Типтүү геометриялык маселе сызыктардын ортосундагы бурчту табуу. Тегиздикте сызыктардын теңдемелери белгилүү болсо, аларды сызып, бурчту транспортир менен өлчөөгө болот. Бирок, бул ыкма эмгекти талап кылат жана дайыма эле мүмкүн боло бербейт. Аты аталган бурчту билүү үчүн түз сызыктарды тартуунун кажети жок, аны эсептөөгө болот. Бул макалада муну кантип жасоого жооп берилет.
Түз сызык жана анын вектордук теңдемеси
Кандай түз сызык -∞ден башталып +∞ менен аяктаган вектор катары көрсөтүлүшү мүмкүн. Бул учурда вектор мейкиндиктин кандайдыр бир чекити аркылуу өтөт. Ошентип, түз сызыктын каалаган эки чекитинин ортосуна тартууга мүмкүн болгон бардык векторлор бири-бирине параллель болот. Бул аныктама түз сызыктын теңдемесин вектордук формада коюуга мүмкүндүк берет:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(a; b; c)
Бул жерде координаттары бар вектор (a; b; c) чекиттен өткөн бул сызык үчүн жол көрсөткүч болуп саналат (x0; y0; z0).α параметри көрсөтүлгөн чекитти ушул сызык үчүн каалаган башкага өткөрүүгө мүмкүндүк берет. Бул теңдеме интуитивдик жана 3D мейкиндигинде да, учакта да иштөөгө оңой. Учак үчүн ал z координаттарын жана үчүнчү багыттагы вектор компонентин камтыбайт.
Вектордук теңдемени колдонуудан улам эсептөөлөрдү жүргүзүүнүн жана түз сызыктардын салыштырмалуу абалын изилдөөнүн ыңгайлуулугу анын багыттоочу векторунун белгилүү болгондугу менен шартталган. Анын координаттары сызыктардын ортосундагы бурчту жана алардын ортосундагы аралыкты эсептөө үчүн колдонулат.
Тегиздиктеги түз сызык үчүн жалпы теңдеме
Эки өлчөмдүү жагдай үчүн түз сызыктын вектордук теңдемесин ачык жазалы. Төмөнкүдөй көрүнөт:
x=x0+ αa;
y=y0+ αb
Эми ар бир теңдик үчүн α параметрин эсептеп, алынган теңдиктердин туура бөлүктөрүн теңдейбиз:
α=(x - x0)/a;
α=(y - y0)/b;
(x - x0)/a=(y - y0)/b
Кашаны ачып, бардык шарттарды теңдиктин бир тарабына өткөргөндө, биз: алабыз
1/ax +(-1/b)y+y0/b- x0/a=0=>
Ax + By + C=0, мында A=1/a, B=-1/b, C=y0/b- x 0/a
Натыйжадагы туюнтма эки өлчөмдүү мейкиндикте берилген түз сызыктын жалпы теңдемеси деп аталат (үч өлчөмдүү бул теңдеме түз сызык эмес, z огуна параллель тегиздикке туура келет).
Эгер бул туюнтмада y аркылуу х чейин ачык жазсак, анда биз төмөнкү форманы алабыз, белгилүүар бир студент:
y=kx + p, мында k=-A/B, p=-C/B
Бул сызыктуу теңдеме тегиздиктеги түз сызыкты уникалдуу түрдө аныктайт. Аны белгилүү теңдеме боюнча чийүү абдан оңой, ал үчүн х=0 жана у=0 сандарын кезеги менен коюп, координаттар системасындагы тиешелүү чекиттерди белгилеп, алынган чекиттерди бириктирүүчү түз сызык тартуу керек.
Сиздердин ортосундагы бурчтун формуласы
Тегиздикте эки сызык кесилишет же бири-бирине параллель болушу мүмкүн. Мейкиндикте бул варианттарга кыйшайган сызыктардын бар болуу мүмкүнчүлүгү кошулат. Бул бир өлчөмдүү геометриялык объекттердин салыштырмалуу абалынын кандай версиясы ишке ашырылбасын, алардын ортосундагы бурч дайыма төмөнкү формула менен аныкталышы мүмкүн:
φ=arccos(|(v1¯v2¯)|/(|v1 ¯||v2¯|))
Мында v1¯ жана v2¯ тиешелүүлүгүнө жараша 1 жана 2-сап үчүн жетектөөчү векторлор. Нумератор - бул чекиттүү бурчтарды жок кылуу жана курч бурчтарды гана эске алуу үчүн модулу.
V1¯ жана v2¯ векторлору эки же үч координат менен берилиши мүмкүн, ал эми бурчтун формуласы φ өзгөрүүсүз калат.
Сызыктын параллелдиги жана перпендикулярдыгы
Эгерде жогорудагы формула боюнча эсептелген 2 сызыктын ортосундагы бурч 0o болсо, анда алар параллелдүү деп айтылат. Сызыктардын параллелдүү же параллелдүү эместигин аныктоо үчүн бурчту эсептей албайсызφ, бир багыт векторун башка сызыктын окшош вектору аркылуу көрсөтүүгө болот, башкача айтканда:
v1¯=qv2¯
Бул жерде q чыныгы сан.
Эгер сызыктардын теңдемелери төмөнкүчө берилсе:
y=k1x + p1,
y=k2x + p2,
анда алар x коэффициенттери барабар болгондо гана параллель болот, башкача айтканда:
k1=k2
Эгер к коэффиценти түз сызыктын багыттоочу векторунун координаталары менен кандайча туюнтулгандыгын карап көрсөк, бул чындыкты далилдейт.
Эгер сызыктардын кесилишинин бурчу 90o болсо, анда алар перпендикуляр деп аталат. Сызыктардын перпендикулярдуулугун аныктоо үчүн φ бурчун да эсептөөнүн кереги жок, бул үчүн v1¯ жана v векторлорунун скалярдык көбөйтүндүсүн гана эсептөө жетиштүү. 2¯. Ал нөл болушу керек.
мейкиндикте кесилишкен түз сызыктар үчүн φ бурчтун формуласын да колдонсо болот. Бул учурда, натыйжасы туура чечмелениши керек. Эсептелген φ кесилишпеген жана параллелдүү эмес сызыктардын багыт векторлорунун ортосундагы бурчту көрсөтөт.
Тапшырма №1. Перпендикуляр сызыктар
Сиздердин теңдемелери төмөнкү формага ээ экени белгилүү:
(x; y)=(1; 2) + α(1; 2);
(x; y)=(-4; 7) + β(-4; 2)
Бул сызыктар бар же жок экенин аныктоо керекперпендикуляр.
Жогоруда айтылгандай, суроого жооп берүү үчүн координаттарга (1; 2) жана (-4; 2) туура келген багыттоочулардын векторлорунун скалярдык көбөйтүндүсүн эсептөө жетиштүү. Бизде:
(1; 2)(-4; 2)=1(-4) + 22=0
0 алгандыктан, бул каралып жаткан сызыктар туура бурчта кесилишет, башкача айтканда, перпендикуляр.
Тапшырма №2. Сызыктын кесилишинин бурчу
Түз сызыктар үчүн эки теңдеме төмөнкү формага ээ экени белгилүү:
y=2x - 1;
y=-x + 3
Сиздердин ортосундагы бурчту табыш керек.
X коэффициенттери ар кандай мааниге ээ болгондуктан, бул сызыктар параллель эмес. Алар кесилишкенде пайда болгон бурчту табуу үчүн, теңдемелердин ар бирин вектордук формага которобуз.
Биринчи сап үчүн биз алабыз:
(x; y)=(x; 2x - 1)
Теңдеменин оң жагында координаталары хга көз каранды вектор алдык. Аны эки вектордун суммасы катары көрсөтөлү, биринчинин координаттарында х өзгөрмөсү, ал эми экинчисинин координаттары жалаң сандардан турат:
(x; y)=(x; 2x) + (0; - 1)=x(1; 2) + (0; - 1)
x ыктыярдуу маанилерди алгандыктан, аны α параметри менен алмаштырууга болот. Биринчи саптын вектордук теңдемеси:
(x; y)=(0; - 1) + α(1; 2)
Сызыктын экинчи теңдемеси менен ушундай эле аракеттерди жасайбыз:
(x; y)=(x; -x + 3)=(x; -x) + (0; 3)=x(1; -1) + (0; 3)=>
(x; y)=(0; 3) + β(1; -1)
Биз баштапкы теңдемелерди вектор түрүндө кайра жаздык. Эми сиз сызыктардын багыттоочу векторлорунун координаталарын коюп, кесилишүү бурчунун формуласын колдоно аласыз:
(1; 2)(1; -1)=-1;
|(1; 2)|=√5;
|(1; -1)|=√2;
φ=arccos(|-1|/(√5√2))=71, 565o
Ошентип, каралып жаткан сызыктар 71,565o, же 1,249 радиандык бурчта кесилишет.
Бул көйгөйдү башкача чечсе болмок. Бул үчүн ар бир түз сызыктын эки ыктыярдуу чекитин алып, алардан түз векторлорду түзүп, анан φ формуласын колдонуу керек болчу.
