Мектеп окуучулары эң чоң кыйынчылыктарды башынан өткөргөн математиканын тармактарынын бири – тригонометрия. Таң калыштуу эмес: билимдин бул чөйрөсүн эркин өздөштүрүү үчүн мейкиндиктик ой жүгүртүү керек, формулаларды колдонуу менен синустарды, косинустарды, тангенстерди, котангенстерди таба билүү, туюнтмаларды жөнөкөйлөштүрүү жана pi санын эсептөөдө колдоно билүү керек. Мындан тышкары, теоремаларды далилдеп жатканда тригонометрияны колдоно билишиңиз керек, бул үчүн өнүккөн математикалык эстутум же татаал логикалык чынжырларды чыгара билүү керек.
Тригонометриянын келип чыгышы
Бул илимге киришүү бурчтун синусун, косинусун жана тангенсин аныктоо менен башталышы керек, бирок адегенде тригонометрия жалпысынан эмне кыларын аныкташыңыз керек.
Тарыхый жактан туура үч бурчтуктар математика илиминин бул бөлүмүндө негизги изилдөө объектиси болуп келген. 90 градус бурчтун болушу эки жол ар кандай операцияларды жүргүзүүгө мүмкүндүк береттараптар жана бир бурчу же эки бурчу жана бир тарабы каралып жаткан фигуранын бардык параметрлеринин маанилерин аныктоо үчүн. Мурда адамдар бул үлгүнү байкап, аны имараттарды курууда, навигацияда, астрономияда жана атүгүл искусстводо активдүү колдоно башташкан.
Башталыш
Башында адамдар бурчтар менен капталдардын байланышы жөнүндө тик бурчтуктардын мисалында гана сүйлөшүшкөн. Андан кийин математиканын бул бөлүмүн күнүмдүк турмушта колдонуу чектерин кеңейтүүгө мүмкүндүк берген атайын формулалар ачылган.
Бүгүнкү күндө мектепте тригонометрияны үйрөнүү тик бурчтуу үч бурчтуктардан башталат, андан кийин алган билимдерин студенттер физикада жана абстракттуу тригонометриялык теңдемелерди чечүүдө колдонот, алар менен иштөө орто мектептен башталат.
Сферикалык тригонометрия
Кийинчерээк илим өнүгүүнүн кийинки деңгээлине жеткенде сфералык геометрияда синус, косинус, тангенс, котангенс бар формулалар колдонула баштаган, мында башка эрежелер колдонулат жана үч бурчтуктун бурчтарынын суммасы ар дайым көбүрөөк болот. 180 градустан жогору. Бул бөлүм мектепте окутулбайт, бирок анын бар экендиги жөнүндө билиш керек, жок дегенде жердин бети жана башка планеталардын бети томпок болгондуктан, бетинин кандайдыр бир белгиси "жага сымал" болот дегенди билдирет. " үч өлчөмдүү мейкиндикте.
Глобус менен жип алыңыз. Жер шарынын каалаган эки чекитине жипти чыңгыдай кылып бекитиңиз. Көңүл буруңуз - ал арканын формасына ээ болду. Мындай формалар менен алектенетсфералык геометрия геодезия, астрономия жана башка теориялык жана прикладдык тармактарда колдонулат.
Оң үч бурчтук
Тригонометрияны колдонуу жолдору жөнүндө бир аз үйрөнүп, синус, косинус, тангенс деген эмне экенин, алардын жардамы менен кандай эсептөөлөрдү жүргүзүүгө болорун жана кандай формулаларды колдонуу керектигин түшүнүү үчүн негизги тригонометрияга кайрылалы.
Биринчиден, сиз тик бурчтукка байланыштуу түшүнүктөрдү түшүнүшүңүз керек. Биринчиден, гипотенуза 90 градус бурчка карама-каршы тарап болуп саналат. Ал эң узун. Пифагор теоремасы боюнча анын сандык мааниси башка эки тараптын квадраттарынын суммасынын тамырына барабар экенин эстейбиз.
Мисалы, эки жагы 3 жана 4 сантиметр болсо, гипотенузанын узундугу 5 сантиметр болот. Айтмакчы, байыркы египеттиктер бул тууралуу төрт жарым миң жыл мурун билишкен.
Тик бурчту түзгөн эки калган каптал буттар деп аталат. Кошумчалай кетсек, тик бурчтуу координаттар системасындагы үч бурчтуктун бурчтарынын суммасы 180 градус экенин эстен чыгарбашыбыз керек.
Аныктама
Акыры, геометриялык негизди жакшы түшүнгөндөн кийин, биз бурчтун синусу, косинусу жана тангенсинин аныктамасына кайрылсак болот.
Бурчтун синусу – бул карама-каршы буттун (башкача айтканда, керектүү бурчка карама-каршы тараптын) гипотенузага болгон катышы. Бурчтун косинусу – чектеш буттун гипотенузага болгон катышы.
Синус да, косинус да бирден чоң боло албасын унутпаңыз! Неге?Анткени гипотенуза демейки боюнча тик бурчтуктун эң узун тарабы болуп саналат. Бут канчалык узун болбосун, ал гипотенузага караганда кыска болот, демек, алардын катышы дайыма бирден аз болот. Ошентип, эгер сиз маселенин жообуна 1ден жогору мааниге ээ болгон синус же косинус алсаңыз, эсептөөдө же ой жүгүртүүдө ката издеңиз. Бул жооп туура эмес.
Акыры, бурчтун тангенси - карама-каршы тараптын чектеш капталына болгон катышы. Ошол эле натыйжа синустун косинуска бөлүнүшүн берет. Караңыз: формула боюнча капталдын узундугун гипотенузага бөлөбүз, андан кийин экинчи капталынын узундугуна бөлүп, гипотенузага көбөйтөбүз. Ошентип, биз тангенстин аныктамасындагыдай катышка ээ болобуз.
Котангенс, тиешелүүлүгүнө жараша, бурчка чектеш тараптын карама-каршы тарапка болгон катышы. Бирдикти тангенске бөлүү менен ушундай эле натыйжага жетишебиз.
Ошентип, биз синус, косинус, тангенс жана котангенс деген эмненин аныктамаларын карап чыктык жана формулалар менен иштей алабыз.
Жөнөкөй формулалар
Тригонометрияда формуласыз болбойт - аларсыз синус, косинус, тангенс, котангенс кантип табылат? Бирок көйгөйлөрдү чечүүдө дал ушул нерсе талап кылынат.
Тригонометрияны изилдеп баштаганда билиши керек болгон биринчи формула бурчтун синусу менен косинусунун квадраттарынын суммасы бирге барабар экенин айтат. Бул формула Пифагор теоремасынын түздөн-түз натыйжасы, бирок каптал эмес, бурчтун маанисин билүү керек болсо, ал убакытты үнөмдөйт.
Көптөгөн студенттер экинчи формуланы эстей алышпайтмектеп маселелерин чечүүдө популярдуу: бирдин суммасы жана бурчтун тангенсинин квадраты бурчтун косинусунун квадратына бөлүнгөн бирге барабар. Жакшылап караңыз: баары бир, бул биринчи формуладагыдай эле, бирдейликтин эки тарабы гана косинустун квадратына бөлүнгөн. Көрсө, жөнөкөй математикалык операция тригонометриялык формуланы таптакыр таанылгыс кылып коёт экен. Эсиңизде болсун: синус, косинус, тангенс жана котангенс деген эмне экенин, өзгөртүү эрежелерин жана бир нече негизги формулаларды билип туруп, сиз каалаган убакта өз алдынча кагаз бетинен керектүү татаалыраак формулаларды чыгара аласыз.
Кош бурчтуу формулалар жана аргументтерди кошуу
Үйрөнүүгө дагы эки формула бурчтардын суммасы жана айырмасы үчүн синус жана косинус маанилерине байланыштуу. Алар төмөндөгү сүрөттө көрсөтүлгөн. Эскерте кетсек, биринчи учурда синус менен косинус эки эсеге көбөйтүлөт, ал эми экинчи учурда синус менен косинустун жуптук көбөйтүлүшү кошулат.
Кош бурч аргументтери менен байланышкан формулалар да бар. Алар мурункулардан толугу менен алынган - практика катары, альфа бурчун бета бурчуна барабар алып, аларды өзүңүз алууга аракет кылыңыз.
Акыры, кош бурчтук формулаларды синус, косинус, тангенс альфа даражасын азайтуу үчүн айландырса болорун эске алыңыз.
Теоремалар
Негизги тригонометриянын эки негизги теоремасы синус теоремасы жана косинус теоремасы. Бул теоремалардын жардамы менен сиз синус, косинус жана тангенсти, демек фигуранын аянтын жана чоңдугун кантип табууга болорун оңой түшүнө аласыз.ар бир тарап, ж.б.
Синустар теоремасы үч бурчтуктун ар бир капталынын узундугун карама-каршы бурчтун маанисине бөлүүнүн натыйжасында бирдей санды алабыз деп айтылат. Мындан тышкары, бул сан чектелген айлананын эки радиусуна барабар болот, б.а., берилген үч бурчтуктун бардык чекиттерин камтыган тегерек.
Косинус теоремасы Пифагор теоремасын жалпылап, аны каалаган үч бурчтуктарга проекциялайт. Көрсө, эки тараптын квадраттарынын суммасынан алардын продуктусун алып, аларга чектеш бурчтун кош косинусуна көбөйтсөңүз, натыйжадагы маани үчүнчү тараптын квадратына барабар болот. Ошентип, Пифагор теоремасы косинус теоремасынын өзгөчө учуру болуп чыгат.
Көңүл буруудан улам кетирилген каталар
Синус, косинус жана тангенс деген эмне экенин билип туруп, ойлонбогондуктан же эң жөнөкөй эсептөөлөрдөгү катадан ката кетирүү оңой. Мындай каталарды болтурбоо үчүн, келгиле, эң популярдуулорун карап көрөлү.
Биринчиден, акыркы жыйынтыкты алуудан мурун жөнөкөй бөлчөктөрдү ондукка айландырбаңыз - шартта башкача каралбаса, жоопту жалпы бөлчөк катары калтырсаңыз болот. Мындай трансформацияны жаңылыштык деп атоого болбойт, бирок иштин ар бир этабында жаңы тамырлар пайда болушу мүмкүн экенин эстен чыгарбоо керек, алар автордун ою боюнча кыскартылууга тийиш. Бул учурда, сиз керексиз математикалык операцияларга убакытты текке кетиресиз. Бул, өзгөчө, үч же эки тамыры сыяктуу баалуулуктарга тиешелүү, анткени алар тапшырмаларда ар бир кадамда кездешет. Тегеректөө үчүн да ушундай."Чиркин" сандар.
Андан кийин, косинус теоремасы Пифагор теоремасы эмес, каалаган үч бурчтукка тиешелүү экенин эске алыңыз! Эгерде сиз жаңылыштык менен алардын ортосундагы бурчтун косинусуна көбөйтүлгөн тараптардын эки эселенген көбөйтүндүсүн алып салууну унутуп калсаңыз, анда сиз такыр туура эмес жыйынтыкка гана ээ болбостон, предметти толук түшүнбөгөнүңүздү да көрсөтөсүз. Бул этиятсыз катадан да жаман.
Үчүнчүдөн, синустар, косинустар, тангенстер, котангенстер үчүн 30 жана 60 градус бурчтарынын маанилерин чаташтырбаңыз. Бул баалуулуктарды эстеп коюңуз, анткени 30 градустун синусу 60 косинуна барабар жана тескерисинче. Аларды аралаштыруу оңой жана сиз сөзсүз жаңылыштык натыйжага ээ болосуз.
Колдонмо
Көптөгөн студенттер тригонометрияны изилдөөгө шашпайт, анткени алар анын колдонулуучу маанисин түшүнүшпөйт. Инженер же астроном үчүн синус, косинус, тангенс деген эмне? Бул концепциялардын жардамы менен сиз алыскы жылдыздарга чейинки аралыкты эсептей аласыз, метеориттин кулашын алдын ала айта аласыз, башка планетага изилдөө зондун жөнөтө аласыз. Аларсыз имаратты куруу, машинаны долбоорлоо, жер бетиндеги жүктү же объекттин траекториясын эсептөө мүмкүн эмес. Жана бул эң ачык мисалдар! Анткени, тригонометрия тигил же бул формада музыкадан медицинага чейин бардык жерде колдонулат.
Корутундуда
Демек, сиз синус, косинус, тангенс эмне экенин билесиз. Аларды эсептөөдө колдонуп, мектеп көйгөйлөрүн ийгиликтүү чече аласыз.
Бардык нерсетригонометрия үч бурчтуктун белгилүү параметрлери боюнча белгисиздерди эсептөө керек экендигине чейин төмөндөйт. Жалпысынан алты параметр бар: үч тараптын узундугу жана үч бурчтун чоңдугу. Тапшырмалардын айырмасы ар кандай киргизүү маалыматтарынын берилгендигинде.
Бутун же гипотенузанын белгилүү узундуктарынын негизинде синус, косинус, тангенс кантип тапса болот, эми сиз билесиз. Бул терминдер катыштан башка эч нерсени билдирбегендиктен жана катыш бөлчөк болгондуктан, тригонометриялык маселенин негизги максаты кадимки теңдеменин же теңдемелер системасынын тамырын табуу болуп саналат. Бул жерде сизге кадимки мектеп математикасы жардам берет.
