Менин оюмча, биз дифференциалдык теңдемелер сыяктуу даңктуу математикалык куралдын тарыхынан башташыбыз керек. Бардык дифференциалдык жана интегралдык эсептөөлөр сыяктуу эле, бул теңдемелерди 17-кылымдын аягында Ньютон ойлоп тапкан. Ал өзүнүн бул ачылышын ушунчалык маанилүү деп эсептегендиктен, атүгүл билдирүүнү шифрлеп койгон, аны бүгүн мындайча которууга болот: «Табияттын бардык мыйзамдары дифференциалдык теңдемелер менен сүрөттөлөт». Бул аша чапкандыктай сезилиши мүмкүн, бирок бул чындык. Бул теңдемелер менен физиканын, химиянын, биологиянын каалаган мыйзамын сүрөттөөгө болот.
Математиктер Эйлер менен Лагранж дифференциалдык теңдеме теориясын өнүктүрүүгө жана түзүүгө эбегейсиз салым кошушкан. 18-кылымда алар азыр университеттердин жогорку курстарында окуп жаткандарын ачып, иштеп чыгышкан.
Анри Пуанкаренин аркасында дифференциалдык теңдемелерди изилдөөдө жаңы этап башталды. Ал «дифференциалдык теңдемелердин сапаттык теориясын» түзгөн, ал комплекстүү өзгөрмөлүү функциялар теориясы менен айкалышып, топологиянын – космос жана анын илиминин негизин түзүүгө чоң салым кошкон.касиеттери.
Дифференциалдык теңдеме деген эмне?
Көп адамдар "дифференциалдык теңдеме" деген бир сөз айкашынан коркушат. Бирок, бул макалада биз бул абдан пайдалуу математикалык аппараттын бүт маңызын майда-чүйдөсүнө чейин майда-чүйдөсүнө чейин айтып беребиз, бул чындыгында атынан көрүнгөндөй татаал эмес. Биринчи даражадагы дифференциалдык теңдемелер жөнүндө сөз баштоо үчүн, адегенде бул аныктамага мүнөздүү болгон негизги түшүнүктөр менен таанышуу керек. Жана дифференциалдан баштайбыз.
Дифференциал
Бул түшүнүктү көптөр мектептен билишет. Бирок, келгиле, аны жакшыраак карап көрөлү. Функциянын графигин элестетиңиз. Биз анын кайсы бир сегменти түз сызык формасын ала тургандай даражада көбөйтө алабыз. Анын үстүнө биз бири-бирине чексиз жакын эки чекит алабыз. Алардын координаттарынын (х же у) ортосундагы айырма чексиз кичине мааниге ээ болот. Ал дифференциал деп аталат жана dy (y-дан дифференциал) жана dx (х-дан дифференциал) белгилери менен белгиленет. Дифференциал чектүү маани эмес экенин түшүнүү абдан маанилүү жана бул анын мааниси жана негизги функциясы.
Ал эми эми дифференциалдык теңдеме түшүнүгүн түшүндүрүүдө бизге пайдалуу боло турган кийинки элементти карап чыгышыбыз керек. Бул туунду.
Туунду
Бул түшүнүктү баарыбыз мектепте укканбыз. Туунду функциянын өсүү же азаюу ылдамдыгы деп айтылат. Бирок, бул аныктамаданкөп нерсе түшүнүксүз болуп калат. Келгиле, туундуну дифференциалдар менен түшүндүрүүгө аракет кылалы. Бири-биринен минималдуу аралыкта жайгашкан эки чекити бар функциянын чексиз кичине сегментине кайтып баралы. Бирок бул аралыкта да функция кандайдыр бир суммага өзгөрө алат. Жана бул өзгөрүүнү сүрөттөө үчүн алар туунду ойлоп табышты, аны башкача түрдө дифференциалдардын катышы катары жазууга болот: f(x)'=df/dx.
Азыр туундунун негизги касиеттерин карап чыгуу зарыл. Алардын үчөө гана бар:
- Суманын же айырманын туундусу туундулардын суммасы же айырмасы катары көрсөтүлүшү мүмкүн: (a+b)'=a'+b' жана (a-b)'=a'-b'.
- Экинчи касиет көбөйтүүгө байланыштуу. Туундунун туундусу – бул бир функциянын жана экинчисинин туундусунун суммасы: (ab)'=a'b+ab'.
- Айырманын туундусун төмөнкү теңчилик катары жазууга болот: (a/b)'=(a'b-ab')/b2.
Бул касиеттердин баары биринчи даражадагы дифференциалдык теңдемелердин чечимдерин табуу үчүн пайдалуу болот.
Жарым-жартылай туундулар да бар. Бизде x жана y өзгөрмөлөрүнө көз каранды z функциясы бар дейли. Бул функциянын жарым-жартылай туундусун эсептөө үчүн, айталы, х боюнча, y өзгөрмөсүн туруктуу деп алып, жөн гана дифференциялоо керек.
Интеграл
Дагы бир маанилүү түшүнүк – интегралдык. Чынында, бул туундуга түздөн-түз карама-каршы келет. Интегралдын бир нече түрү бар, бирок эң жөнөкөй дифференциалдык теңдемелерди чечүү үчүн бизге эң тривиалдуу аныкталбаган интегралдар керек.
Анда интеграл деген эмне? Бизде кандайдыр бир көз карандылык бар дейлиx тартып. Андан интегралды алып, F (х) функциясын алабыз (көбүнчө антитуунду деп аталат), анын туундусу баштапкы функцияга барабар. Ошентип, F(x)'=f(x). Мындан туундунун интегралы баштапкы функцияга барабар экени да келип чыгат.
Дифференциалдык теңдемелерди чечүүдө интегралдын маанисин жана функциясын түшүнүү абдан маанилүү, анткени чечимди табуу үчүн аларды көп кабыл алууга туура келет.
Теңдемелер табиятына жараша ар кандай болот. Кийинки бөлүмдө биз биринчи даражадагы дифференциалдык теңдемелердин түрлөрүн карап чыгабыз, анан аларды кантип чыгарууну үйрөнөбүз.
Дифференциалдык теңдемелердин класстары
"Диффури" аларга тартылган туундулардын тартибине жараша бөлүнөт. Ошентип, биринчи, экинчи, үчүнчү жана андан көп тартип бар. Аларды бир нече класстарга бөлүүгө болот: кадимки жана жарым-жартылай туундулар.
Бул макалада биз биринчи тартиптеги кадимки дифференциалдык теңдемелерди карайбыз. Биз ошондой эле мисалдарды жана аларды чечүү жолдорун кийинки бөлүмдөрдө талкуулайбыз. Биз бир гана ODEлерди карап чыгабыз, анткени бул теңдемелердин эң кеңири таралган түрлөрү. Жөнөкөй түрчөлөргө бөлүнөт: бөлүнүүчү өзгөрмөлүү, бир тектүү жана гетерогендүү. Андан кийин, алардын бири-биринен кандайча айырмаланарын жана аларды кантип чечүүнү үйрөнөсүз.
Мындан тышкары, бул теңдемелерди бириктирүүгө болот, ошондон кийин биз биринчи тартиптеги дифференциалдык теңдемелердин системасын алабыз. Биз ошондой системаларды карап чыгып, аларды кантип чечүү керектигин үйрөнөбүз.
Эмне үчүн биз биринчи иретти гана карап жатабыз? Анткени сиз жөнөкөйдөн баштап, дифференциалга тиешелүү нерселердин баарын сүрөттөп беришиңиз керекбир макалада теңдемелер жөн эле мүмкүн эмес.
Бөлүнүүчү өзгөрмө теңдемелер
Бул, балким, эң жөнөкөй биринчи даражадагы дифференциалдык теңдемелер. Булар төмөнкүдөй жазыла турган мисалдарды камтыйт: y'=f(x)f(y). Бул теңдемени чечүү үчүн туундуну дифференциалдардын катышы катары көрсөтүү формуласы керек: y'=dy/dx. Аны колдонуу менен төмөнкү теңдемени алабыз: dy/dx=f(x)f(y). Эми биз стандарттуу мисалдарды чечүү ыкмасына кайрылсак болот: биз өзгөрмөлөрдү бөлүктөргө бөлөбүз, б.а. у өзгөрмөлүү бардыгын dy жайгашкан бөлүккө өткөрөбүз жана х өзгөрмөсүн да ушундай кылабыз. dy/f(y)=f(x)dx түрүндөгү теңдемени алабыз, ал эки бөлүктүн тең интегралдарын алуу менен чечилет. Интегралды алгандан кийин коюлушу керек болгон константа жөнүндө унутпаңыз.
Кандайдыр бир «диффуранциянын» чечими хтын уга көз карандылыгынын функциясы (биздин учурда) же сандык шарт бар болсо, анда жооп сан түрүндө болот. Келгиле, конкреттүү бир мисалды колдонуу менен чечимдин бүт жолун талдап көрөлү:
y'=2ysin(x)
Өзгөрмөлөрдү ар кандай багыттарга жылдыруу:
dy/y=2sin(x)dx
Эми интегралдарды алабыз. Алардын баарын интегралдардын атайын таблицасында тапса болот. Жана биз алабыз:
ln(y)=-2cos(x) + C
Эгер керек болсо, "y" ды "x" функциясы катары туюнта алабыз. Эми эч кандай шарт берилбесе, дифференциалдык теңдемебиз чечилет деп айта алабыз. Шарт берилиши мүмкүн, мисалы, y(n/2)=e. Андан кийин биз жөн гана бул өзгөрмөлөрдүн маанисин чечимге алмаштырабыз жанатуруктуу чоңдуктун маанисин табыңыз. Биздин мисалда ал 1ге барабар.
Биринчи даражадагы бир тектүү дифференциалдык теңдемелер
Эми татаалыраак бөлүгүнө өтүңүз. Биринчи даражадагы бир тектүү дифференциалдык теңдемелерди жалпы түрдө төмөнкүчө жазууга болот: y'=z(x, y). Белгилей кетсек, эки өзгөрмөнүн туура функциясы бир тектүү жана аны эки көз карандылыкка бөлүүгө болбойт: х боюнча z жана у боюнча z. Теңдеменин бир тектүү же бир тектүү эмес экенин текшерүү өтө жөнөкөй: биз x=kx жана y=ky алмаштырууну жасайбыз. Азыр биз бардык к. Бул тамгалардын баары кыскартылган болсо, анда теңдеме бир тектүү болуп саналат жана сиз аман-эсен аны чечүү үчүн уланта аласыз. Алдыга карап, айталы: бул мисалдарды чечүү принциби да абдан жөнөкөй.
Алмаштыруу керек: y=t(x)x, мында t – хке да көз каранды болгон кандайдыр бир функция. Анда биз туундуну туюндуруп алабыз: y'=t'(x)x+t. Булардын бардыгын баштапкы теңдемебизге алмаштырып, аны жөнөкөйлөштүрүү менен биз t жана х бөлүнүүчү өзгөрмөлөрү бар мисалды алабыз. Аны чечип, t(x) көз карандылыгын алабыз. Биз аны алгандан кийин, биз жөн гана y=t (x)x мурунку алмаштырууга алмаштырабыз. Ошондо у-нун х-дан көз карандылыгын алабыз.
Түшүнүктүү болушу үчүн, келгиле, бир мисалды карап көрөлү: xy'=y-xey/x.
Алмаштыруу менен текшергенде баары азаят. Ошентип, теңдеме чындап эле бир тектүү. Эми биз сөз кылган дагы бир алмаштырууну жасайбыз: y=t(x)x жана y'=t'(x)x+t(x). Жөнөкөйлөтүлгөндөн кийин төмөнкү теңдемени алабыз: t'(x)x=-et. Натыйжадагы мисалды бөлүнгөн өзгөрмөлөр менен чечип, төмөнкүнү алабыз: e-t=ln(Cx). Бизге t ды у/х менен алмаштыруу гана керек (анткени, эгерде y=tx болсо, анда t=y/x) жана биз алабызжооп: e-y/x=ln(xC).
Биринчи тартиптеги сызыктуу дифференциалдык теңдемелер
Дагы бир чоң темага убакыт келди. Биринчи тартиптеги бир тектүү эмес дифференциалдык теңдемелерди талдайбыз. Алар мурунку экөөнөн эмнеси менен айырмаланат? Келгиле, аны аныктап көрөлү. Жалпы формадагы биринчи даражадагы сызыктуу дифференциалдык теңдемелерди төмөнкүчө жазууга болот: y' + g(x)y=z(x). z(x) жана g(x) туруктуу болушу мүмкүн экенин тактоо керек.
Ал эми азыр мисал: y' - yx=x2.
Аны чечүүнүн эки жолу бар жана экөөнү тең ирети менен чечебиз. Биринчиси – ыктыярдуу константаларды өзгөртүү ыкмасы.
Теңдемени ушундай жол менен чечүү үчүн, адегенде оң жагын нөлгө теңеп, натыйжада теңдемени чечүү керек, ал бөлүктөрдү жылдыргандан кийин төмөнкү форманы алат:
y'=yx;
dy/dx=yx;
dy/y=xdx;
ln|y|=x2/2 + C;
y=ex2/2yC=C1ex2/2.
Эми C1 дегенди биз табышыбыз керек болгон v(x) функциясы менен алмаштырышыбыз керек.
y=vex2/2.
Туундуну өзгөртөлү:
y'=v'ex2/2-xvex2/2.
Жана бул туюнтмаларды баштапкы теңдемеге алмаштырыңыз:
v'ex2/2 - xvex2/2 + xvex2 /2 =x2.
Сиз сол тараптан эки мөөнөт жокко чыгарылганын көрө аласыз. Эгер кандайдыр бир мисалда бул ишке ашпаса, анда сиз туура эмес кылдыңыз. Улантуу:
v'ex2/2 =x2.
Эми биз өзгөрмөлөрдү бөлүү керек болгон кадимки теңдемени чечебиз:
dv/dx=x2/ex2/2;
dv=x2e-x2/2dx.
Интегралды алуу үчүн, бул жерде бөлүкчөлөр боюнча интеграцияны колдонушубуз керек. Бирок, бул биздин макаланын темасы эмес. Эгер кызыксаңыз, мындай аракеттерди кантип жасоону өзүңүз үйрөнсөңүз болот. Бул кыйын эмес жана жетиштүү чеберчилик жана көңүл буруу көп убакытты талап кылбайт.
Бир тектүү эмес теңдемелерди чечүүнүн экинчи ыкмасына: Бернулли ыкмасына кайрылалы. Кайсы ыкма тезирээк жана оңой - сизден көз каранды.
Ошентип, теңдемени бул ыкма менен чечүүдө биз алмаштырууну жасашыбыз керек: y=kn. Бул жерде k жана n кээ бир х-көз каранды функциялар. Ошондо туунду мындай болот: y'=k'n+kn'. Теңдемеге эки алмаштырууну тең алмаштырыңыз:
k'n+kn'+xkn=x2.
Топ:
k'n+k(n'+xn)=x2.
Эми кашаадагыларды нөлгө теңешибиз керек. Эми, эки натыйжадагы теңдемени бириктирсеңиз, сиз чечишиңиз керек болгон биринчи даражадагы дифференциалдык теңдемелердин системасын аласыз:
n'+xn=0;
k'n=x2.
Биринчи теңдик кадимки теңдеме сыяктуу чечилет. Бул үчүн, сиз өзгөрмөлөрдү бөлүп алышыңыз керек:
dn/dx=xv;
dn/n=xdx.
Интегралды алып, төмөнкүнү алыңыз: ln(n)=x2/2. Анда, эгерде биз n:
n=ex2/2.
Эми алынган теңдикти системанын экинчи теңдемесине алмаштырабыз:
k'ex2/2=x2.
Ал эми трансформациялоодо биз биринчи ыкмадагыдай теңдикти алабыз:
dk=x2/ex2/2.
Мындан ары дагы кадамдарга барбайбыз. Биринчи даражадагы дифференциалдык теңдемелерди чечүү адегенде олуттуу кыйынчылыктарды туудурат. Бирок, темага тереңирээк сүңгүп кирген сайын, ал жакшыра баштайт.
Дифференциалдык теңдемелер кайда колдонулат?
Дифференциалдык теңдемелер физикада абдан активдүү колдонулат, анткени дээрлик бардык негизги мыйзамдар дифференциалдык формада жазылган жана биз көргөн формулалар бул теңдемелердин чечими. Химияда алар бир эле себеп менен колдонулат: негизги мыйзамдар алардан келип чыгат. Биологияда дифференциалдык теңдеме системалардын жүрүм-турумун моделдөө үчүн колдонулат, мисалы, жырткыч-жырткыч. Алар, мисалы, микроорганизмдердин колониясынын көбөйүү моделдерин түзүү үчүн да колдонулушу мүмкүн.
Дифференциалдык теңдеме жашоодо кандай жардам берет?
Бул суроонун жообу жөнөкөй: болбойт. Эгер сиз илимпоз же инженер болбосоңуз, анда алар сизге пайдалуу болушу күмөн. Бирок, жалпы өнүгүү үчүн дифференциалдык теңдеме деген эмне экенин жана анын кантип чечилерин билүү зыяны жок. Анан уул-кызынын суроосу “дифференциалдык теңдеме деген эмне?” сени чаташтырбайт. Ооба, эгер сиз илимпоз же инженер болсоңуз, анда бул теманын ар кандай илимде маанисин түшүнөсүз. Бирок эң негизгиси азыр «биринчи даражадагы дифференциалдык теңдемени кантип чечсе болот?» деген суроо туулат. сиз ар дайым жооп бере аласыз. Макул, бул ар дайым жакшыадамдар түшүнүүдөн корккон нерсени түшүнгөндө.
Негизги окуу көйгөйлөрү
Бул теманы түшүнүүдөгү негизги көйгөй - функцияларды интеграциялоо жана дифференциялоо жөндөмүнүн начардыгы. Эгерде сиз туундуларды жана интегралдарды кабыл алууда начар болсоңуз, анда, балким, көбүрөөк үйрөнүп, интеграциянын жана дифференциациянын ар кандай ыкмаларын өздөштүрүп, андан кийин гана макалада сүрөттөлгөн материалды үйрөнүп башташыңыз керек.
Кээ бир адамдар dxти которууга болорун билгенде таң калышат, анткени мурда (мектепте) dy/dx бөлчөк бөлүнбөйт деп айтылган. Бул жерде сиз туунду боюнча адабияттарды окуп чыгып, бул теңдемелерди чечүүдө манипуляциялоого боло турган чексиз кичине чоңдуктардын катышы экенин түшүнүшүңүз керек.
Көпчүлүк биринчи даражадагы дифференциалдык теңдемелердин чечими көп учурда алынбай турган функция же интеграл экенин дароо түшүнүшпөйт жана бул адашуу аларга көп кыйынчылыктарды жаратат.
Жакшыраак түшүнүү үчүн дагы эмнени изилдесе болот?
Дифференциалдык эсептөө дүйнөсүнө андан ары чөмүлүүнү адистештирилген окуу китептери менен баштоо эң жакшы, мисалы, математикалык эмес адистиктердин студенттери үчүн эсептөө. Андан кийин адистештирилген адабияттарга өтсөңүз болот.
Айтыш керек, дифференциалдык теңдемелерден тышкары интегралдык теңдемелер да бар, андыктан сизде дайыма умтула турган жана изилдей турган нерсе болот.
Тыянак
Окугандан кийин деп үмүттөнөбүзБул макала сизге дифференциалдык теңдеме деген эмне жана аларды кантип туура чечүү керектиги жөнүндө түшүнүк берди.
Кандай болгон күндө да математика бизге жашоодо кандайдыр бир деңгээлде пайдалуу болот. Ал логиканы жана көңүл бурууну өнүктүрөт, ансыз ар бир адам колу жоктой болот.
