Математика илиминде көп учурда бир катар кыйынчылыктар жана суроолор болот жана жооптордун көбү дайыма эле так боло бербейт. Комплекттердин кардиналдуулугу сыяктуу тема да өзгөчө болгон. Чынында, бул объектилердин санынын сандык туюнтмасынан башка эч нерсе эмес. Жалпысынан алганда, бул аксиома, анын эч кандай аныктамасы жок. Ал ар кандай объекттерге, тагыраак айтканда, бош, чектүү же чексиз болушу мүмкүн болгон алардын жыйындысына негизделген. Андан тышкары, ал бүтүн сандарды же натурал сандарды, матрицаларды, ырааттуулуктарды, сегменттерди жана сызыктарды камтыйт.
Учурдагы өзгөрмөлөр жөнүндө
Ички мааниси жок нөл же бош топтом негизги элемент болуп эсептелет, анткени ал ички топтом. Бош эмес S көптүгүнүн бардык кичи көптүктөрүнүн жыйындысы көптүктөр жыйындысы болуп саналат. Ошентип, берилген топтомдун күч жыйындысы көп, ойго келүүчү, бирок жалгыз деп эсептелет. Бул көптүк S даражаларынын жыйындысы деп аталат жана P (S) менен белгиленет. Эгерде S N элементти камтыса, анда P(S) 2^n ички топтомун камтыйт, анткени P(S) жыйындысы же ∅ же S, r=1, 2, 3, … Чексиз бардык элементтерден турат. M топтому кубаттуулук чоңдугу деп аталат жана символикалык түрдө P (M) менен белгиленет.
Көптүк теориясынын элементтери
Бул билим тармагын Джордж Кантор (1845-1918) иштеп чыккан. Бүгүнкү күндө ал математиканын дээрлик бардык тармактарында колдонулат жана анын негизги бөлүгү катары кызмат кылат. Көптүктөр теориясында элементтер тизмек түрүндө көрсөтүлүп, типтери (бош көптүк, синглиондук, чектүү жана чексиз көптүктөр, барабар жана эквиваленттүү, универсалдуу), биригүү, кесилиши, айырмасы жана сандарды кошуусу боюнча берилет. Күнүмдүк жашоодо биз көп учурда ачкычтардын тобу, канаттуулардын үйүрү, карттардын пакети ж.б.
Төмөнкү топтомдор каралышы мүмкүн:
- натурал сандар;
- алфавиттин тамгалары;
- негизги коэффициенттер;
- ар башка жактары бар үч бурчтуктар.
Бул көрсөтүлгөн мисалдар объекттердин жакшы аныкталган топтомдору экенин көрүүгө болот. Дагы бир нече мисалды карап көрүңүз:
- дүйнөдөгү эң атактуу беш окумуштуу;
- коомдогу жети сулуу кыз;
- үч мыкты хирург.
Бул негизги мисалдар объекттердин так аныкталган жыйнактары эмес, анткени "эң атактуу", "эң сулуу", "мыкты" критерийлери ар бир адамга өзгөрүп турат.
Топтоо
Бул маани ар кандай объекттердин так аныкталган саны. Болсо:
- сөздөр жыйындысы синоним, агрегат, класс жана элементтерди камтыйт;
- объекттер, мүчөлөр бирдей шарттар;
- топтомдор адатта A, B, C баш тамгалары менен белгиленет;
- топтун элементтери кичинекей a, b, c тамгалары менен берилген.
Эгер "а" А көптүгүнүн элементи болсо, анда "а" Ага таандык деп айтылат. "Тиешелүү" деген сөз айкашын гректин "∈" (эпсилон) белгиси менен белгилейли. Ошентип, a ∈ A экени белгилүү болду. Эгерде 'b' А элементине кирбеген элемент болсо, анда бул b ∉ A түрүндө көрсөтүлөт. 5-класстын математикасында колдонулган кээ бир маанилүү көптүктөр төмөнкү үч ыкма менен көрсөтүлөт:
- тиркемелер;
- реестрлер же таблица;
- формация түзүү эрежеси.
Жакыныраак текшерүүдө анкета төмөндөгүлөргө негизделген. Мында топтомдун элементтеринин так сүрөттөлүшү берилет. Алардын баары тармал кашаа менен камтылган. Мисалы:
- 7ден кичине так сандардын жыйындысы - {7ден аз} катары жазылган;
- 30дан чоң жана 55тен аз сандардын жыйындысы;
- класстагы окуучулардын саны мугалимдикинен көп.
Регистр (таблица) формасында топтомдун элементтери {} кашаанын ичинде келтирилип, үтүр менен бөлүнгөн. Мисалы:
- Биринчи беш натурал сандын жыйындысын N белгилейли. Ошондуктан, N=→ каттоо формасы
- Англис алфавитинин бардык үндүү тыбыштарынын жыйындысы. Демек, V={a, e, i, o, u, y} → каттоо формасы
- Бардык так сандардын жыйындысы 9дан кичине. Демек, X={1, 3, 5, 7} → формареестр
- "Математика" сөзүндөгү бардык тамгалардын жыйындысы. Демек, Z={M, A, T, H, E, I, C, S} → Реестр формасы
- W – жылдын акыркы төрт айынын жыйындысы. Ошондуктан, W={Сентябрь, Октябрь, Ноябрь, Декабрь} → реестр.
Элементтердин тизмеленген тартиби маанилүү эмес, бирок алар кайталанбашы керек. Конструкциянын белгиленген формасы, берилген учурда эреже, формула же оператор көптүк туура аныкталышы үчүн кашаанын ичине жазылат. Каралып жаткан мааниге мүчө болуу үчүн орнотуучу формасында бардык элементтер бирдей касиетке ээ болушу керек.
Жыйнакты көрсөтүүнүн бул формасында топтомдун элементи "x" символу же башка өзгөрмө жана андан кийин кош чекит менен сүрөттөлөт (":" же "|" көрсөтүү үчүн колдонулат). Мисалы, P 12ден чоң саналуучу сандардын жыйындысы болсун. P көптүктү куруучу формада - {эсептелүүчү сан жана 12ден чоңу} деп жазылат. Ал белгилүү бир жол менен окуйт. Башкача айтканда, "P - бул х эсептелүүчү жана 12ден чоңураак болгон x элементтердин жыйындысы."
Үч топтом көрсөтүү ыкмасын колдонуу менен чечилген мисал: -2 менен 3 ортосундагы бүтүн сандардын саны. Төмөндө ар кандай топтомдордун мисалдары келтирилген:
- Эч кандай элементти камтыбаган жана ∅ символу менен белгиленген жана phi катары окулуучу бош же нөл топтом. Тизме түрүндө ∅ {} деп жазылат. Элементтердин саны 0 болгондуктан, чектүү топтом бош. Мисалы, бүтүн сандардын жыйындысы 0дөн аз.
- Албетте <0 болбошу керек. Демек, булбош топтом.
- Бир гана өзгөрмөнү камтыган топтом синглтондук көптүк деп аталат. Жөнөкөй да, татаал да эмес.
Чектүү топтом
Белгилүү бир сандагы элементтерди камтыган көптүк чектүү же чексиз көптүк деп аталат. Бош биринчисин билдирет. Мисалы, асан-үсөндөгү бардык түстөрдүн жыйындысы.
Чексиздик - бул топтом. Андагы элементтерди санап чыгуу мүмкүн эмес. Башкача айтканда, окшош өзгөрмөлөрдү камтыган чексиз көптүк деп аталат. Мисалдар:
- тегиздиктеги бардык чекиттердин жыйындысынын күчү;
- бардык жөнөкөй сандар топтому.
Бирок, сиз комплекстин биримдигинин бардык кардиналдыктарын тизме түрүндө көрсөтүү мүмкүн эмес экенин түшүнүү керек. Мисалы, чыныгы сандар, анткени алардын элементтери кандайдыр бир үлгүгө дал келбейт.
Жыйынтыктын негизги саны – бул А өлчөмүндөгү ар кандай элементтердин саны. Ал n (A) менен белгиленет.
Мисалы:
- A {x: x ∈ N, x <5}. A={1, 2, 3, 4}. Демек, n (A)=4.
- B=АЛГЕБРА сөзүндөгү тамгалардын жыйындысы.
Жыйнакты салыштыруу үчүн эквиваленттүү топтомдор
А жана В топтомдорунун эки кардиналдуулугу, эгерде алардын негизги саны бирдей болсо, ушундай болот. Эквиваленттүү топтомдун символу "↔". Мисалы: A ↔ B.
Бирдей топтомдор: А жана В топтомдорунун эки кардиналдуулугу, эгерде алар бирдей элементтерди камтыса. Адан келген ар бир коэффициент Вдан өзгөрмө, ал эми В ар бири Анын белгиленген мааниси. Ошондуктан, A=B. Кардинал союздарынын ар кандай түрлөрү жана алардын аныктамалары келтирилген мисалдардын жардамы менен түшүндүрүлөт.
Чектүүлүктүн жана чексиздиктин маңызы
Чектүү көптүк менен чексиз көптүктүн кардиналдуулугунун ортосунда кандай айырмачылыктар бар?
Биринчи маани бош болсо же элементтердин чектүү санына ээ болсо, анын төмөнкү аталышы болот. Чектүү топтомдо өзгөрмө, эгерде анын чектелген саны болсо, көрсөтүлүшү мүмкүн. Мисалы, 1, 2, 3 натурал санын колдонуу. Жана листинг процесси N менен аяктайт. Чектүү S топтомунда саналган ар кандай элементтердин саны n (S) менен белгиленет. Ал ошондой эле тартип же кардинал деп аталат. Стандарттык принцип боюнча символдук түрдө белгиленет. Ошентип, S топтому орус алфавити болсо, анда ал 33 элементти камтыйт. Элемент топтомдо бир нече жолу кездешпей турганын да эстен чыгарбоо керек.
Чексиз топтомдо
Элементтерди санап чыгуу мүмкүн болбосо, топтом чексиз деп аталат. Эгерде анын ар кандай n үчүн 1, 2, 3, 4 чектелбеген (башкача айтканда, саналгыс) натурал саны болсо. Чектүү эмес көптүк чексиз деп аталат. Биз азыр каралып жаткан сандык баалуулуктардын мисалдарын талкуулай алабыз. Аяккы маани параметрлери:
- Q={25тен аз натурал сандар} болсун. Анда Q чектүү көптүк жана n (P)=24.
- R={5 менен 45тин ортосундагы бүтүн сандар} болсун. Анда R чектүү көптүк жана n (R)=38.
- S={сандар модулу 9} болсун. Анда S={-9, 9} - чектүү көптүк жана n (S)=2.
- Бардык адамдардын топтому.
- Бардык канаттуулардын саны.
Чексиз мисалдар:
- учактагы бар пункттардын саны;
- сызык сегментиндеги бардык чекиттердин саны;
- 3кө бөлүнүүчү оң бүтүн сандар жыйындысы чексиз;
- бардык бүтүн жана натурал сандар.
Ошентип, жогорудагы ой жүгүртүүдөн чектүү жана чексиз көптүктөрдү кантип айырмалоо керектиги айкын көрүнүп турат.
Континуум топтомунун күчү
Эгер биз топтомду жана башка бар болгон маанилерди салыштырсак, анда топтомго кошумча тиркелет. Эгерде ξ универсалдуу болсо, ал эми А ξнын кичи жыйындысы болсо, анда А толуктоочусу ξнын А элементтери болбогон бардык элементтеринин саны болуп саналат. Символикалык түрдө ξ га карата А толуктоосу А' болот. Мисалы, 2, 4, 5, 6 ξтин Aга таандык эмес жалгыз элементтери. Демек, A'={2, 4, 5, 6}
Кардиналдуулук континууму бар топтомдо төмөнкү өзгөчөлүктөр бар:
- универсалдуу чоңдуктун толуктоочусу – каралып жаткан бош маани;
- бул нөл топтом өзгөрмө универсалдуу;
- суммасы жана анын толуктоосу бири-биринен айырмаланат.
Мисалы:
- Натурал сандардын саны универсалдуу, А жуп болсун. Анда A '{x: x бирдей цифралуу так көптүк}.
- ξ=алфавиттеги тамгалардын жыйындысы болсун. A=үнсүздөрдүн жыйындысы. Анда A '=үндүү тыбыштардын саны.
- Универсалдуу топтомдун толуктоочусу бош сан. ξ менен белгилесе болот. Анда ξ '=ξга кирбеген элементтердин жыйындысы. φ бош көптүгү жазылат жана белгиленет. Ошондуктан ξ=φ. Ошентип, универсалдуу топтомдун толуктоосу бош.
Математикада "континуум" кээде чыныгы сызыкты көрсөтүү үчүн колдонулат. Жана жалпысынан окшош объектилерди сүрөттөө үчүн:
- континуум (топтом теориясында) - чыныгы сызык же тиешелүү кардинал саны;
- сызыктуу - чыныгы сызыктын белгилүү бир касиеттерин бөлгөн ар кандай иреттелген топтом;
- континуум (топологияда) - бош эмес компакттуу туташтырылган метрикалык мейкиндик (кээде Hausdorff);
- чексиз көптүктөр бүтүн сандардан чоң, бирок реалдуу сандардан кичине эмес деген гипотеза;
- континуумдун күчү чыныгы сандар топтомунун өлчөмүн билдирген негизги сан.
Негизинен, эч кандай кескин өзгөрүүсүз бир абалдан экинчи абалга акырындык менен өтүүнү түшүндүргөн континуум (өлчөө), теориялар же моделдер.
Бириккен жана кесилишкен көйгөйлөр
Эки же андан көп топтомдордун кесилиши бул маанилерде жалпы болгон бардык элементтерди камтыган сан экени белгилүү. Көптүктөрдөгү сөз тапшырмалары топтомдордун биригүү жана кесилиш касиеттерин кантип колдонуу керектиги жөнүндө негизги түшүнүктөрдү алуу үчүн чечилет. боюнча сөздөрдүн негизги маселелерин чечтитоптомдор мындай көрүнөт:
А жана В эки чектүү көптүк болсун. Алар n (A)=20, n (B)=28 жана n (A ∪ B)=36, n (A ∩ B) тапкыла
Венн диаграммасын колдонуу менен топтомдордогу байланыш:
- Эки топтомдун биригүүсү A ∪ Bти чагылдырган көлөкөлүү аймак менен көрсөтүлүшү мүмкүн. A жана B ажырагыс көптүктөр болгондо A ∪ B.
- Эки топтомдун кесилишин Венн диаграммасы менен көрсөтсө болот. А ∩ B билдирет.
- Эки топтомдун ортосундагы айырманы Венн диаграммасы менен көрсөтсө болот. А - B символун чагылдырган көлөкөсү бар.
- Венн диаграммасы аркылуу үч топтомдун ортосундагы байланыш. Эгерде ξ универсалдуу чоңдукту көрсөтсө, анда A, B, C үч чакан көптүк. Бул жерде үч топтом тең бири-бирине дал келет.
Жыйнтык маалыматы
Топтун кардиналдуулугу топтомдогу айрым элементтердин жалпы саны катары аныкталат. Жана акыркы көрсөтүлгөн маани бардык бөлүмдөрдүн саны катары сүрөттөлөт. Мындай маселелерди изилдөөдө методдор, ыкмалар жана чечимдер талап кылынат. Ошентип, топтомдун кардиналдуулугу үчүн төмөнкү мисалдар кызмат кыла алат:
А={0, 1, 2, 3}| болсун |=4, мында | А | A топтомунун кардиналдуулугун билдирет.
Эми кубат топтомуңузду таба аласыз. Бул да абдан жөнөкөй. Жогоруда айтылгандай, күч топтому берилген сандын бардык бөлүмдөрүнөн орнотулган. Ошентип, негизи A бардык өзгөрмөлөрдү, элементтерди жана башка маанилерди аныктоо керек,алар {}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, {1, 2}, {1, 3}, { 2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, {0, 1, 2, 3}.
Эми кубаттуулуктун көрсөткүчү P={{}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, { 1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, { 0, 1, 2, 3}} 16 элементтен турат. Ошентип, көптүктү А=16 кардиналдуулугу. Албетте, бул маселени чечүү үчүн тажатма жана түйшүктүү ыкма. Бирок, жөнөкөй формула бар, анын жардамы менен сиз түздөн-түз берилген сандын кубаттуулук топтомундагы элементтердин санын биле аласыз. | P |=2 ^ N, мында N - кээ бир А элементтеринин саны. Бул формуланы жөнөкөй комбинаториканын жардамы менен алууга болот. Демек, суроо 2^11, анткени А топтомундагы элементтердин саны 11.
Демек, көптүк – бул ар кандай мүмкүн болгон объект болушу мүмкүн болгон ар кандай сандык түрдө туюнтулган чоңдук. Мисалы, машиналар, адамдар, сандар. Математикалык мааниде бул түшүнүк кененирээк жана жалпыланган. Эгерде баштапкы этаптарда сандар жана аларды чечүүнүн варианттары иргелип чыкса, орто жана жогорку этаптарда шарттар жана милдеттер татаалдашат. Чынында, көптүктүн биригүүсүнүн кардиналдуулугу объекттин кандайдыр бир топко таандыктыгы менен аныкталат. Башкача айтканда, бир элемент класска таандык, бирок бир же бир нече өзгөрмө бар.
