Космостогу геометриялык фигуралар стереометриянын изилдөө объектиси болуп саналат, анын курсун мектеп окуучулары орто мектепте өтүшөт. Бул макала призма сыяктуу кемчиликсиз көп кырдууга арналган. Келгиле, призманын касиеттерин кененирээк карап чыгалы жана аларды сандык түрдө сүрөттөөгө кызмат кылган формулаларды берели.
Призма деген эмне?
Ар бир адам куту же куб кандай болорун элестетет. Эки фигура тең призмалар. Бирок, призмалардын классы алда канча ар түрдүү. Геометрияда бул фигурага төмөнкүдөй аныктама берилет: призма – эки параллелдүү жана бирдей көп бурчтуу капталдардан жана бир нече параллелограммдардан түзүлгөн мейкиндиктеги ар кандай көп жактуу. Фигуранын бирдей параллель беттери анын негиздери (жогорку жана төмөнкү) деп аталат. Параллелограммдар - бул фигуранын каптал беттери, алар негиздин капталдарын бири-бири менен бириктирет.
Эгер негиз n-гон менен көрсөтүлсө, мында n бүтүн сан, анда фигура 2+n беттен, 2n чокудан жана 3n четинен турат. Жүздөрү жана четтери тиешелүүэки түрүнүн бири: же алар каптал бетине, же негиздерине таандык. Чокуларга келсек, алардын баары бирдей жана призманын негиздерине таандык.
Изилдеп жаткан класстын фигураларынын түрлөрү
Призманын касиеттерин изилдеп жатып, бул фигуранын мүмкүн болгон түрлөрүн санап алышыңыз керек:
- Дөңсөө жана ойуу. Алардын ортосундагы айырма көп бурчтуу базанын түрүндө жатат. Эгер ал оюк болсо, анда ал үч өлчөмдүү фигура да болот жана тескерисинче.
- Түз жана кыйгач. Түз призма үчүн каптал беттери тик бурчтук же чарчы болот. Кийик фигуранын каптал беттери жалпы типтеги параллелограммдар же ромбтар.
- Туура жана туура. Изилдөөчү фигура туура болушу үчүн ал түз жана туура негизге ээ болушу керек. Акыркылардын мисалы катары тегиз жактуу үч бурчтук же квадрат сыяктуу жалпак фигураларды алсак болот.
Призманын аталышы саналып өткөн классификацияны эске алуу менен түзүлөт. Мисалы, жогоруда айтылган тик бурчтуу параллелепипед же куб регулярдуу төрт бурчтуу призма деп аталат. Регулярдуу призмалар жогорку симметриялуу болгондуктан изилдөөгө ыңгайлуу. Алардын касиеттери конкреттүү математикалык формулалар түрүндө чагылдырылган.
Призма аймагы
Призманын мындай касиетин анын аянты катары кароодо, алар анын бардык беттеринин жалпы аянтын билдирет. Эгерде сиз фигураны ачсаңыз, башкача айтканда, бардык жүздөрдү бир тегиздикке кеңейтсеңиз, бул маанини элестетүү оңой. ТөмөндөСүрөттө эки призманын шыпырылышынын мисалы көрсөтүлгөн.
Эрктүү призма үчүн анын шыпыруу аянтынын формуласын жалпы формада төмөнкүчө жазса болот:
S=2So+ bPsr.
Белгилерди түшүндүрүп берели. So мааниси – бир негиздин аянты, b – каптал четинин узундугу, Psr – кесилген периметр, ал фигуранын каптал параллелограммдарына перпендикуляр.
Жазылган формула көбүнчө жантык призмалардын аймактарын аныктоо үчүн колдонулат. Регулярдуу призманын учурда S үчүн туюнтма белгилүү бир форманы алат:
S=n/2a2ctg(pi/n) + nba.
Айтылган сөздүн биринчи мүчөсү регулярдуу призманын эки негизинин аянтын, экинчи мүчөсү каптал тик бурчтуктардын аянтын билдирет. Бул жерде a - регулярдуу n-гондун капталынын узундугу. Регулярдуу призманын каптал четинин b узундугу анын бийиктиги h экенин эске алыңыз, андыктан b формуласында h менен алмаштырууга болот.
Фигуранын көлөмүн кантип эсептөө керек?
Призма – жогорку симметриялуу салыштырмалуу жөнөкөй көп жактуу. Ошондуктан, анын көлөмүн аныктоо үчүн, абдан жөнөкөй формула бар. Бул мындай көрүнөт:
V=Soс.
Негиздин аянтын жана бийиктигин эсептөө кыйшык туура эмес форманы карап жатканда татаал болушу мүмкүн. Бул маселе капталдагы параллелограммдар менен негиздин ортосундагы эки жактуу бурчтар жөнүндө маалыматты камтыган ырааттуу геометриялык анализдин жардамы менен чечилет.
Эгер призма туура болсо, андаV формуласы конкреттүү болуп калат:
V=n/4a2ctg(pi/n)h.
Сиз көрүп тургандай, регулярдуу призманын S аянты жана көлөмү V уникалдуу түрдө аныкталат, эгерде анын эки сызыктуу параметри белгилүү болсо.
Үч бурчтуу регулярдуу призма
Келгиле макаланы үзгүлтүксүз үч бурчтук призманын касиеттерин карап бүтөлү. Ал беш жүздөн түзүлөт, анын үчөө тик бурчтук (чарчы), экөө тең жактуу үч бурчтук. Призманын алты чокусу жана тогуз чети бар. Бул призма үчүн көлөм жана беттик аянттын формулалары төмөндө жазылган:
S3=√3/2a2+ 3ha
V3=√3/4a2с.
Бул касиеттерден тышкары фигуранын негизинин апотемасы үчүн формуланы берүү да пайдалуу, бул тең жактуу үч бурчтуктун ha бийиктиги:
ha=√3/2a.
Призманын капталдары бирдей тик бурчтуктар. Алардын диагоналдарынын узундугу d:
d=√(a2+ h2).
Үч бурчтук призманын геометриялык касиеттерин билүү теориялык гана эмес, практикалык жактан да кызыктырат. Оптикалык айнектен жасалган бул фигура денелердин нурлануу спектрин изилдөө үчүн колдонулат.
Айнек призмасынан өтүп, дисперсиялык кубулуштун натыйжасында жарык бир катар компоненттер түстөрүнө ажырайт, бул электромагниттик агымдын спектралдык курамын изилдөө үчүн шарттарды түзөт.
