Бир жана бир нече өзгөрмөлүү дифференциалдык эсептөө функциялары

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Акыркы өзгөртүү: 2024-01-02 17:51

Эсептөө – туунду, дифференциалдарды жана алардын функцияны изилдөөдө колдонулушун изилдеген эсептөөнүн бир бөлүмү.

Көрүнүү тарыхы

Дифференциалдык эсептөө 17-кылымдын экинчи жарымында Ньютон менен Лейбництин эмгектеринин аркасында өз алдынча дисциплина катары пайда болгон, алар дифференциалдардын эсептөөсүндөгү негизги жоболорду формулировкалап, интеграция менен дифференциациянын ортосундагы байланышты байкашкан. Ошол учурдан тартып дисциплина интегралдардын эсептөөсү менен бирге өнүгүп, математикалык анализдин негизин түзгөн. Бул эсептөөлөрдүн пайда болушу математика дүйнөсүндө жаңы заманбап мезгилди ачып, илимде жаңы дисциплиналардын пайда болушун шарттады. Ал ошондой эле математика илимин табият таануу жана технологияда колдонуу мүмкүнчүлүгүн кеңейтти.

Негизги түшүнүктөр

Дифференциалдык эсептөө математиканын негизги түшүнүктөрүнө негизделген. Алар: реалдуу сан, үзгүлтүксүздүк, функция жана чек. Убакыттын өтүшү менен алар интегралдык жана дифференциалдык эсептөөлөрдүн аркасында заманбап көрүнүшкө ээ болушту.

Түзүү процесси

Дифференциалдык эсептөөнүн прикладдык, андан кийин илимий методдун калыптанышы философиялык теория пайда болгонго чейин болгон, аны Николай Кузанский түзгөн. Анын эмгектери байыркы илимдин өкүмдөрүнөн эволюциялык өнүгүү катары каралат. Философ өзү математик болбогонуна карабастан, анын математика илиминин өнүгүшүнө кошкон салымы талашсыз. Кузанский биринчилерден болуп арифметиканы илимдин эң так тармагы катары кароодон баш тартып, ошол кездеги математиканы күмөн санаган.

Байыркы математиктер бирдикти универсалдуу критерий катары колдонушкан, ал эми философ так сандын ордуна жаңы өлчөм катары чексиздикти сунуштаган. Буга байланыштуу математика илиминде тактыктын чагылдырылышы тескери. Илимий билим, анын айтымында, рационалдуу жана интеллектуалдык болуп бөлүнөт. Илимпоздун айтымында, экинчиси такыраак, анткени биринчиси болжолдуу гана жыйынтык берет.

Идея

Дифференциалдык эсептөөдөгү негизги идея жана концепция белгилүү чекиттердин кичинекей аймактарындагы функцияга байланыштуу. Бул үчүн белгиленген чекиттердин кичинекей конушундагы жүрүм-туруму көп мүчөнүн же сызыктуу функциянын жүрүм-турумуна жакын болгон функцияны изилдөө үчүн математикалык аппаратты түзүү керек. Бул туунду жана дифференциалдын аныктамасына негизделген.

Туунду түшүнүгүнүн пайда болушуна табият илимдеринин жана математиканын көптөгөн көйгөйлөрү себеп болгон,ошол эле түрдөгү чектердин маанилерин табууга алып келди.

Мисал катары орто мектептен баштап берилген негизги маселелердин бири түз сызык боюнча кыймылдаган чекиттин ылдамдыгын аныктоо жана бул ийри сызыкка тангенс сызыгын салуу. Дифференциал ушуга байланыштуу, анткени функцияны сызыктуу функциянын каралып жаткан чекитинин кичинекей конушунда жакындаштырууга болот.

Чыныгы өзгөрмөлүү функциянын туундусу түшүнүгүнө салыштырмалуу дифференциалдардын аныктамасы жөн гана жалпы мүнөздөгү функцияга, атап айтканда, бир Евклиддик мейкиндиктин экинчисиндеги сүрөтүнө өтөт.

Туунду

Точка Ой огунун багыты боюнча жылсын, биз моменттин белгилүү бир башталышынан баштап эсептелген х ды алган убакыт үчүн. Мындай кыймылды y=f(x) функциясы менен сүрөттөөгө болот, ал жылдырылып жаткан чекиттин координатасынын ар бир х моментине ыйгарылат. Механикада бул функция кыймыл мыйзамы деп аталат. Кыймылдын негизги мүнөздөмөсү, өзгөчө тегиз эмес, көз ирмемдик ылдамдык. Механика мыйзамы боюнча чекит Ой огу боюнча кыймылдаганда, кокустук х моментинде f (x) координатасына ээ болот. Δx убакыттын өсүүсүн билдирген x + Δx моментинде анын координаты f(x + Δx) болот. Мына ушундайча Δy \u003d f (x + Δx) - f (x) формуласы түзүлөт, ал функциянын өсүүсү деп аталат. Ал xтен x + Δx чейин убакыт чекитинин басып өткөн жолун билдирет.

Мунун пайда болушуна байланыштууубакыттын ылдамдыгы, туунду киргизилет. Эрктүү функцияда белгиленген чекиттеги туунду чек деп аталат (ал бар болсо). Аны белгилүү бир белгилер менен белгилесе болот:

f’(x), y’, ý, df/dx, dy/dx, Df(x).

Туундуну эсептөө процесси дифференциация деп аталат.

Бир нече өзгөрмөлүү функциянын дифференциалдык эсеби

Бул эсептөө ыкмасы бир нече өзгөрмөлүү функцияны текшерүүдө колдонулат. Эки өзгөрмөлүү x жана y болгондо, А чекитиндеги хга карата жарым-жартылай туунду бул функциянын туруктуу у менен хга карата туундусу деп аталат.

Төмөнкү символдор менен көрсөтүлүшү мүмкүн:

f’(x)(x, y), u’(x), ∂u/∂x же ∂f(x, y)’/∂x.

Талап кылынган көндүмдөр

Интеграция жана дифференциация көндүмдөрү диффузияларды ийгиликтүү изилдөө жана чече алуу үчүн талап кылынат. Дифференциалдык теңдемелерди түшүнүүнү жеңилдетүү үчүн туунду жана аныкталбаган интеграл темасын жакшы түшүнүү керек. Ошондой эле кыйыр түрдө берилген функциянын туундусун табууга үйрөнүү зыяны жок. Бул интегралдык жана дифференциацияны изилдөө процессинде көп учурда колдонулушу керек болгондугу менен байланыштуу.

Дифференциалдык теңдемелердин түрлөрү

Биринчи даражадагы дифференциалдык теңдемелерге тиешелүү дээрлик бардык тест иштеринде теңдемелердин 3 түрү бар: бир тектүү, бөлүнүүчү өзгөрмөлүү, сызыктуу бир тектүү эмес.

Теңдемелердин дагы сейрек кездешүүчү түрлөрү бар: толук дифференциалдар менен, Бернулли теңдемелери жана башкалар.

Чечимдин негиздери

Биринчиден, мектеп курсунан алгебралык теңдемелерди эстеп чыгышыңыз керек. Алар өзгөрмөлөрдү жана сандарды камтыйт. Кадимки теңдемени чечүү үчүн берилген шартты канааттандырган сандардын жыйындысын табуу керек. Эреже катары, мындай теңдемелердин бир тамыры бар жана тууралыгын текшерүү үчүн бул маанини белгисизге алмаштыруу гана керек болчу.

Дифференциалдык теңдеме ушуга окшош. Жалпысынан мындай биринчи даражадагы теңдеме төмөнкүлөрдү камтыйт:

• Көз карандысыз өзгөрмө.
• Биринчи функциянын туундусу.
• Функция же көз каранды өзгөрмө.

Кээ бир учурларда белгисиздердин бири, х же у жок болушу мүмкүн, бирок бул анчалык деле маанилүү эмес, анткени чечим жана дифференциал үчүн жогорку тартиптеги туундулары жок биринчи туундунун болушу зарыл. эсептөө туура.

Дифференциалдык теңдемени чыгаруу бул туюнтмага дал келген бардык функциялардын жыйындысын табуу дегенди билдирет. Мындай функциялардын жыйындысы көбүнчө DEнин жалпы чечими деп аталат.

Интегралдык эсептөө

Интегралдык эсептөө – математикалык анализдин интеграл түшүнүгүн, касиеттерин жана аны эсептөө ыкмаларын изилдөөчү бөлүмдөрүнүн бири.

Көбүнчө интегралды эсептөө ийри сызыктуу фигуранын аянтын эсептөөдө пайда болот. Бул аймак берилген фигурада жазылган көп бурчтуктун аянты анын капталынын акырындык менен көбөйүүсүнө умтулган чекти билдирет, ал эми бул тараптар мурда көрсөтүлгөн каалагандан азыраак болушу мүмкүн.кичинекей маани.

Эркин геометриялык фигуранын аянтын эсептөөдөгү негизги идея тик бурчтуктун аянтын эсептөө, башкача айтканда, анын аянты узундук менен тууранын көбөйтүндүсүнө барабар экендигин далилдөө. Геометрияга келсек, бардык конструкциялар сызгыч жана циркуль аркылуу жасалат, анан узундук менен тууранын катышы рационалдуу чоңдук болуп саналат. Тик бурчтуктун аянтын эсептөөдө, анын жанына бир эле үч бурчтук койсоңуз, анда тик бурчтук пайда болорун аныктай аласыз. Параллелограммда аянт окшош, бирок бир аз татаалыраак ыкма менен тик бурчтук жана үч бурчтук аркылуу эсептелет. Көп бурчтуктарда аймак андагы үч бурчтуктар аркылуу эсептелет.

Эркин ийри сызыктын сакталышын аныктоодо бул ыкма иштебейт. Эгер сиз аны бир чарчы кылып бөлсөңүз, анда толтурулбаган жерлер болот. Бул учурда, үстү жана асты тик бурчтуктары бар эки капкакты колдонууга аракет кылат, натыйжада алар функциянын графигин камтыйт жана жок. Бул тик бурчтуктарга бөлүү ыкмасы бул жерде маанилүү бойдон калууда. Ошондой эле, барган сайын кичирейген бөлүктөрүн алсак, анда жогору жана ылдый аймактар белгилүү бир мааниде биригиши керек.

Ал тик бурчтуктарга бөлүү ыкмасына кайтуу керек. Эки популярдуу ыкма бар.

Риманн Лейбниц жана Ньютон тарабынан түзүлгөн интегралдын аныктамасын субграфтын аянты катары формалдуу кылган. Бул учурда, вертикалдуу тик бурчтуктардын белгилүү бир санынан турган жана бөлүү жолу менен алынган фигуралар каралат.сегмент. Бөлүү азайган сайын окшош фигуранын аянты кичирейген чек болгондо, бул чек берилген интервалдагы функциянын Риман интегралы деп аталат.

Экинчи ыкма - бул Лебег интегралын куруу, ал аныкталган аянтты интегралдын бөлүктөрүнө бөлүү орду үчүн жана андан кийин бул бөлүктөрдө алынган маанилерден интегралдык сумманы түзүүдөн турат., анын маанилеринин диапазону интервалдарга бөлүнөт, андан кийин бул интегралдардын алдын ала көрсөткүчтөрүнүн тиешелүү өлчөмдөрү менен жыйынтыкталат.

Заманбап артыкчылыктар

Дифференциалдык жана интегралдык эсептөөлөрдү изилдөө боюнча негизги колдонмолордун бири Фихтенгольц тарабынан жазылган - «Дифференциалдык жана интегралдык эсептөөнүн курсу». Анын окуу китеби көптөгөн басылмалардан жана башка тилдерге котормодон өткөн математикалык анализди изилдөө боюнча фундаменталдуу колдонмо болуп саналат. Жогорку окуу жайларынын студенттери үчүн түзүлгөн жана көп окуу жайларында негизги окуу куралдарынын бири катары көптөн бери колдонулуп келет. Теориялык маалыматтарды жана практикалык көндүмдөрдү берет. Биринчи жолу 1948-жылы басылып чыккан.

Функцияны изилдөө алгоритми

Функцияны дифференциалдык эсептөө методдору менен изилдөө үчүн мурунтан эле берилген алгоритмди аткарышыңыз керек:

1. Функциянын аймагын табыңыз.
2. Берилген теңдеменин тамырларын табыңыз.
3. Ашыкча көрсөткүчтөрдү эсептеңиз. Бул үчүн туунду жана ал нөлгө барабар болгон чекиттерди эсептеңиз.
4. Натыйжадагы маанини теңдемеге алмаштырыңыз.

Дифференциалдык теңдемелердин түрлөрү

биринчи тартиптеги башкаруу (антпесе, дифференциалжалгыз өзгөрмөлүү эсептөө) жана алардын түрлөрү:

• Бөлүнүүчү теңдеме: f(y)dy=g(x)dx.
• Төмөнкү формулага ээ болгон эң жөнөкөй теңдемелер же бир өзгөрмөлүү функциянын дифференциалдык эсеби: y'=f(x).
• Сызыктуу бир тектүү эмес биринчи даражадагы DE: y'+P(x)y=Q(x).
• Бернулли дифференциалдык теңдемеси: y'+P(x)y=Q(x)ya.
• Толук дифференциалдары бар теңдеме: P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0.

Экинчи тартиптеги дифференциалдык теңдемелер жана алардын түрлөрү:

• Туруктуу коэффициент маанилери бар сызыктуу экинчи тартиптеги бир тектүү дифференциалдык теңдеме: y +py'+qy=0 p, q Rга таандык.
• Туруктуу коэффициенттери бар сызыктуу бир тектүү эмес экинчи даражадагы дифференциалдык теңдеме: y +py'+qy=f(x).
• Сызыктуу бир тектүү дифференциалдык теңдеме: y +p(x)y'+q(x)y=0, жана бир тектүү эмес экинчи даражадагы теңдеме: y+p(x)y'+q(x)y=f(x).

Жогорку тартиптеги дифференциалдык теңдемелер жана алардын түрлөрү:

• Тартип боюнча кыскартууга мүмкүн болгон дифференциалдык теңдеме: F(x, y^(k), y^(k+1),.., y^(n)=0.
• Сызыктуу жогорку тартиптеги бир тектүү теңдеме: y⁽ⁿ⁾+f_(n-1)y^{(n- 1)}+…+f₁y'+f₀y=0, жана бир тектүү эмес: y⁽ⁿ⁾+f_(n-1)y^(n-1)+…+f_{1 y'+f}0_y=f(x).

Дифференциалдык теңдеме менен маселени чечүүнүн кадамдары

Пульттун жардамы менен математикалык же физикалык суроолор гана эмес, ошондой эле ар кандай маселелер да чечилет.биология, экономика, социология ж.б. Темалардын ар түрдүүлүгүнө карабастан, мындай маселелерди чечүүдө бир логикалык ырааттуулукту сактоо керек:

1. Алыстан башкаруунун жыйнагы. Эң татаал кадамдардын бири, ал максималдуу тактыкты талап кылат, анткени ар кандай ката такыр туура эмес натыйжаларга алып келет. Процесске таасир этуучу бардык факторлорду эсепке алуу жана баштапкы шарттарды аныктоо керек. Ал ошондой эле фактыларга жана логикалык корутундуларга негизделиши керек.
2. Туураланган теңдеменин чечими. Бул процесс биринчи кадамга караганда жөнөкөй, анткени ал катуу математикалык эсептөөлөрдү гана талап кылат.
3. Натыйжаларды талдоо жана баалоо. Алынган чечим натыйжанын практикалык жана теориялык маанисин аныктоо үчүн бааланышы керек.

Медицинада дифференциалдык теңдемелерди колдонуунун мисалы

Медицина тармагында алыстан башкарууну колдонуу эпидемиологиялык математикалык моделди курууда пайда болот. Ошону менен бирге бул тецдемелер медицинага жакын биологияда жана химияда да кездеше тургандыгын эстен чыгарбоо керек, анткени мында ар турдуу биологиялык популяцияларды жана адамдын организминдеги химиялык процесстерди изилдее маанилуу роль ойнойт.

Эпидемиянын жогорудагы мисалында инфекциянын обочолонгон коомдо жайылышын карасак болот. Тургундар үч түргө бөлүнөт:

• Инфекцияланган, саны x(t), ар бири жугуштуу (инкубациялык мезгил кыска) индивиддерден, инфекцияны алып жүрүүчүлөрдөн турат.
• Экинчи түргө киретсезгич адамдар y(t) оорулуу адамдар менен байланышта болуу аркылуу жугушу мүмкүн.
• Үчүнчү түргө иммунитети бар же оорудан улам өлгөн z(t) иммундук индивиддери кирет.

Адамдардын саны туруктуу, төрөлүүнү, табигый өлүмдөрдү жана миграцияны эсепке алуу эсепке алынбайт. Негизги эки гипотеза болот.

Белгилүү бир убакыт чекитиндеги оорунун пайызы x(t)y(t) (оорулардын саны оорулуу жана сезгич өкүлдөрдүн ортосундагы кесилиштердин санына пропорционалдуу деген теориянын негизинде, биринчи жакындоо x(t)y(t) пропорционалдуу болот), ушуга байланыштуу оорулардын саны көбөйөт, ал эми сезимталдардын саны ax(t)y(t) формуласы менен эсептелген темпте азаят. a > 0).

Иммунитет болуп калган же өлгөн иммундук адамдардын саны оорулардын санына пропорционалдуу темпте көбөйүүдө, bx(t) (b > 0).

Натыйжада сиз үч көрсөткүчтү тең эске алуу менен теңдемелердин системасын түзүп, анын негизинде жыйынтык чыгарсаңыз болот.

Экономиканын мисалы

Дифференциалдык эсептөө көбүнчө экономикалык анализде колдонулат. Экономикалык анализдеги негизги маселе экономикадан функция түрүндө жазылган чоңдуктарды изилдөө болуп саналат. Бул салыктар көбөйгөндөн кийин дароо кирешенин өзгөрүшү, алымдардын киргизилиши, өндүрүштүн өздүк наркы өзгөргөндө компаниянын кирешесинин өзгөрүшү, пенсионер жумушчулардын жаңы жабдуулар менен алмаштырылышы мүмкүн деген көйгөйлөрдү чечүүдө колдонулат. Мындай маселелерди чечүү үчүн зарылкиргизилген өзгөрмөлөрдөн туташуу функциясын түзүңүз, алар дифференциалдык эсептөө аркылуу изилденет.

Экономикалык чөйрөдө көбүнчө эң оптималдуу көрсөткүчтөрдү: максималдуу эмгек өндүрүмдүүлүгүн, эң жогорку кирешени, эң аз чыгымдарды жана башкаларды табуу зарыл. Ар бир мындай көрсөткүч бир же бир нече аргументтин функциясы болуп саналат. Мисалы, өндүрүштү эмгек жана капиталдык салымдардын функциясы катары кароого болот. Ушуга байланыштуу, ылайыктуу маанини табуу бир же бир нече өзгөрмөлөрдөн функциянын максимум же минимумун табууга кыскартылышы мүмкүн.

Ушул түрдөгү маселелер экономикалык чөйрөдө экстремалдык маселелердин классын түзөт, аларды чечүү дифференциалдык эсептөөнү талап кылат. Экономикалык көрсөткүчтү башка көрсөткүчтүн функциясы катары минимизациялоо же максимизациялоо керек болгондо, максимум чекитинде функциянын өсүшүнүн аргументтерге болгон катышы нөлгө жакын болот, эгерде аргументтин өсүүсү нөлгө барабар болсо. Болбосо, мындай катыш кандайдыр бир оң же терс мааниге умтулганда, көрсөтүлгөн чекит ылайыктуу эмес, анткени аргументти көбөйтүү же азайтуу менен көз каранды маанини керектүү багытта өзгөртө аласыз. Дифференциалдык эсептөө терминологиясында бул функциянын максимумунун талап кылынган шарты анын туундусунун нөлдүк мааниси экенин билдирет.

Экономикада бир нече өзгөрмөлүү функциянын экстремумун табуу көйгөйлөрү көп кездешет, анткени экономикалык көрсөткүчтөр көптөгөн факторлордон турат. Ушул сыяктуу суроолор жакшы.дифференциалдык эсептөө ыкмаларын колдонуу менен бир нече өзгөрмөлүү функциялардын теориясын изилдеген. Мындай көйгөйлөр бир гана максималдуу жана кичирейтилген функцияларды эмес, ошондой эле чектөөлөрдү камтыйт. Мындай суроолор математикалык программалоого байланыштуу жана алар атайын иштелип чыккан методдордун жардамы менен чечилет, ошондой эле илимдин бул тармагына негизделген.

Экономикада колдонулган дифференциалдык эсептөө методдорунун арасында маанилүү бөлүм маржиналдык анализ болуп саналат. Экономикалык чөйрөдө бул термин, алардын чектик көрсөткүчтөрүн талдоонун негизинде түзүү, керектөө көлөмүн өзгөртүүдө өзгөрүлмө көрсөткүчтөрдү жана натыйжаларды изилдөө методдорунун жыйындысын билдирет. Чектөөчү көрсөткүч - бир нече өзгөрмөлүү туунду же жарым-жартылай туундулар.

Бир нече өзгөрмөлөрдүн дифференциалдык эсеби математикалык анализ тармагындагы маанилүү тема болуп саналат. деталдуу изилдөө үчүн, жогорку окуу үчүн ар кандай окуу китептерин колдоно аласыз. Эң атактууларынын бири Фихтенгольц тарабынан түзүлгөн – «Дифференциалдык жана интегралдык эсептөө курсу». Аты айтып тургандай, интегралдар менен иштөө көндүмдөрү дифференциалдык теңдемелерди чечүү үчүн чоң мааниге ээ. Бир өзгөрмөлүү функциянын дифференциалдык эсептөөсү ишке ашканда, чечим жөнөкөй болуп калат. Бирок, белгилей кетүү керек, ал ошол эле негизги эрежелерге баш ийет. Функцияны практикада дифференциалдык эсептөө менен изилдөө үчүн орто мектепте берилген жана жаңылары киргизилгенде бир аз татаалданган мурунтан эле бар алгоритмди кармануу жетиштүү.өзгөрмөлөр.