Геометрияда чекиттен кийин түз сызык, балким, эң жөнөкөй элемент. Ал тегиздикте жана үч өлчөмдүү мейкиндикте ар кандай татаал фигураларды курууда колдонулат. Бул макалада биз түз сызыктын жалпы теңдемесин карап чыгабыз жана аны колдонуу менен бир нече маселелерди чечебиз. Баштайлы!
Геометриядагы түз сызык
Тик бурчтук, үч бурчтук, призма, куб жана башка ушул сыяктуу фигуралар кесилишкен түз сызыктардан түзүлөөрүн баары билет. Геометриядагы түз сызык - бир өлчөмдүү объект, аны белгилүү бир чекитти бирдей же карама-каршы багытка ээ болгон векторго өткөрүү аркылуу алууга болот. Бул аныктаманы жакшыраак түшүнүү үчүн мейкиндикте кандайдыр бир P чекити бар деп элестетиңиз. Бул мейкиндикте эркин u¯ векторун алгыла. Анда сызыктын каалаган Q чекити төмөнкү математикалык операциялардын натыйжасында алынышы мүмкүн:
Q=P + λu¯.
Бул жерде λ оң же терс болушу мүмкүн болгон каалаган сан. Эгерде теңчиликжогоруга координаттар боюнча жаз, анда түз сызыктын төмөнкү теңдемесин алабыз:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c).
Бул теңдик түз сызыктын вектор түрүндөгү теңдемеси деп аталат. Ал эми u¯ вектору гид деп аталат.
Тегиздиктеги түз сызыктын жалпы теңдемеси
Ар бир студент аны эч кыйынчылыксыз жаза алат. Бирок көбүнчө теңдеме мындайча жазылат:
y=kx + b.
Бул жерде k жана b - эркин сандар. b саны эркин мүчө деп аталат. k параметри түз сызыктын х огу менен кесилишинен пайда болгон бурчтун тангенсине барабар.
Жогорудагы теңдеме y өзгөрмөсүнө карата туюнтулган. Эгерде биз аны жалпы формада берсек, анда төмөнкү белгини алабыз:
Ax + By + C=0.
Түз сызыктын жалпы теңдемесин тегиздикке жазуунун бул түрү оңой эле мурунку түргө айландырылаарын көрсөтүү оңой. Бул үчүн сол жана оң бөлүктөрдү B факторуна бөлүп, y менен туюндуруу керек.
Жогорудагы сүрөттө эки чекиттен өткөн түз сызык көрсөтүлгөн.
3D мейкиндигиндеги сызык
Изилдөөнү уланталы. Биз түз сызыктын жалпы формадагы теңдемеси тегиздикте кантип берилет деген маселени карадык. Макаланын мурунку абзацында берилген белгини мейкиндик учуру үчүн колдонсок, эмне алабыз? Баары жөнөкөй - мындан ары түз сызык эмес, учак. Чынында эле, төмөнкү туюнтма z огуна параллелдүү тегиздикти сүрөттөйт:
Ax + By + C=0.
Эгер C=0 болсо, анда мындай учак өтөтz огу аркылуу. Бул маанилүү функция.
Анда мейкиндиктеги түз сызыктын жалпы теңдемеси менен кандай болуу керек? Аны кантип суроо керектигин түшүнүү үчүн бир нерсени эстеп калуу керек. Эки тегиздик белгилүү түз сызык боюнча кесилишет. Бул эмнени билдирет? Болгону, жалпы теңдеме тегиздиктер үчүн эки теңдеменин системасын чечүүнүн натыйжасы. Бул системаны жазалы:
- A1x + B1y + C1z + D 1=0;
- A2x + B2y + C2z + D 2=0.
Бул система мейкиндиктеги түз сызыктын жалпы теңдемеси. Тегиздиктер бири-бирине параллель болбошу керек, башкача айтканда, алардын нормалдуу векторлору бири-бирине салыштырмалуу кандайдыр бир бурчта жантайылышы керек экендигин белгилей кетүү керек. Болбосо, тутумда эч кандай чечимдер болбойт.
Жогоруда биз түз сызык үчүн теңдеменин вектордук формасын бердик. Бул системаны чечүүдө колдонуу ыңгайлуу. Бул үчүн алгач бул тегиздиктердин нормалдарынын вектордук көбөйтүндүсүн табуу керек. Бул операциянын натыйжасы түз сызыктын багыт вектору болот. Андан кийин, сызыкка тиешелүү каалаган чекит эсептелиши керек. Бул үчүн, белгилүү бир мааниге барабар өзгөрмөлөрдүн каалаганын коюшуңуз керек, калган эки өзгөрмө кыскартылган системаны чечүү аркылуу табылат.
Вектордук теңдемени жалпыга кантип которуу керек? Нюанстар
Бул эки чекиттин белгилүү координаталарын колдонуу менен түз сызыктын жалпы теңдемесин жазуу керек болсо, келип чыгышы мүмкүн болгон актуалдуу маселе. Бул маселенин кантип чечилгенин бир мисал менен көрсөтөлү. Эки чекиттин координаттары белгилүү болсун:
- P=(x1, y1);
- Q=(x2, y2).
Вектор түрүндөгү теңдемени түзүү абдан оңой. Багыт векторунун координаттары:
PQ=(x2-x1, y2-y 1).
Эскертүү, эгер P чекитинин координаталарынан Q координаталарын алып таштасак, эч кандай айырма жок, вектор өзүнүн багытын тескерисинче гана өзгөртөт. Эми сиз каалаган чекитти алып, вектордук теңдемени жазышыңыз керек:
(x, y)=(x1, y1) + λ(x2 -x1, y2-y1).
Түз сызыктын жалпы теңдемесин жазуу үчүн λ параметрин эки учурда тең туюндуруу керек. Анан жыйынтыктарды салыштыр. Бизде:
x=x1 + λ(x2-x1)=> λ=(x-x1)/(x2-x1);
y=y1 + λ(y2-y1)=> λ=(y-y1)/(y2-y1)=>
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y 1)/(y2-y1).
Белгилүү эки чекит аркылуу өткөн түз сызык үчүн жалпы туюнтманы алуу үчүн кашааларды ачып, теңдеменин бардык мүчөлөрүн теңдеменин бир тарабына өткөрүү гана калды.
Үч өлчөмдүү маселе болгон учурда, чечүү алгоритми сакталат, анын натыйжасы гана тегиздиктер үчүн эки теңдеменин системасы болот.
Тапшырма
Жалпы теңдемени түзүү керекx огу менен (-3, 0) кесилишкен жана у огуна параллелдүү түз сызык.
Теңдемени вектор түрүндө жазуу менен маселени чечүүнү баштайлы. Сызык у огуна параллель болгондуктан, анын багыттоочу вектору төмөнкүдөй болот:
u¯=(0, 1).
Андан кийин каалаган сап төмөнкүдөй жазылат:
(x, y)=(-3, 0) + λ(0, 1).
Эми бул туюнтманы жалпы формага которолу, ал үчүн λ: параметрин туюндуруп алабыз
- x=-3;
- y=λ.
Ошентип, y өзгөрмөнүн каалаган мааниси сызыкка таандык, бирок ага х өзгөрмөсүнүн жалгыз мааниси гана туура келет. Демек, жалпы теңдеме төмөнкү формада болот:
x + 3=0.
Космостогу түз сызык маселеси
Белгилүү болгондой кесилишкен эки тегиздик төмөнкү теңдемелер менен берилген:
- 2x + y - z=0;
- x - 2y + 3=0.
Бул тегиздиктер кесилишкен түз сызыктын вектордук теңдемесин табуу керек. Баштайлы.
Айтылгандай, үч өлчөмдүү мейкиндиктеги түз сызыктын жалпы теңдемеси буга чейин үч белгисиз экиден турган система түрүндө берилген. Биринчиден, тегиздиктер кесилишкен багыт векторун аныктайбыз. Нормалдардын вектордук координаталарын тегиздиктерге көбөйтүп, биз төмөнкүнү алабыз:
u¯=[(2, 1, -1)(1, -2, 0)]=(-2, -1, -5).
Векторду терс санга көбөйтүү анын багытын өзгөрткөндүктөн, биз жаза алабыз:
u¯=-1(-2, -1, -5)=(2, 1, 5).
Кимгетүз сызык үчүн вектордук туюнтманы табуу үчүн, багыт векторунан тышкары, бул түз сызыктын кандайдыр бир чекитин билүү керек. Тап, анткени анын координаттары маселенин шартында теңдемелер системасын канааттандырууга тийиш, ошондо биз аларды табабыз. Мисалы, x=0 коелу, анда биз:
y=z;
y=3/2=1, 5.
Ошентип, каалаган түз сызыкка тиешелүү чекиттин координаттары бар:
P=(0, 1, 5, 1, 5).
Анда бул маселенин жообун алабыз, каалаган сызыктын вектордук теңдемеси төмөнкүдөй болот:
(x, y, z)=(0, 1, 5, 1, 5) + λ(2, 1, 5).
Чечимдин тууралыгын оңой текшерүүгө болот. Бул үчүн λ параметринин ыктыярдуу маанисин тандап, түз сызыктын чекитинин алынган координаталарын тегиздиктер үчүн эки теңдемеге алмаштыруу керек, эки учурда тең бирдейликти аласыз.
