Секунддар, тангендер - мунун баарын геометрия сабактарында жүздөгөн жолу угууга болот. Бирок мектепти бүтүп, жылдар өтүп, бул билимдин баары унутулат. Эмнени эстен чыгарбоо керек?
Эссенция
"Айланага тангенс" термини баарына тааныш болсо керек. Бирок анын аныктамасын ар бир адам бат эле формулировкалай албайт. Ошол эле учурда, тангенс аны бир гана чекитте кесип өткөн айлана менен бир тегиздикте жаткан түз сызык. Алардын ар кандай болушу мүмкүн, бирок алардын бардыгы бирдей касиеттерге ээ, алар төмөндө талкууланат. Сиз ойлогондой, байланыш чекити тегерек менен сызык кесилишкен жер. Ар бир учурда, ал бир, бирок көбүрөөк болсо, анда ал секант болот.
Ачылыш жана изилдөө тарыхы
Тагенс түшүнүгү байыркы доордо пайда болгон. Бул түз сызыктарды адегенде тегерекчеге, анан эллипстерге, параболаларга жана гиперболаларга сызгычтын жана циркульдун жардамы менен куруу геометриянын өнүгүүсүнүн алгачкы этаптарында да ишке ашырылган. Албетте, тарых ачуучунун атын сактаган жок, бирокошол убакта да адамдар тегеректеги тангенстин касиеттерин жакшы билишкени көрүнүп турат.
Азыркы мезгилде бул көрүнүшкө болгон кызыгуу кайрадан күчөдү – жаңы ийри сызыктардын ачылышы менен айкалышкан бул концепцияны изилдөөнүн жаңы айлампасы башталды. Ошентип, Галилео циклоид түшүнүгүн киргизди, ал эми Ферма менен Декарт ага тангенс түзүштү. Ал эми ийримдерге келсек, бул аймакта илгеркилер үчүн эч кандай сыр калбагандай.
Касиеттер
Кесилиш чекитине тартылган радиус сызыкка перпендикуляр болот. Бул
негизги, бирок тегеректеги тангенстин жалгыз касиети эмес. Дагы бир маанилүү өзгөчөлүгү буга чейин эки түз сызыктарды камтыйт. Ошентип, айлананын сыртында жаткан бир чекит аркылуу эки тангенс тартууга болот, ал эми алардын сегменттери барабар болот. Бул тема боюнча дагы бир теорема бар, бирок ал кээ бир маселелерди чечүү үчүн өтө ыңгайлуу болсо да, стандарттуу мектеп курсунун алкагында сейрек каралат. Бул ушундай угулат. Айлананын сыртында жайгашкан бир чекиттен ага тангенс жана секант тартылат. AB, AC жана AD сегменттери түзүлөт. А - сызыктардын кесилиши, В - байланыш чекити, C жана D - кесилишкен жерлер. Бул учурда, төмөнкү теңчилик жарактуу болот: тегерекке тууралган узундуктун квадраты AC жана AD сегменттеринин көбөйтүндүсүнө барабар болот.
Жогоруда айтылгандардан маанилүү натыйжа бар. Айлананын ар бир чекити үчүн сиз тангенс кура аласыз, бирок бир гана. Мунун далили абдан жөнөкөй: теориялык жактан ага радиустан перпендикуляр түшүрүү менен, түзүлүүчүүч бурчтук болушу мүмкүн эмес. Жана бул тангенс жалгыз экенин билдирет.
Имарат
Геометриядагы башка маселелердин арасында өзгөчө категория бар, эреже катары,
эмес
окуучулар жана студенттер жакшы көрөт. Бул категориядагы тапшырмаларды чечүү үчүн сизге компас жана сызгыч гана керек. Бул курулуш милдеттери. Тангенс түзүүнүн ыкмалары да бар.
Ошентип, тегерек жана анын чегинен тышкары жаткан чекит берилген. Жана алар аркылуу тангенс тартуу керек. Муну кандай жасаш керек? Биринчиден, О тегеректин борбору менен берилген чекиттин ортосуна кесинди тартуу керек. Андан кийин, компасты колдонуп, аны экиге бөлүңүз. Бул үчүн, радиусту орнотуу керек - баштапкы айлананын борбору менен берилген чекиттин ортосундагы аралыктын жарымынан бир аз көбүрөөк. Андан кийин, эки кесилишкен жаа куруу керек. Мындан тышкары, компастын радиусун өзгөртүүнүн кереги жок, ал эми тегеректин ар бир бөлүгүнүн борбору тиешелүүлүгүнө жараша баштапкы чекит жана О болот. Жаалардын кесилиштери туташтырылышы керек, бул сегментти жарымга бөлөт. Компаска ушул аралыкка барабар радиус орнотуңуз. Андан кийин, борбордун кесилишинде, дагы бир тегерек чийиңиз. Анын үстүндө баштапкы чекит да, О да жатат. Мындай учурда маселеде берилген тегерек менен дагы эки кесилиш болот. Алар алгач берилген чекиттин тийүү чекиттери болот.
Кызыктуу
Бул тегеректеги тангенстердин түзүлүшү
төрөлүшүнө алып келген.
дифференциалдык эсептөө. Бул тема боюнча биринчи иш болгонбелгилүү немец математиги Лейбниц тарабынан басылып чыккан. Бөлчөк жана иррационалдык чоңдуктарга карабастан максимумдарды, минимумдарды жана тангенстерди табуу мүмкүнчүлүгүн берген. Эми ал көптөгөн башка эсептөөлөр үчүн да колдонулат.
Мындан тышкары, тегеректеги тангенс тангенстин геометриялык маанисине байланыштуу. Анын аты ошол жерден келип чыккан. Латын тилинен которгондо tangens "тангенс" дегенди билдирет. Ошентип, бул түшүнүк геометрия жана дифференциалдык эсептөөлөр менен гана эмес, тригонометрия менен да байланыштуу.
Эки чөйрө
Тангенс ар дайым бир формага гана таасир эте бербейт. Эгерде бир тегерекчеге көп сандагы түз сызыктарды тартууга мүмкүн болсо, анда эмне үчүн тескерисинче эмес? мүмкүн. Бирок бул учурда тапшырма олуттуу татаал, анткени эки тегеректин тангенси эч кандай чекит аркылуу өтпөшү мүмкүн жана бардык бул фигуралардын салыштырмалуу абалы абдан
болушу мүмкүн.
башка.
Түрлөр жана сорттор
Эки тегерек жана бир же бир нече сызык жөнүндө сөз болгондо, алардын тангенс экени белгилүү болсо да, бул фигуралардын баары бири-бирине карата кандайча жайгашканы дароо ачыкка чыга бербейт. Мунун негизинде, бир нече сорттору бар. Ошентип, чөйрөлөр бир же эки жалпы пунктка ээ же такыр жок болушу мүмкүн. Биринчи учурда алар кесилишет, ал эми экинчисинде тийет. Ал эми бул жерде эки түрү бар. Эгерде бир тегерек экинчиге камтылган болсо, анда тийүү ички, эгерде жок болсо, анда тышкы деп аталат. өз ара түшүнүүфигуралардын жайгашкан жери чийме боюнча гана эмес, ошондой эле алардын радиустарынын суммасы жана борборлорунун ортосундагы аралык жөнүндө маалыматка ээ болушу мүмкүн. Эгерде бул эки чоңдук барабар болсо, анда тегерекчелер тийет. Эгер биринчиси чоңураак болсо, алар кесилишет, ал эми кичирээк болсо, анда алардын жалпы пункттары жок.
Түз сызыктар менен бирдей. Жалпы пункттары жок каалаган эки чөйрө үчүн сиз
кыла аласыз
төрт тангенс түзүңүз. Алардын экөө фигуралардын ортосунда кесилишет, алар ички деп аталат. Дагы бир нечеси тышкы.
Эгерде биз бир жалпы пункту бар чөйрөлөр жөнүндө сөз кыла турган болсок, анда тапшырма абдан жөнөкөйлөштүрүлгөн. Чынында, бул учурда кандайдыр бир өз ара макулдашуу үчүн, алар бир гана тангенске ээ болот. Жана ал алардын кесилишкен жеринен өтөт. Ошентип, курулуш кыйынчылыкка алып келбейт.
Эгер фигуралардын эки кесилишкен чекити болсо, анда алар үчүн тегерекке тангенс түз сызык түзүүгө болот, экөө тең, бирок сырткы гана. Бул маселени чечүү төмөндө талкуулана турган нерсеге окшош.
Маселени чечүү
Эки чөйрөнүн ички жана тышкы тангенстерин түзүү оңой эмес, бирок бул көйгөйдү чечсе болот. Бул үчүн жардамчы фигура колдонулат, андыктан бул ыкманы өзүңүз ойлонуп көрүңүз
абдан көйгөйлүү. Ошентип, ар кандай радиустары жана борборлору O1 жана O2 болгон эки тегерек берилген. Алар үчүн эки жуп тангенс түзүшүңүз керек.
Биринчиден, чоңураак борборго жакынкружокторду жардамчы куруу керек. Бул учурда, эки баштапкы фигуралардын радиустарынын ортосундагы айырма компасты орнотуу керек. Көмөкчү тегерекчеге тангенстер кичирээк тегеректин борборунан курулат. Андан кийин О1 жана О2ден бул сызыктарга перпендикулярлар баштапкы фигуралар менен кесилишкенге чейин тартылат. Тангенстин негизги касиетинен келип чыккандай, эки тегеректеги керектүү чекиттер табылат. Маселе чечилди, жок дегенде биринчи бөлүгү.
Ички тангенстерди түзүү үчүн, иш жүзүндө чечүү керек
окшош тапшырма. Дагы, жардамчы фигура керек, бирок бул жолу анын радиусу баштапкылардын суммасына барабар болот. Ага берилген тегеректердин биринин борборунан тангенстар курулат. Чечүүнүн мындан аркы жолун мурунку мисалдан түшүнсө болот.
Тегерекке, атүгүл экиге же андан көпкө тангенс анчалык деле кыйын иш эмес. Албетте, математиктер мындай маселелерди кол менен чечүүнү эчак токтотуп, эсептөөлөрдү атайын программаларга ишенип коюшкан. Бирок, азыр аны өз алдынча кыла алуу зарыл эмес деп ойлобоңуз, анткени компьютерге тапшырманы туура түзүү үчүн сиз көп нерсени аткарып, түшүнүшүңүз керек. Тилекке каршы, билимди көзөмөлдөөнүн тесттик формасына акыркы жолу өткөндөн кийин, курулуш тапшырмалары окуучулар үчүн барган сайын көп кыйынчылыктарды жаратат деген кооптонуулар бар.
Көбүрөөк чөйрөлөр үчүн жалпы тангенстерди табууга келсек, алар бир тегиздикте жатса да, бул дайыма эле мүмкүн боло бербейт. Бирок кээ бир учурларда мындай түз сызыкты таба аласыз.
Турмуш мисалдары
Эки чөйрөнүн жалпы тангенси практикада көп кездешет, бирок ал дайыма эле байкала бербейт. Конвейерлер, блоктук системалар, шкив өткөргүч ленталары, тигүүчү машинадагы жиптин тартылышы, жада калса жөн эле велосипед чынжыры - мунун баары турмуштан алынган мисалдар. Андыктан геометриялык маселелер теорияда гана калат деп ойлобоңуз: инженерияда, физикада, курулушта жана башка көптөгөн тармактарда алар практикалык колдонууну табат.
