Тескери тригонометриялык функциялар адатта мектеп окуучуларына кыйынчылыктарды жаратат. Планиметрия жана стереометриядагы USE тапшырмаларында сандын жаа тангенсин эсептөө жөндөмү талап кылынышы мүмкүн. Параметри бар теңдемени жана маселени ийгиликтүү чечүү үчүн, сизде доого тангенс функциясынын касиеттерин түшүнүү керек.
Аныктама
Х санынын жаа тангенси – тангенси х болгон у саны. Бул математикалык аныктама.
Арктангенс функциясы y=arctg x катары жазылган.
Жалпысынан: y=Carctg (kx + a).
Эсептөө
Арктангенстин тескери тригонометриялык функциясы кантип иштээрин түшүнүү үчүн, адегенде сандын тангенсинин мааниси кантип аныкталарын эстеп калуу керек. Келиңиз, кененирээк карап көрөлү.
Хтин тангенси – хтын синусу менен хтин косинусунун катышы. Эгерде бул эки чоңдуктун жок дегенде бири белгилүү болсо, анда экинчинин модулу негизги тригонометриялык бирдейликтен алынышы мүмкүн:
sin2 x + cos2 x=1.
Модулдун кулпусун ачуу үчүн баалоо талап кылынат.
Эгерсандын өзү белгилүү, бирок анын тригонометриялык мүнөздөмөлөрү эмес, анда көпчүлүк учурларда Брадис таблицасына таянуу менен сандын тангенсин болжолдуу баалоо керек.
Өзгөчөлөр стандарттуу маанилер деп аталат.
Алар төмөнкү таблицада берилген:
Жогоруда айтылгандардан тышкары, ½πк (к - каалаган бүтүн сан, π=3, 14) санын кошуу менен берилиштерден алынган бардык маанилерди стандарттуу деп эсептесе болот.
Так дал ошондой эле дога тангенси үчүн да болот: көбүнчө болжолдуу маанини таблицадан көрүүгө болот, бирок бир нече гана маанилер так белгилүү:
Практикада мектеп математикасынын маселелерин чечүүдө анын болжолдуу баасы эмес, жаанын тангенси камтылган туюнтма түрүндө жооп берүү адатка айланган. Мисалы, arctg 6, arctg (-¼).
График түзүү
Тангенс каалаган маанини ала алгандыктан, арктангенс функциясынын облусу бүт сан сызыгы болуп саналат. Келгиле, кененирээк түшүндүрүп берели.
Бир эле тангенс чексиз сандагы аргументтерге туура келет. Мисалы, нөлдүн тангенси эле нөлгө барабар эмес, π к түрүндөгү каалаган сандын тангенси да, мында k бүтүн сан. Ошондуктан, математиктер -½ πден ½ πге чейинки аралыктан жаа тангенси үчүн маанилерди тандоого макул болушту. Муну ушинтип түшүнүү керек. Арктангенс функциясынын диапазону интервал (-½ π; ½ π). -½p жана ½p тангенси жок болгондуктан, боштуктун учтары камтылган эмес.
Белгиленген интервалда тангенс тынымсызкөбөйөт. Бул жаа тангенсинин тескери функциясы да бүт сан сызыгында тынымсыз өсүп, бирок жогорудан жана ылдыйдан чектелген дегенди билдирет. Натыйжада, анын эки горизонталдуу асимптоттору бар: y=-½ π жана y=½ π.
Мында tg 0=0, абсцисса огу менен кесилишкен башка чекиттер, (0;0) кошпогондо, графиктин өсүшүнө байланыштуу болушу мүмкүн эмес.
Тангенс функциясынын паритетинен келип чыккандай, арктангенс окшош касиетке ээ.
График түзүү үчүн стандарттуу маанилердин ичинен бир нече пункттарды алыңыз:
y=arctg x функциясынын туундусу каалаган чекиттеги формула менен эсептелет:
Анын туундусу бардык жерде позитивдүү экенин эске алыңыз. Бул функцияны үзгүлтүксүз жогорулатуу жөнүндө мурда жасалган корутундуга дал келет.
Арктангенстин экинчи туундусу 0 чекитинде жоголот, аргументтин оң маанилери үчүн терс жана тескерисинче.
Бул доого тангенс функциясынын графиги нөлдө ийилүүчү чекитке ээ жана (-∞; 0] интервалында ылдый карай томпок жана [0; +∞) интервалында өйдө карай томпок экенин билдирет.
