Логарифмдер: мисалдар жана чечимдер

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Акыркы өзгөртүү: 2024-01-02 17:51

Белгилүү болгондой, туюнтмаларды даражаларга көбөйткөндө алардын көрсөткүчтөрү ар дайым кошулат (a^ba^c=a^{b+ c). Бул математикалык мыйзамды Архимед чыгарган, кийин 8-кылымда математик Вирасен бүтүн көрсөткүчтөрдүн таблицасын түзгөн. Дал ошолор логарифмдердин андан аркы ачылышына кызмат кылышкан. Бул функцияны колдонуунун мисалдарын жөнөкөй кошууга оор көбөйтүүнү жөнөкөйлөтүү талап кылынган дээрлик бардык жерден тапса болот. Эгерде сиз бул макаланы окууга 10 мүнөт бөлсөңүз, биз сизге логарифм деген эмне экенин жана алар менен кантип иштөөнү түшүндүрүп беребиз. Жөнөкөй жана жеткиликтүү тил.}

Математикадагы аныктама

Логарифм төмөнкү форманын туюнтмасы: log_ab=c c" б". Келгиле, логарифмди мисалдар менен талдап көрөлү, лог_{28 туюнтмасы бар дейли. Жоопту кантип тапса болот? Бул абдан жөнөкөй, сиз 2ден керектүү даражага чейин 8 ала турган даражаны табышыңыз керек. Сиздин оюңузда бир нече эсептөөлөрдү жасап, 3 санын алабыз! Жана бул чындык, анткени3 даражасына көтөрүлгөн 2 8 деген жоопту берет.}

Логарифмдердин түрлөрү

Көптөгөн окуучулар жана студенттер үчүн бул тема татаал жана түшүнүксүз көрүнөт, бирок чындыгында логарифмдер анчалык деле коркунучтуу эмес, негизгиси алардын жалпы маанисин түшүнүп, касиеттерин жана айрым эрежелерин эстеп калуу. Логарифмдик туюнтмалардын үч өзүнчө түрү бар:

1. Натуралдык логарифм ln a, мында негиз Эйлер саны (e=2, 7).
2. Ондук логарифм lg a, мында негиз 10 саны.
3. А>1 негизиндеги каалаган b санынын логарифми.

Алардын ар бири логарифмдик теоремалардын жардамы менен жөнөкөйлөштүрүүнү, кыскартууну жана андан кийин бир логарифмге келтирүүнү камтыган стандарттуу жол менен чечилет. Логарифмдердин туура маанилерин алуу үчүн алардын касиеттерин жана аларды чечүүдөгү аракеттердин тартибин эстеп калуу керек.

Эрежелер жана кээ бир чектөөлөр

Математикада аксиома катары кабыл алынган бир нече эреже-чектөөлөр бар, б.а., алар макулдашууга болбойт жана чындык. Мисалы, сандарды нөлгө бөлүү мүмкүн эмес, ошондой эле терс сандардан жуп тамыр алуу мүмкүн эмес. Логарифмдердин да өз эрежелери бар, аларга ылайык сиз узун жана сыйымдуулуктагы логарифмдик туюнтмалар менен иштөөнү оңой үйрөнө аласыз:

• "a" негизи ар дайым нөлдөн чоң болушу керек жана ошол эле учурда 1ге барабар болбошу керек, антпесе туюнтма маанисин жоготот, анткени "1" жана "0" каалаган даражада дайыма алардын баалуулуктарына барабар;
• эгерде > 0, анда ab>0,"c" да нөлдөн чоңураак болушу керек экен.

Логарифмдерди кантип чечсе болот?

Мисалы, 10^x=100 теңдеменин жообун табуу тапшырмасы берилген. Бул абдан оңой, он санын көтөрүү менен мындай күчтү тандоо керек, биз 100 алуу. Бул, албетте, жакшы, квадраттык күч! 10^2=100.

Эми бул туюнтманы логарифмдик катары көрсөтөлү. Биз log_{10100=2 алабыз. Логарифмдерди чечүүдө бардык аракеттер иш жүзүндө берилген санды алуу үчүн логарифмдин негизин киргизүү керек болгон күчтү табууга жакындайт.}

Белгисиз даражанын маанисин так аныктоо үчүн, даража таблицасы менен иштөөнү үйрөнүшүңүз керек. Бул мындай көрүнөт:

Көрүп тургандай, эгер сизде техникалык ой жүгүртүүңүз жана көбөйтүү таблицасын билсеңиз, кээ бир көрсөткүчтөрдү интуитивдик түрдө болжолдоого болот. Бирок, чоңураак баалуулуктар үчүн электр таблицасы талап кылынат. Аны татаал математикалык темаларда такыр түшүнбөгөндөр да колдоно алышат. Сол мамыча сандарды камтыйт (а негизи), сандардын үстүнкү сабы а саны көтөрүлгөн c даражасынын мааниси. Кесилиште уячалар жооп болгон сандардын маанилерин аныктайт (ac=b). Мисалы, 10 саны бар эң биринчи уячаны алалы жана аны квадраттап алалы, биз эки уячабыздын кесилишинде көрсөтүлгөн 100 маанисин алабыз. Баары ушунчалык жөнөкөй жана оңой болгондуктан, эң чыныгы гуманист да түшүнөт!

Теңдемелер жана теңсиздиктер

Качан экенБелгилүү шарттарда көрсөткүч логарифм болуп саналат. Демек, ар кандай математикалык сандык туюнтмаларды логарифмдик теңдеме катары жазууга болот. Мисалы, 3⁴=81 81дин 3-базасына логарифм катары жазылышы мүмкүн, бул төрт (log₃81=4). Терс даражалар үчүн эрежелер бирдей: 2^-5=1/32 логарифм катары жазылса, log_{2 (1/32) алабыз)=-5. Математиканын эң кызыктуу бөлүмдөрүнүн бири – «логарифмдер» темасы. Теңдемелердин мисалдарын жана чечимдерин алардын касиеттерин изилдегенден кийин дароо бир аз төмөн карайбыз. Азырынча келгиле, барабар эместиктер кандай болорун жана аларды теңдемелерден кантип айырмалоого болорун карап көрөлү.}

Төмөнкү туюнтма берилген: log_{2(x-1) > 3 - бул логарифмдик теңсиздик, анткени белгисиз "x" мааниси белгинин астында турат логарифм. Бул туюнтма ошондой эле эки маанини салыштырат: каалаган сандын негизги эки логарифми үч сандан чоңураак.}

Логарифмдик теңдемелер менен теңсиздиктердин эң маанилүү айырмасы логарифмдүү теңдемелердин (мисалы - логарифм₂x=√9) _{билдирет жоопто бир же бир нече конкреттүү сандык маанилер, ал эми теңсиздикти чечүүдө алгылыктуу маанилердин диапазону да, бул функциянын үзүлүү чекиттери да аныкталат. Натыйжада, жооп теңдеменин жоопундагыдай жеке сандардын жөнөкөй жыйындысы эмес, үзгүлтүксүз катар же сандар жыйындысы болуп саналат.}

Логарифмдердин негизги теоремалары

Логарифмдин маанилерин табуу үчүн примитивдүү тапшырмаларды чечүүдө анын касиеттерин билбеши мүмкүн. Бирок логарифмдик теңдемелерге же теңсиздиктерге келгенде, биринчиден, логарифмдердин бардык негизги касиеттерин так түшүнүү жана практикада колдонуу зарыл. Теңдемелердин мисалдары менен кийинчерээк таанышабыз, алгач ар бир касиетти кененирээк талдап алалы.

1. Негизги идентификация төмөнкүдөй көрүнөт: alogaB=B. Ал a 0ден чоң, бирге барабар эмес жана В нөлдөн чоң болгондо гана колдонулат.
2. Продукттун логарифмин төмөнкү формулада көрсөтсө болот: log_d(s₁s_2)=logd_s1 _{+ log}d_s2. _{Мында милдеттүү шарт: d, s}1 _{жана s}2 _{> 0; a≠1. Сиз логарифмдердин бул формуласына мисалдар жана чечим менен далил келтирсеңиз болот. log}a_s1 _=f1 _{жана log}a_{s болсун} 2_=f2_{, андан кийин a}f1^=s1_{, a} f2^=s2. _С1_s2 _=af1^a f2^=af1+f2 ^{(даража касиеттери) жана андан ары аныктамасы боюнча: log}a_(s1 _s2_)=f1_{+ f}2_=log a_{s1 + log}a_s2, _{ал далилдениши керек болчу.}
3. Бөлүмдүн логарифми мындай көрүнөт: log_a(s_1/s₂)=журнал _as₁- log_as_2.
4. Формула түрүндөгү теорема төмөнкү форманы алат: log_a^qbⁿ =n/q log_ab.

Бул формула "логарифмдин даражасынын касиети" деп аталат. Ал кадимки даражалардын касиеттерине окшош жана бул таң калыштуу эмес, анткени бардык математика үзгүлтүксүз постулаттарга таянат. Келгиле, далилдерди карап көрөлү.

Let log_ab=t, биз ^t=b алабыз. Эки тарапты тең m даражасына көтөрсөңүз: a^tn=b^;

бирок a^tn=(a^q)^nt/q=b ^{, демек log}aq _bn=(nt)/t, анан log^a_q b_n=n/q log^ab. Теорема далилденген.

Маселелердин жана теңсиздиктердин мисалдары

Логарифмдик маселелердин эң кеңири таралган түрлөрү – теңдемелердин жана теңсиздиктердин мисалдары. Алар дээрлик бардык проблемалык китептерде кездешет, ошондой эле математика боюнча экзамендердин милдеттүү бөлүгүнө киргизилген. Университетке кирүү же математикадан кирүү сынагынан өтүү үчүн мындай маселелерди кантип туура чечүүнү билишиңиз керек.

Тилекке каршы, логарифмдин белгисиз маанисин чечүүнүн жана аныктоонун бирдиктүү планы же схемасы жок, бирок ар бир математикалык теңсиздикке же логарифмдик теңдемеге белгилүү эрежелерди колдонууга болот. Биринчиден, сиз сөз айкашын жөнөкөйлөштүрсө болобу же жалпы формага кичирейтүү болобу, тактап алышыңыз керек. Эгер сиз алардын касиеттерин туура колдонсоңуз, узун логарифмдик туюнтмаларды жөнөкөйлөтө аласыз. Келгиле, алар менен жакында таанышалы.

Логарифмдик теңдемелерди чечүүдө,биздин алдыбызда кандай логарифм бар экенин аныктоо керек: туюнтманын мисалы натурал логарифманы же ондукту камтышы мүмкүн.

Мына ондук логарифмдердин мисалдары: ln100, ln1026. Алардын чечими 10 базасы тиешелүүлүгүнө жараша 100 жана 1026га барабар болгон даражасын аныктоо керек экендигине байланыштуу. Табигый логарифмдердин чечимдери үчүн логарифмдик окшоштуктарды же алардын касиеттерин колдонуу керек. Келгиле, ар кандай типтеги логарифмдик маселелерди чечүүнүн мисалдарын карап көрөлү.

Логарифм формулаларын кантип колдонуу керек: мисалдар жана чечимдер менен

Ошондуктан, келгиле, логарифмдер жөнүндө негизги теоремаларды колдонуу мисалдарын карап көрөлү.

1. Продукттун логарифминин касиети b санынын чоң маанисин жөнөкөй факторлорго ажыратуу зарыл болгон тапшырмаларда колдонулушу мүмкүн. Мисалы, log₂4 + log₂128=log₂(4128)=log_{2512. Жооп 9.}
2. log₄8=log_2² 2³ =3/2 log_{22=1, 5 - сиз көрүп тургандай, логарифмдин даражасынын төртүнчү касиетин колдонуу менен биз бир караганда чече алдык татаал жана чечилбеген туюнтма. Болгону, негизди факторлорго кошуп, андан кийин логарифмдин белгисинен күчтү алуу керек.}

Экзамендеги тапшырмалар

Логарифмдер көбүнчө кирүү экзамендеринде кездешет, өзгөчө Бирдиктүү мамлекеттик экзаменде логарифмдик маселелер көп (бардык мектеп бүтүрүүчүлөрү үчүн мамлекеттик сынак). Адатта, бул милдеттер А бөлүгүндө гана эмес (көпчүлүкэкзамендин жеңил тест бөлүгү), ошондой эле С бөлүгүндө (эң татаал жана көлөмдүү тапшырмалар). Сынак "Табигый логарифмдер" темасын так жана кемчиликсиз билүүнү талап кылат.

Мисалдар жана көйгөйлөрдүн чечимдери сынактын расмий версияларынан алынган. Келгиле, мындай тапшырмалар кантип чечилерин карап көрөлү.

Берилген журнал₂(2x-1)=4. Чечим:

туюнтманы бир аз жөнөкөйлөтүп, кайра жазыңыз log_2(2x-1)=22^{, логарифмдин аныктамасы боюнча 2x-1=2}4^{, демек 2x=17; x=8, 5.}

Бир нече көрсөтмөлөрдү аткаруу менен, сиз логарифмдин белгиси астында туюнтмаларды камтыган бардык теңдемелерди оңой чече аласыз.

• Чечим түйшүктүү жана башаламан болбошу үчүн бардык логарифмдерди бир эле негизге кыскартуу жакшы.
• Логарифм белгисинин астындагы бардык туюнтмалар оң деп көрсөтүлөт, андыктан логарифм белгисинин астындагы туюнтумдун көрсөткүчүн жана анын негизин көбөйтүүдө логарифмдин астында калган туюнтма оң болушу керек.