Вектор маанилүү геометриялык объект, анын касиеттеринин жардамы менен тегиздикте жана мейкиндикте көптөгөн маселелерди чечүүгө ыңгайлуу. Бул макалада биз аны аныктап, анын негизги мүнөздөмөлөрүн карап чыгабыз, ошондой эле мейкиндиктеги векторду тегиздиктерди аныктоо үчүн кантип колдонсо болорун көрсөтөбүз.
Вектор деген эмне: эки өлчөмдүү регистр
Биринчиден, сөз кайсы объект жөнүндө болуп жатканын так түшүнүү керек. Геометрияда багытталган сегмент вектор деп аталат. Кандайдыр бир сегмент сыяктуу эле, ал эки негизги элемент менен мүнөздөлөт: башталгыч жана акыркы чекиттер. Бул чекиттердин координаттары вектордун бардык мүнөздөмөлөрүн уникалдуу түрдө аныктайт.
Тегиздиктеги вектордун мисалын карап көрөлү. Бул үчүн эки өз ара перпендикуляр х жана у окторду тартабыз. P(x, y) каалаган чекитти белгилейли. Эгерде бул чекитти координацияга (О чекитине) туташтырсак, андан кийин P багытын көрсөтсөк, анда OP¯ векторун алабыз (кийин макалада символдун үстүндөгү тилке векторду карап жатканыбызды көрсөтүп турат). Учактагы вектордук чийме төмөндө көрсөтүлгөн.
Бул жерде дагы AB¯ вектору да көрсөтүлгөн жана анын мүнөздөмөлөрү OP¯ менен так окшош экенин, бирок ал координаттар системасынын башка бөлүгүндө экенин көрө аласыз. Параллель которуу OP¯ менен, сиз бирдей касиеттерге ээ чексиз сандагы векторлорду ала аласыз.
Космостогу вектор
Бизди курчап турган бардык реалдуу объекттер үч өлчөмдүү мейкиндикте. Үч өлчөмдүү фигуралардын геометриялык касиеттерин изилдөө үч өлчөмдүү векторлор түшүнүгү менен иштеген стереометрия менен алектенет. Алар эки өлчөмдүүдөн сыпаттоо үчүн үчүнчү перпендикуляр x жана у огу z боюнча ченелген кошумча координатаны талап кылгандыгы менен гана айырмаланат.
Төмөнкү сүрөттө мейкиндиктеги вектор көрсөтүлгөн. Ар бир огу боюнча анын учу координаттары түстүү сегменттер менен көрсөтүлгөн. Вектордун башы бардык үч координат огунун кесилишкен жеринде жайгашкан, башкача айтканда, анын координаттары (0; 0; 0).
Тегиздиктеги вектор мейкиндикке багытталган сегменттин өзгөчө учуру болгондуктан, макалада үч өлчөмдүү векторду гана карайбыз.
Вектор координаттары анын башталышынын жана аяктоосунун белгилүү координаттарына негизделген
Эки чекит бар дейли P(x1; y1; z1) жана Q(x2; y2; z2). PQ¯ векторунун координаталары кантип аныкталат. Биринчиден, пункттардын кайсынысы вектордун башталышы жана кайсынысы аягы болорун макулдашуу керек. Математикада каралып жаткан объектти анын багыты боюнча жазуу салтка айланган, б.а. Р башталышы, Q.- акыры. Экинчиден, PQ¯ векторунун координаттары аягы менен башталышынын тиешелүү координаттарынын ортосундагы айырма катары эсептелет, башкача айтканда:
PQ¯=(x2- x1; y2- y 1; z2- z1).
Вектордун багытын өзгөртүү менен анын координаттары төмөнкүдөй белгини өзгөртөөрүн эске алыңыз:
QP¯=(x1- x2; y1- y 2; z1- z2).
Бул PQ¯=-QP¯ дегенди билдирет.
Дагы бир нерсени түшүнүү маанилүү. Жогоруда айтылгандай, тегиздикте берилгенге барабар чексиз сандагы векторлор бар. Бул факт мейкиндик үчүн да жарактуу. Чындыгында, биз жогорудагы мисалда PQ¯ координаталарын эсептеп чыкканда, биз бул вектордун параллелдүү которуу операциясын анын башталышы менен дал келгидей кылып ишке ашырдык. PQ¯ векторун баштапкы жерден M чекитине багытталган сегмент катары тартууга болот((x2 - x1; y2 - y1; z2 - z1).
Вектор касиеттери
Баардык геометриялык объект сыяктуу эле, вектор да маселелерди чечүү үчүн колдонула турган айрым мүнөздүү мүнөздөмөлөргө ээ. Келгиле, аларды кыскача тизмелейли.
Вектордук модулу – багытталган сегменттин узундугу. Координаталарды билүү менен аны эсептөө оңой. Жогорудагы мисалдагы PQ¯ векторунун модулу:
|PQ¯|=√[(x2- x1)2 + (y2 - y1)2+ (z2 - z1 )2].
Вектор модулу күйүктегиздик үчүнчү координаттын катышуусуз гана окшош формула менен эсептелет.
Векторлордун суммасы жана айырмасы үч бурчтук эрежеси боюнча жүргүзүлөт. Төмөнкү сүрөттө бул объекттерди кантип кошуу жана кемитүү керектиги көрсөтүлгөн.
Колумдук векторду алуу үчүн биринчи вектордун аягына экинчинин башын кошуңуз. Керектүү вектор биринчи вектордун башында башталып, экинчи вектордун аягында бүтөт.
Айырма алынып салынган вектордун карама-каршысына алмаштырылганын эске алуу менен аткарылып, андан кийин жогоруда сүрөттөлгөн кошуу операциясы аткарылат.
Кошуу жана кемитүүдөн тышкары, векторду санга көбөйтө билүү маанилүү. Эгерде сан k ге барабар болсо, анда модулу баштапкыдан k эсе айырмаланган жана багыты же бирдей (k>0) же баштапкыга карама-каршы (k<0) болгон вектор алынат.
Векторлорду өз ара көбөйтүү операциясы да аныкталган. Ал үчүн макалада өзүнчө абзац бөлүп беребиз.
Скалярдык жана вектордук көбөйтүү
Эки вектор бар дейли u¯(x1; y1; z1) жана v¯(x2; y2; z2). Вектор менен векторду эки башка жол менен көбөйтүүгө болот:
- Скаляр. Бул учурда, натыйжа сан болуп саналат.
- Вектор. Натыйжада жаңы вектор пайда болду.
u¯ жана v¯ векторлорунун скалярдык көбөйтүндүсү төмөнкүдөй эсептелет:
(u¯v¯)=|u¯||v¯|cos(α).
Бул жерде α - берилген векторлордун ортосундагы бурч.
У¯ жана v¯ координаттарын билүү менен алардын чекиттүү көбөйтүндүсүн төмөнкү формула менен эсептөөгө болорун көрсөтсө болот:
(u¯v¯)=x1x2+ y1 y2+ z1z2.
Скалярдык көбөйтүндү векторду перпендикуляр багытталган эки сегментке ажыратууда колдонуу ыңгайлуу. Ал ошондой эле векторлордун параллелдүүлүгүн же ортогоналдуулугун жана алардын ортосундагы бурчту эсептөө үчүн колдонулат.
u¯ менен v¯нин кайчылаш көбөйтүлүшү түпнуска перпендикуляр жана модулу бар жаңы векторду берет:
[u¯v¯]=|u¯||v¯|sin(α).
Жаңы вектордун ылдый же өйдө багыты оң колдун эрежеси менен аныкталат (оң колдун төрт манжасы биринчи вектордун учунан экинчинин аягына чейин багытталган, ал эми баш бармак өйдө жабышып турат) жаңы вектордун багытын көрсөтөт). Төмөнкү сүрөттө ыктыярдуу a¯ жана b¯ үчүн кайчылаш продуктунун натыйжасы көрсөтүлгөн.
Кайсыл көрсөткүч фигуралардын аймактарын эсептөө үчүн, ошондой эле берилген тегиздикке перпендикуляр вектордун координаталарын аныктоо үчүн колдонулат.
Векторлор жана алардын касиеттери тегиздиктин теңдемесин аныктоодо колдонууга ыңгайлуу.
Тегиздиктин нормалдуу жана жалпы теңдемеси
Тегиздикти аныктоонун бир нече жолу бар. Алардын бири тегиздиктин жалпы теңдемесин чыгаруу болуп саналат, ал түздөн-түз ага перпендикуляр болгон вектор жана тегиздикке таандык кээ бир белгилүү чекит жөнүндөгү билимден келип чыгат.
Vектор n¯ (A; B; C) жана P чекити бар деп ойлойлу (x0; y0; z 0). Кандай шарт тегиздиктин бардык Q(x; y; z) чекиттерин канааттандырат? Бул шарт кандайдыр бир PQ¯ векторунун нормалдуу n¯ге перпендикулярдуулугунан турат. Эки перпендикуляр вектор үчүн чекиттин көбөйтүлүшү нөлгө айланат (cos(90o)=0), муну жаз:
(n¯PQ¯)=0 же
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
Кашаларды ачып, биз: алабыз
Ax + By + Cz + (-Ax0-By0-C z0)=0 же
Ax + By + Cz +D=0 мында D=-Ax0-By0-Cz0.
Бул теңдеме учак үчүн жалпы деп аталат. Биз x, y жана z алдындагы коэффициенттер n¯ перпендикуляр векторунун координаттары экенин көрөбүз. Ал учак гид деп аталат.
Тегиздиктин вектордук параметрлик теңдемеси
Тегиздикти аныктоонун экинчи жолу - анда жаткан эки векторду колдонуу.
векторлор бар деп ойлойлу u¯(x1; y1; z1) жана v¯(x2; y2; z2). Айтылгандай, мейкиндикте алардын ар бири чексиз бирдей багытталган сегменттер менен көрсөтүлүшү мүмкүн, ошондуктан тегиздикти уникалдуу аныктоо үчүн дагы бир чекит керек. Бул чекит P(x0 болсун;y0; z0). Эгерде PQ¯ векторун u¯ жана v¯ комбинациясы катары көрсөтүү мүмкүн болсо, каалаган Q(x; y; z) чекити керектүү тегиздикте жатат. Башкача айтканда, бизде:
PQ¯=αu¯ + βv¯.
Бул жерде α жана β кээ бир реалдуу сандар. Бул теңчиликтен төмөнкү туюнтма келип чыгат:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(x1; y1; z1) + β(x 2; y2; z2).
Бул тегиздиктин u¯ жана v¯ 2 векторуна карата параметрдик вектор теңдемеси деп аталат. α жана β ыктыярдуу параметрлерин алмаштыруу менен бул тегиздикке тиешелүү бардык чекиттерди (x; y; z) табууга болот.
Бул теңдемеден учактын жалпы туюнтмасын алуу оңой. Бул үчүн u¯ жана v¯ векторуна тең перпендикуляр боло турган n¯ багыт векторун табуу жетиштүү, башкача айтканда, алардын вектордук көбөйтүндүсү колдонулушу керек.
Тегиздиктин жалпы теңдемесин аныктоо маселеси
Жогорудагы формулаларды геометриялык маселелерди чыгарууда кантип колдонууну көрсөтөлү. Тегиздиктин багыт вектору n¯(5; -3; 1) болсун дейли. P(2; 0; 0) чекити ага таандык экенин билип туруп, тегиздиктин теңдемесин табышыңыз керек.
Жалпы теңдеме төмөнкүчө жазылган:
Ax + By + Cz +D=0.
Тегиздикке перпендикуляр вектор белгилүү болгондуктан, теңдеме төмөнкү форманы алат:
5x - 3y + z +D=0.
Бош терминди табуу калды.
D=-Ax0-By0-Cz0=-52 + 30 - 10=-10.
Ошентип, учактын керектүү теңдемеси төмөнкүдөй формага ээ:
5x - 3y + z -10=0.
Төмөнкү сүрөттө пайда болгон учак кандай көрүнөрүн көрсөтүп турат.
Точкалардын көрсөтүлгөн координаттары тегиздиктин x, y жана z октору менен кесилишкен жерлерине туура келет.
Тегиздикти эки вектор жана чекит аркылуу аныктоо маселеси
Эми мурунку тегиздик башкача аныкталды дейли. u¯(-2; 0; 10) жана v¯(-2; -10/3; 0) эки вектору, ошондой эле P(2; 0; 0) чекити белгилүү. Вектордук параметрдик формада тегиздик теңдеме кантип жазылат? Каралган тиешелүү формуланы колдонуу менен биз:алабыз
(x; y; z)=(2; 0; 0) + α(-2; 0; 10) + β(-2; -10/3; 0).
Тегиздиктин бул теңдемесинин, u¯ жана v¯ векторлорунун аныктамаларын абсолюттук түрдө каалагандай кабыл алууга болорун эске алыңыз, бирок бир шарт менен: алар параллелдүү болбошу керек. Болбосо, тегиздикти уникалдуу түрдө аныктоо мүмкүн эмес, бирок нур же тегиздиктердин жыйындысы үчүн теңдеме табууга болот.
