Арифметика деген эмне? Адамзат качан сандарды колдонуп, алар менен иштей баштаган? Адам жашоосунун, дүйнө таанымынын ажырагыс бөлүгүнө айландырган сан, бөлчөк, кемитүү, кошуу, көбөйтүү сыяктуу күнүмдүк түшүнүктөрдүн тамыры кайда барат? Байыркы гректердин акыл-эстери математика, арифметика жана геометрия сыяктуу илимдерге адам логикасынын эң сонун симфониялары катары суктанышкан.
Балким арифметика башка илимдердей терең эмес, бирок эгер адам элементардык көбөйтүү таблицасын унутуп калса, алардын тагдыры эмне болот? Сандарды, бөлчөктөрдү жана башка куралдарды колдонуу менен биз үчүн көнүмүш болгон логикалык ой жүгүртүү адамдар үчүн оңой болгон эмес жана ата-бабаларыбыз үчүн көп убакыт бою жеткиликсиз болгон. Чынында, арифметика өнүккөнгө чейин адам билиминин эч бир чөйрөсү чыныгы илимий болгон эмес.
Арифметика математиканын АВСсы
Арифметика – бул сандар илими, анын жардамы менен каалаган адам математиканын кызыктуу дүйнөсү менен тааныша баштайт. М. В. Ломоносов айткандай, арифметика биз үчүн дүйнөлүк билимге жол ачкан окуунун дарбазасы. Бирок ал туураДүйнө таанууну сандар жана тамгалар, математика жана сүйлөө билиминен ажыратууга болобу? Балким, илгерки күндөрдө болсо керек, бирок илим менен техниканын тез өнүгүшү өз мыйзамдарын буйруган заманбап дүйнөдө эмес.
«Арифметика» (грекче «arithmos») деген сөз «сан» дегенди билдирет. Ал сандарды жана алар менен байланыштыра турган нерселердин баарын изилдейт. Бул сандар дүйнөсү: сандар боюнча түрдүү амалдар, сандык эрежелер, көбөйтүү, кемитүү ж.б. менен байланышкан маселелерди чечүү.
Арифметика математиканын алгачкы кадамы жана анын алгебра, математикалык анализ, жогорку математика ж.б.
Арифметиканын негизги объектиси
Арифметиканын негизи бүтүн сан болуп саналат, анын касиеттери жана үлгүлөрү жогорку арифметикалык же сандар теориясында каралат. Чынында, бүт имараттын күчү – математика – натурал сан сыяктуу кичинекей блокту кароодо канчалык туура мамиле жасалганынан көз каранды.
Ошондуктан, арифметика деген эмне деген суроого жөн гана жооп берүүгө болот: бул сандар илими. Ооба, кадимки жети, тогуз жана бул ар түрдүү коомчулук жөнүндө. Элементардык алфавитсиз жакшы, атүгүл эң ортоңку поэзия жаза албагандай эле, арифметикасыз элементардык маселени да чече албайсың. Мына ошондуктан бардык илимдер арифметика менен математиканын өнүгүшүнөн кийин гана өнүккөн, ага чейин жөн гана божомолдор гана болгон.
Арифметика – бул фантомдук илим
Арифметика деген эмне - табият таануу же фантом? Чынында, байыркы грек философтору ырастагандай, сандар да, цифралар да реалдуулукта жок. Бул чөйрөнү процесстери менен кароодо адамдын ой жүгүртүүсүндө жаралган бир элес. Чынында эле, сан деген эмне? Айлананын эч бир жеринде биз сан деп атоого боло турган эч нерсени көрбөйбүз, тескерисинче, сан адамдын акылынын дүйнөнү изилдөө ыкмасы. Же, балким, бул өзүбүздү ичтен изилдөөбү? Философтор бул жөнүндө көптөгөн кылымдар бою катары менен талашып келишет, ошондуктан биз толук жооп берүүгө милдеттүү эмеспиз. Тигил же бул арифметика өзүнүн ордун ушунчалык бекем ээлегендиктен, азыркы дүйнөдө анын негиздерин билбестен эч кимди социалдык жактан адаптацияланган деп эсептөөгө болбойт.
Натурал сан кантип пайда болгон
Албетте, арифметика иштеген негизги объект натурал сан, мисалы 1, 2, 3, 4, …, 152… ж.б. Натурал сандардын арифметикасы катардагы нерселерди, мисалы, шалбаадагы уйларды эсептөөнүн натыйжасы. Антсе да, "көп" же "аз" деген аныктама бир жолу адамдарга туура келбей калгандыктан, алар өнүккөн саноо ыкмаларын ойлоп табууга аргасыз болушкан.
Бирок чыныгы ачылыш адам ойлору 2 килограммды, 2 кирпичти жана 2 бөлүктү бирдей "эки" саны менен белгилей турган деңгээлге жеткенде болду. Чындыгында, объекттердин формаларынан, касиеттеринен жана маанисинен абстракциялоо керек, андан кийин бул объекттер менен натурал сандар түрүндө кээ бир аракеттерди жасоого болот. Ошентип, сандардын арифметикасы пайда болгонкоомдун турмушунда уламдан-улам зор позицияларды ээлеп, андан ары енук-ту жана кецейди.
Сандын нөл жана терс сан, бөлчөктөр, сандарды сандар менен белгилөө жана башка жолдор сыяктуу терең түшүнүктөрүнүн өнүгүүнүн бай жана кызыктуу тарыхы бар.
Арифметикалык жана практикалык египеттиктер
Айлана-чөйрөнү изилдөөдө жана күнүмдүк маселелерди чечүүдө эң байыркы эки адам бул арифметика жана геометрия.
Арифметика тарыхы Байыркы Чыгышта: Индияда, Египетте, Вавилондо жана Кытайда пайда болгон деп эсептелет. Ошентип, 20-кылымга таандык египеттик Ринда папирусу (ал ошол эле аталыштагы ээсине таандык болгондуктан ушундай аталып калган). BC, башка баалуу маалыматтардан тышкары, бир бөлчөктү ар кандай бөлүктөргө ээ бөлчөктөрдүн суммасына жана бирге барабар алуучуга кеңейтүүнү камтыйт.
Мисалы: 2/73=1/60+1/219+1/292+1/365.
Бирок мындай татаал ажыроонун эмне кереги бар? Чындыгында египеттик ыкма сандар жөнүндө абстрактуу ойлорго чыдаган эмес, тескерисинче, эсептөөлөр практикалык максатта гана жасалган. Башкача айтканда, мисирлик, мисалы, мүрзө куруу үчүн гана эсептөө сыяктуу бир нерсе менен алектенет. Түзүмдүн четинин узундугун эсептөө керек болгон жана бул адамды папирустун артына отурууга аргасыз кылган. Көрүнүп тургандай, Египеттин эсептөөлөрдөгү жылышына илимге болгон сүйүү эмес, массалык курулуш себеп болгон.
Ошондуктан папирустарда табылган эсептөөлөрдү бөлчөк темасындагы ой жүгүртүү деп атоого болбойт. Кыязы, бул келечекте жардам берген практикалык даярдык.бөлчөктөр менен маселелерди чыгаруу. Көбөйтүү таблицаларын билбеген байыркы египеттиктер кыйла узун эсептөөлөрдү жүргүзүп, көптөгөн кошумча тапшырмаларга бөлүнүшкөн. Балким, бул дагы ошол субмилдеттердин бири. Мындай иш тетиктери менен эсептөөлөр абдан оор жана келечексиз экенин көрүүгө болот. Балким ушундан улам биз Байыркы Египеттин математиканын өнүгүшүнө кошкон зор салымын көрө албайбыз.
Байыркы Греция жана философиялык арифметика
Байыркы Чыгыштын көптөгөн билимдерин абстракттуу, абстракттуу жана философиялык ой жүгүртүүлөрдү атактуу сүйүүчү байыркы гректер ийгиликтүү өздөштүрүшкөн. Алар практикага аз кызыккан эмес, бирок мыкты теоретиктерди жана ойчулдарды табуу кыйын. Бул илимге пайда алып келди, анткени арифметиканы реалдуулуктан ажыратпай туруп тереңдеп чыгуу мүмкүн эмес. Албетте, 10 уйду жана 100 литр сүттү көбөйтсөңүз болот, бирок анчалык деле алыска бара албайсыз.
Терең ойчул гректер тарыхта олуттуу из калтырып, алардын жазгандары бизге чейин жеткен:
- Евклид жана элементтер.
- Пифагор.
- Архимед.
- Эратосфен.
- Зено.
- Анаксагор.
Албетте, бардыгын философияга айландырган гректерди, өзгөчө Пифагордун чыгармачылыгын улантуучуларды сандар ушунчалык кызыктырып, аларды дүйнөнүн гармониясынын сыры деп эсептешкен. Сандар ушунчалык изилденген жана изилденгендиктен, алардын айрымдарына жана алардын түгөйлөрүнө өзгөчө касиеттер берилген. Мисалы:
- Мыкты сандар - бул сандын өзүнөн башка (6=1+2+3) бардык бөлүүчүлөрүнүн суммасына барабар болгон сандар.
- Достук сандар бул сандар, алардын бириэкинчинин бардык бөлүүчүлөрүнүн суммасына барабар жана тескерисинче (пифагорчулар мындай түгөйлөрдүн бирин гана билишчү: 220 жана 284).
Илим менен бирге пайда үчүн эмес, аны сүйүш керек деп эсептеген гректер изилдеп, ойноп, сандарды кошуп чоң ийгиликтерге жетишти. Белгилей кетчү нерсе, алардын бардык изилдөөлөрү кеңири колдонула элек, айрымдары «сулуулук үчүн» гана калган.
Орто кылымдагы чыгыш ойчулдары
Ошол сыяктуу эле орто кылымдарда арифметика чыгыш замандаштарынын өнүгүшүнө милдеттүү. Индиялыктар бизге биз активдүү колдонгон сандарды, мисалы, "нөл" деген түшүнүктү жана заманбап кабылдоодо тааныш болгон эсептөөнүн позициялык версиясын беришти. 15-кылымда Самаркандда иштеген Аль-Кашиден биз ондук бөлчөктөрдү мурастап алдык, аларсыз азыркы арифметиканы элестетүү кыйын.
Көп жагынан Европаны Чыгыштын жетишкендиктери менен тааныштыруу италиялык окумуштуу Леонардо Фибоначчинин чыгыш жаңылыктарын киргизген «Абак китеби» эмгегинин аркасында мүмкүн болду. Ал Европада алгебра менен арифметиканын, изилдөөнүн жана илимий ишмердүүлүктүн негизги ташы болуп калды.
Орусча арифметика
Жана акырында Европада өз ордун таап, тамыр жайган арифметика орус жерине тарай баштаган. Биринчи орус арифметикасы 1703-жылы жарык көргөн - бул Леонтий Магнитскийдин арифметика жөнүндөгү китеби болгон. Узак убакыт бою ал математика боюнча жалгыз окуу китеби болуп кала берген. Ал алгебра менен геометриянын алгачкы моменттерин камтыйт. Россиядагы биринчи арифметика окуу китебинин мисалдарында колдонулган сандар арабча. Араб цифралары мурда 17-кылымга таандык гравюраларда кездешкен.
Китептин өзү Архимед менен Пифагордун сүрөттөрү менен кооздолгон, ал эми биринчи баракта - аялдын кейпиндеги арифметика сүрөтү. Ал тактыда отурат, анын астына еврей тилинде Кудайдын ысмын билдирген сөз жазылган, ал эми тактыга алып баруучу тепкичтерде «бөлүнүү», «көбөйтүү», «кошумча» ж.б. алар азыр көнүмүш болуп эсептелет.
600 барактан турган окуу китеби кошуу жана көбөйтүү таблицалары сыяктуу негизги нерселерди жана навигациялык илимдерге колдонмолорду камтыйт.
Автордун китеби үчүн грек ойчулдарынын образдарын тандап алганы таң калыштуу эмес, анткени ал өзү да арифметиканын сулуулугуна арбалып: «Арифметика – бул сан, көркөм бар чынчыл, көзгө басар…» деп.. Арифметикага мындай мамиле абдан негиздүү, анткени аны кеңири жайылтуу Россияда илимий ой жүгүртүүнүн жана жалпы билим берүүнүн тез өнүгүшүнүн башталышы деп эсептесе болот.
Болбогон негизги сандар
Жай сан – бул 2 гана оң бөлүүчүсү бар натурал сан: 1 жана өзү. 1ден башка бардык башка сандар курама деп аталат. Жай сандардын мисалдары: 2, 3, 5, 7, 11 жана 1ден жана өзүнөн башка бөлүүчүсү жок бардык башка сандар.
1 санына келсек, ал атайын эсепте - аны жөнөкөй да, курама да эмес деп эсептеш керек деген келишим бар. Бир караганда жөнөкөй, жөнөкөй сан көптөгөн чечилбеген сырларды жашырат.
Евклид теоремасы чексиз жай сандар бар экенин айтат, ал эми Эратосфен жөнөкөй эмес сандарды жок кылып, жөнөкөй сандарды калтырган атайын арифметикалык "электи" ойлоп тапкан.
Анын маңызы биринчи чийилбеген сандын астын сызып, андан кийин ага эселенген сандарды чийип коюу. Бул процедураны көп жолу кайталайбыз - жана биз жөнөкөй сандар таблицасын алабыз.
Арифметиканын негизги теоремасы
Жай сандар жөнүндөгү байкоолордун арасында арифметиканын негизги теоремасын өзгөчө белгилеп кетүү керек.
Арифметиканын фундаменталдык теоремасы 1ден чоң болгон ар кандай бүтүн сандын жай экенин, же аны факторлордун тартибине чейин жана уникалдуу түрдө жөнөкөй сандардын көбөйтүндүсүнө ажыратуу мүмкүн экенин айтат.
Арифметиканын негизги теоремасы бир топ түйшүктүү жана аны түшүнүү эң жөнөкөй негиздердей болбой калды.
Бир караганда, жөнөкөй сандар элементардык түшүнүк, бирок андай эмес. Физика дагы бир жолу атомду элементар деп эсептеп, анын ичинде бүт ааламды тапканга чейин. Математик Дон Цзагирдин "Биринчи элүү миллион жөнөкөй сан" деген сонун аңгемеси жай сандарга арналган.
"Үч алмадан" дедуктивдүү мыйзамдарга
Бардык илимдин бекемделген пайдубалын чындап атоого болот, бул арифметика мыйзамдары. Бала кезинде да ар бир адам куурчактардын буттарынын жана колдорунун санын изилдеп, арифметикага туш болушат.кубтардын, алмалардын, ж.б. саны. Биз арифметиканы ушинтип изилдейбиз, ал андан кийин татаалыраак эрежелерге кирет.
Биздин бүткүл жашообуз бизди арифметика эрежелери менен тааныштырат, алар карапайым адам үчүн илим бергендердин эң пайдалуусу болуп калды. Сандарды изилдөө - бул "арифметика-бала", ал адамды кичинекей кезинен эле сандар дүйнөсү менен тааныштырат.
Жогорку арифметика – арифметиканын мыйзамдарын изилдөөчү дедуктивдүү илим. Биз алардын көбүн билебиз, бирок алардын так сөздөрүн билбейбиз.
Кошуу жана көбөйтүү мыйзамы
Эки ар кандай натурал сандарды a+b суммасы катары көрсөтүүгө болот, бул да натурал сан болот. Толуктоо үчүн төмөнкү мыйзамдар колдонулат:
- Коммутативдик, бул сумма терминдердин кайра тизилишинен өзгөрбөйт же a+b=b+a.
- Ассоциативдик, бул сумма терминдердин жерлерде топтоштурулганына көз каранды эмес экенин айтат же a+(b+c)=(a+ b)+ c.
Кошуу сыяктуу арифметика эрежелери эң эле жөнөкөй эрежелердин бири, бирок алар күнүмдүк турмушту айтпаганда да, бардык илимдер тарабынан колдонулат.
Эки ар кандай натурал сандар a жана b ab же ab көбөйтүлүшү катары көрсөтүлүшү мүмкүн, бул да натурал сан. Кошумча катары өнүмгө карата ошол эле алмаштыруучу жана ассоциативдик мыйзамдар колдонулат:
- ab=b a;
- a(bc)=(a b) c.
Кызыккошуу менен көбөйтүүнү бириктирүүчү мыйзам бар экенин, бөлүштүрүүчү же бөлүштүрүүчү мыйзам деп да аталат:
a(b+c)=ab+ac
Бул мыйзам чындыгында бизди кашааларды кеңейтүү менен иштөөгө үйрөтөт, андыктан татаалыраак формулалар менен иштей алабыз. Булар алгебранын таң калыштуу жана татаал дүйнөсүндө бизди жетектей турган мыйзамдар.
Арифметикалык тартиптин мыйзамы
Тартип мыйзамы күн сайын адам логикасы тарабынан колдонулат, сааттарды салыштырып, банкнотторду санайт. Жана ошентсе да, аны конкреттүү формулалар түрүндө формалдаштыруу керек.
Эгер бизде эки натурал саны a жана b болсо, анда төмөнкү варианттар мүмкүн:
- a барабар b, же a=b;
- a bдан кичине же < b;
- a bдан чоңураак же > b.
Үч варианттын ичинен бирөө гана адилеттүү боло алат. Тартипти жөнгө салуучу негизги мыйзам мындай дейт: эгерде a < b жана b < c, анда a< c.
Көбөйтүү жана кошуунун тартибине тиешелүү мыйзамдар да бар: эгерде a< b болсо, анда a + c < b+c жана ac< bc.
Арифметика мыйзамдары бизди сандар, белгилер жана кашаалар менен иштөөгө үйрөтүп, баарын сандардын гармониялуу симфониясына айлантат.
Позициялык жана позициялык эмес эсептөө
Сандар математикалык тил деп айтууга болот, анын ыңгайлуулугунан көп нерсе көз каранды. Ар кайсы тилдердин алфавиттери сыяктуу бири-биринен айырмаланган көптөгөн сан системалары бар.
Сана системаларын позициянын сандык мааниге тийгизген таасири көз карашынан карап көрөлүбул позициядагы сандар. Ошентип, мисалы, Рим системасы позициялык эмес, мында ар бир сан атайын белгилердин белгилүү бир топтому менен коддолгон: I/ V/ X/L/ C/ D/ M. Алар тиешелүүлүгүнө жараша 1 сандарына барабар. / 5/10/50/100/500/ 1000. Мындай системада сан кандай абалда турганына жараша өзүнүн сандык аныктамасын өзгөртпөйт: биринчи, экинчи ж.б. Башка сандарды алуу үчүн негизги сандарды кошуу керек. Мисалы:
- DCC=700.
- CCM=800.
Араб сандарын колдонгон бизге көбүрөөк тааныш болгон санауу системасы позициялык. Мындай системада сандын цифрасы цифралардын санын аныктайт, мисалы, үч орундуу сандар: 333, 567 ж.б. Кандайдыр бир цифранын салмагы тигил же бул цифра жайгашкан позицияга жараша болот, мисалы, экинчи позициядагы 8 саны 80 баллга ээ. Бул ондук система үчүн мүнөздүү, башка позициялык системалар бар, мисалы., бинардык.
Экилик арифметика
Биз бир орундуу жана көп орундуу сандардан турган ондук системаны жакшы билебиз. Көп орундуу сандын сол жагындагы сан оң жагындагыдан он эсе маанилүү. Демек, биз 2, 17, 467 ж.б. окууга көнүп калганбыз… “Экилик арифметика” деген бөлүмдө такыр башка логика жана ыкма бар. Бул таң калыштуу эмес, анткени бинардык арифметика адамдын логикасы үчүн эмес, компьютердик логика үчүн түзүлгөн. Эгерде сандардын арифметикасы объектилерди санауудан келип чыккан болсо, андан ары объекттин касиеттеринен "жылаңач" арифметикага чейин абстракцияланган, анда бул компьютерде иштебейт. Бөлүшө алуу үчүнбир адам компьютерди билгендиктен мындай эсептөө моделин ойлоп табышы керек болчу.
Бинардык арифметика 0 жана 1ден гана турган экилик алфавит менен иштейт. Жана бул алфавитти колдонуу бинардык система деп аталат.
Экилик арифметика менен ондук арифметиканын айырмасы - сол жактагы позициянын мааниси мындан ары 10 эмес, 2 эсе. Экилик сандар 111, 1001 ж.б. формада. Мындай сандарды кантип түшүнүүгө болот? Ошентип, 1100 санын карап көрөлү:
- Сол жактагы биринчи цифра 18=8, аны 2ге көбөйтүү керек деген төртүнчү цифраны эстеп, 8-позицияны алабыз.
- Экинчи цифра 14=4 (4-позиция).
- Үчүнчү цифра 02=0 (2-позиция).
- Төртүнчү цифра 01=0 (1-позиция).
- Демек биздин сан 1100=8+4+0+0=12.
Башкача айтканда, сол жактагы жаңы цифрага өткөндө анын экилик системадагы мааниси 2ге, ал эми ондук системада 10го көбөйтүлөт. Мындай системанын бир минусу бар: бул өтө чоң көбөйүү сандарды жазуу үчүн зарыл болгон цифралар. Ондук сандарды экилик сандар катары көрсөтүү мисалдарын төмөнкү таблицадан тапса болот.
Төмөндө экилик формадагы ондук сандар көрсөтүлгөн.
Ошондой эле сегиздик жана он алтылык системалар колдонулат.
Бул сырдуу арифметика
Арифметика деген эмне, "эки эсе эки" же сандардын изилденбеген сырлары? Көрүнүп тургандай, арифметика бир караганда жөнөкөй сезилиши мүмкүн, бирок анын көзгө көрүнбөгөн жеңилдиги алдамчы. Аны Үкү эжеке менен бирге балдар да үйрөнө алышатмультфильм "Арифметика-бала" жана сиз дээрлик философиялык тартиптин терең илимий изилдөөсүнө сүңгүп кете аласыз. Тарыхта ал объектилерди санап, сандардын кооздугуна сыйынууга өттү. Бир гана нерсе анык: арифметиканын негизги постулаттары орношу менен бардык илим анын күчтүү ийинине таяна алат.
