясы туура.

Тыянак: Гаусс-Джордан ыкмасын колдонуу менен биз сызыктуу алгебралык теңдемелерди бириктирген квадраттык системанын туура чечимин таптык.

Онлайн эсептегичтер

Университеттерде окуган жана сызыктуу алгебраны окуган азыркы жаштардын жашоосу абдан жөнөкөйлөштүрүлдү. Бир нече жыл мурун биз Гаусс жана Гаусс-Иордан ыкмасын колдонуу менен системалардын чечимдерин өз алдынча табууга туура келди. Кээ бир студенттер тапшырмаларды ийгиликтүү аткарышты, ал эми башкалары чечүүдө адашып, ката кетиришти, классташтарынан жардам сурашты. Бүгүнкү күндө үй тапшырмасын аткарып жатканда онлайн эсептегичтерин колдоно аласыз. Сызыктуу теңдемелердин системаларын чечүү, тескери матрицаларды издөө үчүн туура жоопторду гана эмес, белгилүү бир маселени чечүүнүн жүрүшүн да көрсөткөн программалар жазылган.

Интернетте орнотулган онлайн эсептегичтери бар көптөгөн ресурстар бар. Гаусс матрицалары, теңдемелер системасы бул программалар аркылуу бир нече секунданын ичинде чечилет. Студенттер талап кылынган параметрлерди гана көрсөтүшү керек (мисалы, теңдемелердин саны,өзгөрмөлөрдүн саны).