Функциянын экстремум чекиттери эмне экенин түшүнүү үчүн биринчи жана экинчи туундулардын бар экендигин билүү жана алардын физикалык маанисин түшүнүү таптакыр зарыл эмес. Адегенде төмөнкүлөрдү түшүнүшүңүз керек:
- функциянын экстремасы ыктыярдуу кичинекей микрорайондо функциянын маанисин максималдаштыруу же минимумга келтирүү;
- Экстремум чекитинде функция тыныгуусу болбошу керек.
А азыр эле, жөнөкөй тилде гана. Шариктүү калемдин учуна кара. Эгер калем вертикалдуу жайгаштырылса, жазуу аягына чейин болсо, анда шардын эң ортосу эң жогорку чекит болот. Бул учурда, биз максималдуу жөнүндө сөз. Эми, эгер сиз калемди жазуу учун ылдый карасаңыз, анда топтун ортосунда функциянын минимуму болот. Бул жерде берилген фигуранын жардамы менен сиз канцелярдык карандаш үчүн саналып өткөн манипуляцияларды элестете аласыз. Ошентип, функциянын экстремалары ар дайым критикалык чекиттер: анын максимумдары же минимумдары. Диаграмманын чектеш бөлүмү каалагандай курч же жылмакай болушу мүмкүн, бирок ал эки тараптан тең болушу керек, бул учурда гана чекит экстремум болуп саналат. Эгерде диаграмма бир тарапта гана бар болсо, бул чекит бир тарапта болсо дагы экстремум болбойтэкстремалдык шарттар аткарылат. Эми функциянын экстремумдарын илимий көз караштан изилдеп көрөлү. Бир чекиттин экстремум катары каралышы үчүн төмөнкүлөр зарыл жана жетиштүү:
- биринчи туунду нөлгө барабар болгон же ошол учурда болгон эмес;
- биринчи туунду бул учурда белгисин өзгөрттү.
Шарт жогорку даражадагы туундулардын көз карашынан бир аз башкача чечмеленет: чекитте дифференциалдануучу функция үчүн нөлгө барабар болбогон так тартиптеги туундунун болушу жетиштүү, ал эми бардыгы төмөнкү даражадагы туундулар болушу керек жана нөлгө барабар болушу керек. Бул жогорку математиканын окуу китептериндеги теоремалардын эң жөнөкөй түшүндүрмөсү. Бирок эң карапайым адамдар үчүн бул жагдайды бир мисал менен түшүндүрүү керек. негизи кадимки парабола болуп саналат. Ошол замат ээлеп коюу, нөл чекитинде ал минимумга ээ. Бир аз математика:
- биринчи туунду (X2)|=2X, нөл чекити үчүн 2X=0;
- экинчи туунду (2X)|=2, нөл чекит үчүн 2=2.
Бул биринчи даражадагы туундулар үчүн дагы, жогорку даражадагы туундулар үчүн дагы функциянын экстремумдарын аныктаган шарттардын жөнөкөй сүрөтү. Буга кошумчалайбыз, экинчи туунду бир аз жогорураак талкууланган нөлгө барабар эмес так тартиптеги ошол эле туунду. Эки өзгөрмөлүү функциянын экстремасына келгенде, эки аргумент үчүн шарттар аткарылышы керек. Качанжалпылоо пайда болот, андан кийин жарым-жартылай туундулар колдонулат. Башкача айтканда, эки биринчи даражадагы туунду тең нөлгө барабар болгон же жок дегенде бири жок болгон чекитте экстремум болушу үчүн зарыл. Экстремумдун болушунун жетиштүүлүгү үчүн функциянын экинчи даражадагы аралаш туундусунун квадраты менен экинчи даражадагы туундулардын көбөйтүндүсүнүн ортосундагы айырма болгон туюнтма изилденет. Эгерде бул туюнтма нөлдөн чоң болсо, анда экстремум бар, ал эми нөл болсо, анда суроо ачык бойдон калат жана кошумча изилдөө керек.
