Матрицалар жана детерминанттар XVIII-XIX кылымдарда ачылган. Адегенде аларды иштеп чыгуу геометриялык объектилерди трансформациялоого жана сызыктуу теңдемелер системасын чечүүгө байланыштуу болгон. Тарыхый жактан алганда, алгачкы басым аныктоочуга болгон. Заманбап сызыктуу алгебраны иштетүү ыкмаларында биринчи кезекте матрицалар каралат. Бул суроонун үстүнөн бир аз ойлонуп көрүш керек.
Бул билим тармагындагы жооптор
Матрицалар көптөгөн маселелерди чечүүнүн теориялык жана практикалык жактан пайдалуу жолун камсыз кылат, мисалы:
- сызыктуу теңдемелердин системалары;
- катуу заттардын тең салмактуулугу (физикада);
- график теориясы;
- Leontiefдин экономикалык модели;
- токой чарбасы;
- компьютердик графика жана томография;
- генетика;
- криптография;
- электр тармактары;
- фрактал.
Чынында, "манекелер" үчүн матрицалык алгебрада жөнөкөйлөштүрүлгөн аныктама бар. Ал төмөнкүчө чагылдырылган: бул илимдин илим тармагы, андакаралып жаткан баалуулуктар изилденет, талданат жана толук изилденет. Алгебранын бул бөлүмүндө изилденип жаткан матрицалар боюнча ар кандай операциялар изилденет.
Матрицалар менен кантип иштөө керек
Бул маанилер бирдей өлчөмдөрдө жана биринин ар бир элементи экинчисинин тиешелүү элементине барабар болсо, бирдей деп эсептелет. Матрицаны каалаган константага көбөйтүүгө болот. Бул скалярдык көбөйтүү деп аталат. Мисал: 2=[1234]=[2⋅12⋅32⋅22⋅4]=[2468].
Бирдей өлчөмдөгү матрицаларды киргизүү аркылуу кошуп, кемитүүгө жана туура келген өлчөмдөрдүн маанилерин көбөйтүүгө болот. Мисал: эки А жана В кошуңуз: A=[21−10]B=[1423]. Бул мүмкүн, анткени A жана B экөө тең эки сап жана бирдей сандагы тилкелерден турган матрицалар. Адагы ар бир элементти Вдеги тиешелүү элементке кошуу керек: A+B=[2+11+2−1+40+3]=[3333]. Матрицалар алгебрада ушундай эле жол менен алынып салынат.
Матрицаны көбөйтүү бир аз башкача иштейт. Мындан тышкары, көптөгөн учурлар жана варианттар, ошондой эле чечимдер болушу мүмкүн. Эгерде Apq жана Bmn матрицасын көбөйтсөк, анда Ap×q+Bm×n=[AB]p×n көбөйтүлөт. ABнын gth сапындагы жана hth тилкесиндеги жазуу g A жана h B ичиндеги тиешелүү жазуулардын көбөйтүндүсүнүн суммасы болуп саналат. Эгерде биринчи жана экинчи саптардагы тилкелердин саны болсо, эки матрицаны гана көбөйтүүгө болот. барабар. Мисал: каралып жаткан А жана В шартын аткарыңыз: A=[1−130]B=[2−11214]. Бул мүмкүн, анткени биринчи матрица 2 мамычаны, экинчисинде 2 сапты камтыйт. AB=[1⋅2+3⋅−1−1⋅2+0⋅−11⋅1+3⋅2−1⋅1+0⋅21⋅1+3⋅4−1⋅1+0⋅4]=[−1−27−113−1].
Матрицалар жөнүндө негизги маалымат
Каралып жаткан маанилер өзгөрмөлөр жана константалар сыяктуу маалыматты уюштурат жана аларды адатта C деп аталган саптарда жана мамычаларда сактайт. Матрицадагы ар бир позиция элемент деп аталат. Мисал: C=[1234]. Эки сап жана эки мамычадан турат. 4-элемент 2-сапта жана 2-тилкеде. Адатта матрицаны анын өлчөмдөрүнөн кийин атасаңыз болот, Cmk деп аталган матрицанын m саптары жана k мамычалары бар.
Кеңейтилген матрицалар
Карап чыгуулар – бул колдонуунун ар кандай аймактарында пайда болгон укмуштуудай пайдалуу нерселер. Матрицалар алгач сызыктуу теңдемелер системасына негизделген. Теңсиздиктердин төмөнкү түзүмүн эске алуу менен, төмөнкү толукталган матрицаны эске алуу керек:
2x + 3y – z=6
–x – y – z=9
x + y + 6z=0.
Коэффициенттерди жазып, маанилерге жооп бериңиз, анын ичинде бардык минус белгилери. Терс саны бар элемент болсо, анда ал "1ге" барабар болот. Башкача айтканда, (сызыктуу) теңдемелер системасы берилгенде, аны менен матрицаны (каша ичиндеги сандар торчосун) байланыштырууга болот. Бул сызыктуу системанын коэффициенттерин гана камтыган бири. Бул "кеңейтилген матрица" деп аталат. Ар бир теңдеменин сол тарабындагы коэффициенттерди камтыган торчо ар бир теңдеменин оң жагындагы жооптор менен "толтурулган".
Рекорддор, башкача айткандаматрицанын B маанилери баштапкы системадагы x-, y- жана z маанилерине туура келет. Эгерде ал туура уюштурулган болсо, анда биринчи кезекте аны текшерип көрүңүз. Кээде изилденип жаткан же изилденип жаткан матрицага терминдерди кайра иретке келтирүү же нөлдөрдү алмаштыруу керек болот.
Төмөнкү теңдемелер системасын эске алуу менен, биз дароо байланышкан кеңейтилген матрицаны жаза алабыз:
x + y=0
y + z=3
z – x=2.
Биринчиден, системаны төмөнкүдөй иретке келтирүүнү унутпаңыз:
x + y=0
y + z=3
–x + z=2.
Андан кийин байланышкан матрицаны төмөнкүдөй жазууга болот: [11000113-1012]. Кеңейтилгенди түзүүдө сызыктуу теңдемелер системасындагы тиешелүү чекит бош болгон бардык жазуулар үчүн нөлдү колдонуу керек.
Матрицалык алгебра: амалдардын касиеттери
Эгерде элементтерди коэффиценттик маанилерден гана түзүү зарыл болсо, анда каралуучу маани төмөнкүдөй болот: [110011-101]. Бул "коэффицент матрицасы" деп аталат.
Төмөнкү кеңейтилген матрицалык алгебраны эске алуу менен аны өркүндөтүү жана ага байланыштуу сызыктуу системаны кошуу керек. Айтылгандай, алар өзгөрмөлөрдүн жакшы уюштурулушун жана тыкан болушун талап кыларын эстен чыгарбоо керек. Жана адатта үч өзгөрмө болгондо, ошол тартипте x, y жана z колдонуңуз. Ошондуктан, байланышкан сызыктуу система болушу керек:
x + 3y=4
2ж - z=5
3x + z=-2.
Матрицанын өлчөмү
Каралып жаткан нерселер көбүнчө алардын аткарылышы менен аталат. Алгебрадагы матрицанын өлчөмү төмөнкүдөй берилгенөлчөө, анткени бөлмө башкача атоого болот. Маанилердин өлчөнгөн өлчөмү туурасы жана узундугу эмес, саптар жана мамычалар болуп саналат. Мисалы, матрицасы A:
[1234]
[2345]
[3456].
Ада үч сап жана төрт мамычасы болгондуктан, A өлчөмү 3 × 4.
→
↓
Саптар капталга кетет. Колонналар өйдө-ылдый баратат. "Сатар" жана "мамыча" спецификациялар болуп саналат жана бири-бирин алмаштырууга болбойт. Матрицалардын өлчөмдөрү ар дайым саптардын саны, анан мамычалардын саны менен көрсөтүлөт. Бул конвенциядан кийин, төмөнкү B:
[123]
[234] 2 × 3. Эгер матрицада саптардын саны мамычалар менен бирдей болсо, анда ал "квадрат" деп аталат. Мисалы, жогорудан алынган коэффициенттин маанилери:
[110]
[011]
[-101] - 3×3 чарчы матрица.
Матрицаны белгилөө жана форматтоо
Форматтоо эскертүүсү: Мисалы, матрицаны жазуу керек болгондо, кашааларды колдонуу маанилүү. Абсолюттук маани тилкелери || колдонулбайт, анткени алар бул контекстте башка багытка ээ. кашаалар же тармал кашаалар {} эч качан колдонулбайт. Же кандайдыр бир башка топтордун символу, же такыр жок, анткени бул презентациялардын эч кандай мааниси жок. Алгебрада матрица ар дайым чарчы кашаанын ичинде болот. Туура белгилер гана колдонулушу керек, болбосо жооптор бузулган деп эсептелинет.
Мурда айтылгандай, матрицадагы маанилер жазуулар деп аталат. Кандайдыр бир себептерден улам, каралып жаткан элементтер адатта жазылатбаш тамгалар, мисалы, А же В жана жазуулар тиешелүү кичине тамгалар менен көрсөтүлөт, бирок жазылуулар менен. А матрицасында маанилер адатта "ai, j" деп аталат, мында i - Aнын катары жана j - А тилкеси. Мисалы, a3, 2=8. a1, 3 үчүн жазуу 3.
Кичирээк матрицалар үчүн, саптары жана мамычалары ондон ашпаган матрицалар үчүн кээде үтүр көрсөтүлбөйт. Мисалы, "a1, 3=3" "a13=3" деп жазылышы мүмкүн. Бул чоң матрицалар үчүн иштебейт, анткени a213 бүдөмүк болот.
Матрицанын түрлөрү
Кээде рекорддук конфигурацияларына жараша классификацияланат. Мисалы, жогорку-сол-төмөн-оң диагоналынын астында бардык нөл жазуулары бар мындай матрица жогорку үч бурчтук деп аталат. Башка нерселердин арасында, башка түрлөрү жана түрлөрү болушу мүмкүн, бирок алар абдан пайдалуу эмес. Жалпысынан алганда, көбүнчө үстүнкү үч бурчтук катары кабыл алынат. Көрсөткүчтөрү нөлдөн башка горизонталдуу гана маанилер диагоналдык маанилер деп аталат. Окшош типтерде нөл эмес жазуулар бар, аларда бардыгы 1, мындай жооптор бирдей деп аталат (каралып жаткан маанилерди кантип көбөйтүүнү үйрөнгөндө жана түшүнгөндө айкын боло турган себептерден улам). Окшош көптөгөн изилдөө көрсөткүчтөрү бар. 3 × 3 окшоштугу I3 менен белгиленет. Ошо сыяктуу эле, 4 × 4 идентификациясы I4.
Матрицалык алгебра жана сызыктуу мейкиндиктер
Үч бурчтук матрицалар квадрат экенин эске алыңыз. Бирок диагоналдары үч бурчтуу. Ушуну эске алып, аларчарчы. Жана окшоштуктар диагоналдар деп эсептелет, демек, үч бурчтук жана квадрат. Матрицаны сүрөттөп берүү талап кылынганда, адатта, жөн гана өзүнүн эң спецификалык классификациясын белгилейт, анткени бул башкалардын бардыгын билдирет. Төмөнкү изилдөө варианттарын классификациялаңыз:3 × 4. Бул учурда алар квадрат эмес. Демек, баалуулуктар башка эч нерсе болушу мүмкүн эмес. Төмөнкү классификация:3 × 3 болушу мүмкүн. Бирок ал квадрат деп эсептелет жана анда өзгөчө эч нерсе жок. Төмөнкү маалыматтардын классификациясы:3 × 3 үстүнкү үч бурчтуу, бирок ал диагоналдык эмес. Ырас, каралып жаткан маанилерде жайгашкан жана көрсөтүлгөн мейкиндиктин үстүндө же үстүндө кошумча нөлдөр болушу мүмкүн. Изилденип жаткан классификация андан ары: [0 0 1] [1 0 0] [0 1 0], мында ал диагональ катары көрсөтүлөт жана андан тышкары, жазуулардын бардыгы 1. Анда бул 3 × 3 окшоштук., I3.
Окшош матрицалар аныктамасы боюнча квадрат болгондуктан, алардын өлчөмдөрүн табуу үчүн бир гана индексти колдонушуңуз керек. Эки матрица бирдей болушу үчүн, алар бирдей параметрге ээ жана бирдей жерлерде бирдей жазууларга ээ болушу керек. Мисалы, каралып жаткан эки элемент бар дейли: A=[1 3 0] [-2 0 0] жана B=[1 3] [-2 0]. Бул баалуулуктар бирдей болушу мүмкүн эмес, анткени алардын өлчөмү ар башка.
А жана В болсо дагы: A=[3 6] [2 5] [1 4] жана В=[1 2 3] [4 5 6] - алар дагы эле бирдей эмес ошол эле нерсе. А жана В ар бири баралты жазуу жана ошондой эле бирдей сандар бар, бирок бул матрицалар үчүн жетиштүү эмес. А – 3×2. Ал эми В – 2×3 матрицасы. 3×2 үчүн A – 2×3 эмес. А менен Вда бирдей сандагы маалымат же жазуулар менен бирдей сан бар экендиги маанилүү эмес. Эгерде A жана B бирдей өлчөмдө жана формада болбосо, бирок окшош жерлерде бирдей мааниге ээ болсо, алар бирдей эмес.
Каралып жаткан аймактагы окшош операциялар
Матрицалык теңчиликтин бул касиетин көз карандысыз изилдөө үчүн тапшырмаларга айландырса болот. Мисалы, эки матрица берилип, алардын бирдей экени көрсөтүлөт. Бул учурда, өзгөрмөлөрдүн маанилерин изилдөө жана жооп алуу үчүн бул теңчиликти колдонушуңуз керек болот.
Алгебрадагы матрицалардын мисалдары жана чечимдери ар түрдүү болушу мүмкүн, өзгөчө теңдик жөнүндө сөз болгондо. Төмөнкү матрицалар каралып жатканын эске алып, х жана у чоңдуктарын табуу керек. А жана В бирдей болушу үчүн, алар бирдей өлчөмдө жана формада болушу керек. Чынында, алар ушундай, анткени алардын ар бири 2 × 2 матрица. Жана алар ошол эле жерлерде бирдей баалуулуктарга ээ болушу керек. Анда a1, 1 барабар болушу керек b1, 1, a1, 2 барабар болушу керек b1, 2, ж.б. алар). Бирок, a1, 1=1, албетте, b1, 1=х барабар эмес. А В менен бирдей болушу үчүн, жазууда a1, 1=b1, 1 болушу керек, ошондуктан ал 1=х болууга жөндөмдүү. Ошо сыяктуу эле, индекстер a2, 2=b2, 2, ошондуктан 4=у. Анда чечим: х=1, у=4. Төмөнкү экенин эске алсакматрицалар бирдей, сиз x, y жана z маанилерин табышыңыз керек. A=B болушу үчүн, коэффициенттерде бардык жазуулар бирдей болушу керек. Башкача айтканда, a1, 1=b1, 1, a1, 2=b1, 2, a2, 1=b2, 1 жана башкалар. Атап айтканда, керек:
4=x
-2=y + 4
3=z / 3.
Тандалган матрицалардан көрүнүп тургандай: 1, 1-, 2, 2- жана 3, 1-элементтер менен. Бул үч теңдемени чечүү менен биз жооп алабыз: x=4, y=-6 жана z=9. Матрицалык алгебра жана матрицалык амалдар баары көнүп калгандан айырмаланат, бирок аларды кайталоо мүмкүн эмес.
Бул аймактагы кошумча маалымат
Сызыктуу матрицалык алгебра – теңдемелердин окшош жыйнактарын жана алардын трансформациялык касиеттерин изилдөө. Бул билим чөйрөсү мейкиндикте айланууларды анализдөөгө, эң кичине квадраттарга жакындаштырууга, байланышкан дифференциалдык теңдемелерди чыгарууга, берилген үч чекит аркылуу өтүүчү айлананы аныктоого жана математиканын, физиканын жана техниканын башка көптөгөн маселелерин чечүүгө мүмкүндүк берет. Матрицанын сызыктуу алгебрасы чынында колдонулган сөздүн техникалык мааниси эмес, б.а. f талаасынын үстүндөгү v вектордук мейкиндиги ж.б.
Матрица жана детерминант өтө пайдалуу сызыктуу алгебра куралдары. Борбордук милдеттердин бири х үчүн Ax=b матрицалык теңдемесин чечүү болуп саналат. Бул теориялык жактан тескери x=A-1 b аркылуу чечилиши мүмкүн. Башка ыкмалар, мисалы, Гаусс жок кылуу, сан жагынан ишенимдүү.
Теңдемелердин сызыктуу топтомдорун изилдөөнү сүрөттөө үчүн колдонулгандан тышкары, көрсөтүлгөнжогоруда аталган термин алгебранын белгилүү бир түрүн сүрөттөө үчүн да колдонулат. Атап айтканда, F талаасынын үстүндөгү L бөлүштүрүүчү мыйзамдары менен бирге ички кошуу жана көбөйтүү үчүн бардык кадимки аксиомалары бар шакекченин түзүлүшүнө ээ. Ошондуктан ага шакекчеге караганда көбүрөөк түзүлүш берет. Сызыктуу матрицалык алгебра ошондой эле F талаасынын негизги элементтери болгон скалярларга көбөйтүүнүн тышкы операциясын кабыл алат. Мисалы, V вектордук мейкиндиктен өзүнө F талаасынын үстүнөн бардык каралып жаткан өзгөртүүлөрдүн жыйындысы F үстүндө түзүлөт. Сызыктуунун дагы бир мисалы алгебра бул талаадагы бардык реалдуу квадрат матрицалардын жыйындысы R реалдуу сандар.
