Polyhedra байыркы убакта эле математиктердин жана илимпоздордун көңүлүн бурган. Египеттиктер пирамидаларды курушкан. Ал эми гректер "регулярдуу көп жүздүүлөрдү" изилдешкен. Алар кээде платондук катуу заттар деп аталат. "Салттуу көп кырдуулар" жалпак беттерден, түз четтерден жана чокулардан турат. Бирок негизги суроо ар дайым бул өзүнчө бөлүктөр кандай эрежелерди аткарышы керек, ошондой эле объект көп жактуу болушу үчүн кандай кошумча глобалдык шарттар аткарылышы керек болгон. Бул суроонун жообу макалада берилет.
Аныктоодогу көйгөйлөр
Бул цифра эмнеден турат? Полиэдр - беттери жалпак жана түз четтери бар жабык катуу форма. Демек, аны аныктоонун биринчи маселеси фигуранын тараптары деп атоого болот. Самолёттордо жаткан жүздөрдүн баары эле көп жактуулардын белгиси эмес. Мисал катары “үч бурчтуу цилиндрди” алалы. ал турат, эмне кылат? Анын бетинин бир бөлүгү үч жупкесилишкен вертикалдуу тегиздиктерди көп бурчтук деп кароого болбойт. Себеби, анын чокулары жок. Мындай фигуранын бети бир чекитте кездешкен үч нурдун негизинде түзүлөт.
Дагы бир көйгөй - учактар. "Үч бурчтук цилиндр" учурда алардын чексиз бөлүктөрүндө жатат. Фигура томпок деп эсептелет, эгерде көптүктүн каалаган эки чекитин бириктирген сызык сегмент анда да болсо. Алардын маанилүү касиеттеринин бирин сунуштайлы. Томпок көптүктөр үчүн бул көптүк үчүн жалпы чекиттердин жыйындысы бирдей. Фигуралардын дагы бир түрү бар. Булар тешиктери же тешиктери бар томпок эмес 2D көп кырдуулар.
Көп жүздүү эмес формалар
Токойлордун жалпак топтому ар түрдүү болушу мүмкүн (мисалы, томпок эмес) жана көп жактуулардын кадимки аныктамасын канааттандырбайт. Ал аркылуу да саптардын бөлүмдөрү менен чектелет. Томпок көп кырдуу сызыктар томпок фигуралардан турат. Бирок, аныктамага мындай мамиле чексиздикке бара турган фигураны жокко чыгарат. Буга бир эле чекитте кездешпеген үч нурлар мисал боло алат. Бирок ошол эле учурда алар башка фигуранын чокуларына туташтырылган. Салт боюнча, ал жалпак беттерден турат полиэдр үчүн маанилүү болгон. Бирок убакыттын өтүшү менен концепция кеңейди, бул көп жүздүүлөрдүн баштапкы "тар" классын түшүнүүнүн олуттуу жакшырышына, ошондой эле жаңы, кененирээк аныктамасынын пайда болушуна алып келди.
Туура
Дагы бир аныктама киргизели. Регулярдуу көп жактуу, ар бир бети конгруенттүү регулярдуу болуп саналаттомпок көп бурчтуктар жана бардык чокулары "бирдей". Бул ар бир чокуда бирдей сандагы регулярдуу көп бурчтуктар бар дегенди билдирет. Бул аныктаманы колдонуңуз. Ошентип, сиз беш кадимки көп жүздүү таба аласыз.
Көп кырдуулар үчүн Эйлердин теоремасынын биринчи кадамдары
Гректер бүгүн пентаграмма деп аталган көп бурчтук жөнүндө билишкен. Бул көп бурчтуктун бардык капталдары бирдей узундукта болгондуктан регулярдуу деп атоого болот. Дагы бир маанилүү эскертүү бар. Катар келген эки тараптын ортосундагы бурч дайыма бирдей. Бирок тегиздикте чийилгенде ал томпок көптүктү аныктабайт жана көп кырдуу капталдары бири-бири менен кесилишет. Бирок, бул дайыма эле болгон эмес. Математиктер көптөн бери "дөңгүл эмес" үзгүлтүксүз көп кырдуулар идеясын карап келишкен. Пентаграмма алардын бири болгон. «Жылдыздуу полигондорго» да уруксат берилген. "Редалдуу көп жүздүүлөрдүн" бир нече жаңы үлгүлөрү табылган. Азыр алар Кеплер-Пуинсо көп жүздүү деп аталат. Кийинчерээк G. S. M. Coxeter жана Бранко Грюнбаум эрежелерди кеңейтип, башка "кадимки көп жүздүүлөрдү" ачышкан.
Көп жүздүү формула
Бул сандарды системалуу түрдө изилдөө математиканын тарыхында салыштырмалуу эрте башталган. Леонхард Эйлер алардын чокуларынын, беттеринин жана четтеринин санына тиешелүү формула томпок 3D көп кырдуулар үчүн туура келерин биринчи байкаган.
Ал мындай окшойт:
V + F - E=2, мында V – көп кырдуу чокулардын саны, F – көп жүздүүлөрдүн четтеринин саны, E – беттердин саны.
Леонхард Эйлер швейцариялыкбардык убактагы эң чоң жана эң жемиштүү илимпоздордун бири катары эсептелген математик. Ал өмүрүнүн көп бөлүгүн сокур болгон, бирок анын көрүүсүн жоготуу ага дагы жемиштүү болууга негиз берген. Анын аты менен аталган бир нече формулалар бар жана биз азыр карап чыккан формула кээде Эйлер көп жүздүү формуласы деп аталат.
Бир түшүндүрмө бар. Эйлердин формуласы, бирок, белгилүү бир эрежелерди сактаган көп кырдуулар үчүн гана иштейт. Алар формада тешик болбошу керек деп калп айтышат. Жана анын өзүнөн өзү өтүп кетиши кабыл алынгыс. Полиэдр да бири-бирине кошулган эки бөлүктөн, мисалы, чокусу бирдей болгон эки кубтан турушу мүмкүн эмес. Эйлер 1750-жылы Кристиан Голдбахка жазган катында өзүнүн изилдөөлөрүнүн жыйынтыгын айткан. Кийинчерээк ал өзүнүн жаңы ачылышынын далилин кантип табууга аракет кылганын сүрөттөгөн эки макаласын жарыялаган. Чынында V + F - E ар кандай жооп берген формалар бар. F + V - E=X суммасына жооп Эйлер мүнөздөмөсү деп аталат. Анын башка жагы бар. Кээ бир фигуралар терс болгон Эйлер мүнөздөмөсүнө ээ болушу мүмкүн
Граф теориясы
Кээде Декарт Эйлердин теоремасын мурда чыгарган деп айтылат. Бул илимпоз үч өлчөмдүү көп кырдуулар жөнүндө керектүү формуланы алууга мүмкүндүк бере турган фактыларды ачса да, бул кошумча кадамга барган эмес. Бүгүнкү күндө Эйлер граф теориясынын "атасы" деп аталат. Ал өзүнүн идеяларын колдонуу менен Конигсберг көпүрөсүнүн маселесин чечкен. Бирок илимпоз көп кырдуу контекстте караган эмесграфик теориясы. Эйлер көп жактуу жөнөкөй бөлүктөргө ажыратууга негизделген формуланын далилин берүүгө аракет кылган. Бул аракет далилдөө үчүн заманбап стандарттарга туура келбейт. Эйлер өзүнүн формуласына биринчи туура негиздеме бербесе да, айтыла элек божомолдорду далилдей албайт. Бирок кийинчерээк далилденген натыйжалар Эйлердин теоремасын азыркы учурда да колдонууга мүмкүндүк берет. Биринчи далилди математик Адриан Мари Леджендре алган.
Эйлердин формуласынын далили
Эйлер биринчи жолу көп жүздүү формуланы көп жүздүү теорема катары түзгөн. Бүгүнкү күндө ал көбүнчө байланышкан графиктердин жалпы контекстинде каралат. Мисалы, бир бөлүктө турган чекиттерден жана аларды бириктирүүчү сызык сегменттерден турган структуралар катары. Августин Луи Коши бул маанилүү байланышты тапкан биринчи адам болгон. Ал Эйлердин теоремасынын далили катары кызмат кылган. Ал, түпкүлүгүндө, томпок көп кырдуу графиги (же бүгүнкү күндө мындай деп аталат) топологиялык жактан сферага гомеоморфтук, тегиздик менен байланышкан графикке ээ экенин байкаган. Бул эмне? Тегиздикте анын четтери чокусунда гана бириге турган же кесилишкендей кылып тартылган график тегиздик график болуп саналат. Эйлердин теоремасы менен графиктеринин ортосундагы байланыш дал ушул жерден табылган.
Натыйжанын маанилүүлүгүнүн бир көрсөткүчү Дэвид Эпштейн он жети түрдүү далилдерди чогулта алган. Эйлердин көп кырдуу формуласын негиздөөнүн көптөгөн жолдору бар. Кандайдыр бир мааниде эң ачык далилдер математикалык индукцияны колдонгон ыкмалар. Жыйынтыгын далилдесе болотаны графиктин четтеринин, беттеринин же чокуларынын саны боюнча тартуу.
Радемахер менен Тоеплицтин далили
Радемахер менен Тоеплицтин төмөнкү далили Фон Штаудттун мамилесине негизделген өзгөчө жагымдуу. Эйлердин теоремасын негиздөө үчүн G тегиздикке киргизилген туташкан график деп коёлу. Эгерде анын схемалары бар болсо, анда ал туташып турган касиетти сактоо үчүн алардын ар биринен бир четин алып салууга болот. Жабыксыз туташкан графикке өтүү үчүн алынып салынган бөлүктөр менен чексиз чети болбогондордун ортосунда бирден-бир корреспонденция бар. Бул изилдөө Эйлер мүнөздөмөсү деп аталган "багытталган беттерди" классификациялоого алып келди.
Джордан ийри сызыгы. Теорема
Графиктер үчүн Эйлер теоремасынын көп жүздүү формуласын далилдөөдө түз же кыйыр түрдө колдонулган негизги тезис Иордан ийри сызыгынан көз каранды. Бул идея жалпылоо менен байланыштуу. Анда айтылгандай, ар кандай жөнөкөй жабык ийри сызык учакты үч топтомго бөлөт: андагы чекиттер, анын ичинде жана сыртында. Эйлердин көп кырдуу формуласына кызыгуу он тогузунчу кылымда калыптангандыктан, аны жалпылоо үчүн көптөгөн аракеттер жасалган. Бул изилдөө алгебралык топологиянын өнүгүшүнө негиз салып, аны алгебра жана сандар теориясы менен байланыштырды.
Моебиус тобу
Көп өтпөй кээ бир беттерди глобалдык эмес, жергиликтүү деңгээлде ырааттуу түрдө гана "багыттоо" мүмкүн экени аныкталды. Мындай мисал катары белгилүү Möbius тобу кызмат кылатбеттер. Бул Иоганн Листинг тарабынан бир аз мурда ачылган. Бул түшүнүк графиктин тукуму жөнүндөгү түшүнүктү камтыйт: дескрипторлордун эң аз саны ж. Аны чөйрөнүн бетине кошуу керек жана аны кеңейтилген бетке четтери чокуларында гана бириге тургандай кылып киргизсе болот. Көрсө, Евклид мейкиндигинде кандайдыр бир багыт алган бетти белгилүү бир сандагы туткалары бар шар катары кароого болот.
Эйлер диаграммасы
Окумуштуу дагы бир ачылыш жасады, ал бүгүнкү күнгө чейин колдонулуп келет. Бул Эйлер диаграммасы деп аталган тегеректердин графикалык көрүнүшү, адатта, топтомдордун же топтордун ортосундагы мамилелерди сүрөттөө үчүн колдонулат. Диаграммалар, адатта, чөйрөлөр бири-бирине дал келген аймактарда аралашкан түстөрдү камтыйт. Комплекттер так тегерек же сүйрү менен берилген, бирок алар үчүн башка фигураларды да колдонсо болот. Киргизүү Эйлердин тегерекчелери деп аталган эллипстердин кабатталуусу менен көрсөтүлөт.
Алар топтомдорду жана чакан топтомдорду билдирет. Кайталанбаган чөйрөлөр өзгөчө болуп саналат. Эйлер диаграммалары башка графикалык көрсөтүүлөр менен тыгыз байланышта. Алар көп учурда чаташтырышат. Бул графикалык көрүнүш Венн диаграммасы деп аталат. Каралып жаткан топтомдорго жараша эки версия тең бирдей көрүнүшү мүмкүн. Бирок, Венн диаграммаларында бири-бирин кайталаган чөйрөлөр сөзсүз түрдө топтомдордун ортосундагы жалпылыкты көрсөтпөйт, бирок алардын энбелгилери жок болсо, мүмкүн болгон логикалык байланышты гана көрсөтөт.кесилишкен айлана. Эки вариант тең 1960-жылдардагы жаңы математикалык кыймылдын бир бөлүгү катары топтом теориясын окутуу үчүн кабыл алынган.
Ферма жана Эйлер теоремалары
Эйлер математика илиминде көрүнүктүү из калтырган. Алгебралык сандар теориясы анын аты менен аталган теорема менен байыган. Бул дагы бир маанилүү ачылыштын натыйжасы. Бул жалпы алгебралык Лагранж теоремасы деп аталат. Эйлердин аты Ферманын кичинекей теоремасы менен да байланыштуу. Анда айтылгандай, эгерде p жөнөкөй сан жана a бүтүн p менен бөлүнбөсө, анда:
ap-1 - 1 б. менен бөлүнөт
Кээде бир эле ачылыштын башка аталышы болот, көбүнчө чет элдик адабияттарда кездешет. Бул Ферманын Рождество теоремасы сыяктуу угулат. Кеп нерсе, ачылыш 1640-жылдын 25-декабрынын алдында бир окумуштуунун катынын аркасында белгилүү болду. Бирок билдирүүнүн өзү буга чейин жолуккан. Аны Альберт Жирард аттуу дагы бир окумуштуу колдонгон. Ферма өзүнүн теориясын далилдөөгө гана аракет кылган. Автор дагы бир катында чексиз түшүү ыкмасынан шыктанганын кыйытат. Бирок ал эч кандай далил келтирген жок. Кийинчерээк Эйдер да ушул эле ыкмага өткөн. Андан кийин - башка көптөгөн атактуу окумуштуулар, анын ичинде Лагранж, Гаусс жана Минкоски.
Идентификаторлордун өзгөчөлүктөрү
Ферматтын кичинекей теоремасы Эйлерге байланыштуу сандар теориясынан теореманын өзгөчө учуру деп да аталат. Бул теорияда Эйлердин иденттүүлүк функциясы n берилген бүтүн санга чейинки оң бүтүн сандарды санайт. Аларга карата эң сонунп. Сандар теориясындагы Эйлердин теоремасы гректин φ тамгасы менен жазылган жана φ(n) сыяктуу көрүнөт. Аны формалдуу түрдө 1 ≦ k ≦ n диапазонундагы k бүтүн сандардын саны катары аныктаса болот, алар үчүн эң чоң жалпы бөлүүчү gcd(n, k) 1 болот. φ(n) белгисин Эйлердин phi функциясы деп да атоого болот. Бул формадагы k бүтүн сандар кээде жалпы деп аталат. Сандардын теориясынын өзөгүндө Эйлердин бирдейлик функциясы мультипликативдик болуп саналат, башкача айтканда, эки m жана n сандары кош принциби болсо, анда φ(mn)=φ(m)φ(n) болот. Ал ошондой эле RSA шифрлөө системасын аныктоодо негизги ролду ойнойт.
Эйлер функциясы 1763-жылы киргизилген. Бирок ал кезде математик ал үчүн кандайдыр бир конкреттүү белги тандаган эмес. 1784-жылкы басылмада Эйлер бул функцияны кеңири изилдеп, аны көрсөтүү үчүн гректин π тамгасын тандаган. Жеймс Сильвестр бул өзгөчөлүк үчүн "тотал" деген терминди киргизген. Ошондуктан, ал Эйлердин жалпы суммасы деп да аталат. 1ден чоң n оң бүтүн сандын жалпы φ(n) n ге чейинки салыштырмалуу жай болгон nден кичине оң бүтүн сандардын саны.φ(1) 1 катары аныкталат. Эйлер функциясы же phi(φ) функциясы абдан маанилүү сан-теориялык функция жөнөкөй сандарга жана бүтүн сандардын тартиби деп аталган нерсеге терең байланыштуу.
