Штайнер теоремасы же инерция моментин эсептөө үчүн параллелдүү октор теоремасы

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Акыркы өзгөртүү: 2023-12-17 05:34

Айлануу кыймылын математикалык сүрөттөөдө системанын окко карата инерция моментин билүү маанилүү. Жалпы учурда бул санды табуу процедурасы интеграциялык процессти ишке ашырууну камтыйт. Штайнер теоремасы деп аталган нерсе эсептөөнү жеңилдетет. Аны макалада кененирээк карап чыгалы.

Инерция моменти деген эмне?

Штайнер теоремасынын формулировкасын берүүдөн мурун, инерция моменти түшүнүгүнүн өзү менен иштөө керек. Белгилүү бир массадагы жана эркин формадагы дене бар дейли. Бул дене же материалдык чекит, же кандайдыр бир эки өлчөмдүү же үч өлчөмдүү объект (стержен, цилиндр, шар ж.б.) болушу мүмкүн. Эгерде каралып жаткан нерсе α туруктуу бурчтук ылдамдануу менен кандайдыр бир огтун айланасында тегерек кыймыл жасаса, анда төмөнкү теңдемени жазууга болот:

M=Iα

Бул жерде M мааниси күчтөрдүн жалпы моментин билдирет, ал бүт системага α ылдамдануусун берет. Алардын ортосундагы пропорционалдык коэффициент - I, деп аталатинерция моменти. Бул физикалык чоңдук төмөнкү жалпы формула менен эсептелет:

I=∫_m (r²dm)

Бул жерде r - dm массасы бар элемент менен айлануу огунун ортосундагы аралык. Бул туюнтма квадраттык аралыктардын r² жана элементардык масса dm көбөйтүндүлөрүнүн суммасын табуу керектигин билдирет. Башкача айтканда, инерция моменти дененин аны сызыктуу инерциядан айырмалап турган таза мүнөздөмөсү эмес. Ал массанын айлануучу объект боюнча бөлүштүрүлүшүнө, ошондой эле огуна чейинки аралыкка жана ага карата дененин багытына жараша болот. Мисалы, таяк массанын борборуна жана учуна айланса, башкача I болот.

Инерция моменти жана Штайнер теоремасы

Белгилүү швейцариялык математик Якоб Штайнер параллелдүү октор жөнүндөгү теореманы жана азыр анын атын алып жүргөн инерция моментин далилдеген. Бул теорема кандайдыр бир айлануу огуна салыштырмалуу ыктыярдуу геометриянын абсолюттук каалаган катуу денеси үчүн инерция моменти дененин массасынын борбору менен кесилишкен огуна карата инерция моментинин суммасына барабар экенин жана биринчи ге параллелдүү экенин белгилейт., жана дене массасынын көбөйтүндүсү бул октордун ортосундагы аралыктын квадратына көбөйдү. Математикалык жактан бул формула төмөнкүчө жазылган:

I_Z=I_O + ml²

I_Z жана I_O - Z огуна жана ага параллель өтүүчү O огуна карата инерция моменттери дененин массасынын борбору аркылуу, l - Z жана O сызыктарынын ортосундагы аралык.

Теорема I_O маанисин билип, эсептөөгө мүмкүндүк беретбашка кез келген учур I_Z Ого параллелдүү огтун тегерегинде.

Теореманын далили

Штайнер теоремасынын формуласын өзүңүз оңой эле алууга болот. Бул үчүн, xy тегиздигинде эркин денени карап көрөлү. Координаталардын башталышы бул дененин массасынын борбору аркылуу өтсүн. Xy тегиздигине перпендикуляр координат башы аркылуу өткөн I_O инерция моментин эсептеп көрөлү. Дененин каалаган чекитине чейинки аралык r=√ (x² + y²) формуласы менен туюндурулгандыктан, интегралды алабыз:

I_O=∫_m (r²dm)=∫ м _((x2^+y2^{) dm)}

Эми окту x огу боюнча параллель l аралыкка жылдыралы, мисалы, оң багытта, анда инерция моментинин жаңы огу үчүн эсептөө төмөнкүдөй болот:

I_Z=∫_m(((x+l)²+y ²)dm)

Кашанын ичиндеги квадратты жайып, интегралдарды бөлсөк, биз:

алабыз

I_Z=∫_m ((x²+l ²+2xl+y²)dm)=∫_m ((x² +y²)dm) + 2l∫_m (xdm) + l ²∫_mdm

Бул терминдердин биринчиси I_O мааниси, үчүнчү мүчө интеграциядан кийин l²m терминин берет, жана бул жерде экинчи мүчө нөлгө барабар. Көрсөтүлгөн интегралдын нөлгө барабар болушу анын х жана dm масса элементтеринин көбөйтүндүсүнөн алынгандыгына байланыштуу, алорточо нөлдү берет, анткени массанын борбору башталгычта. Натыйжада Штайнер теоремасынын формуласы алынат.

Тегиздикте каралып жаткан окуя үч өлчөмдүү денеге жалпыланышы мүмкүн.

Стаяк мисалында Штайнер формуласын текшерүү

Жогорудагы теореманы кантип колдонуу керектигин көрсөтүү үчүн жөнөкөй мисал келтирели.

Узундугу L жана массасы m болгон таякча үчүн инерция моменти I_O (ок массанын борбору аркылуу өтөт) m ге барабар экендиги белгилүү. L² /12, жана I_Z учуру (ок таякчанын учунан өтөт) mL барабар 2^{/3. Келгиле, бул маалыматтарды Штайнер теоремасын колдонуп текшерели. Эки октун ортосундагы аралык L/2 болгондуктан, биз I}Z _{учурун алабыз:}

I_Z=I_O+ m(L/2)²=mL²/12 + mL²/4=4mL² /12=mL²/3

Башкача айтканда, Штайнер формуласын текшерип, I_Z үчүн булактагыдай эле маани алдык.

Ушундай эсептөөлөрдү башка денелер үчүн (цилиндр, шар, диск) жүргүзүүгө болот, ал эми инерциянын керектүү моменттерин алуу менен жана интеграцияны аткарбастан.

Инерция моменти жана перпендикуляр октор

Каралган теорема параллелдүү окторго тиешелүү. Маалыматтын толуктугу үчүн перпендикуляр октор үчүн теорема берүү да пайдалуу. Ал төмөнкүчө формулировкаланат: эркин формадагы жалпак нерсе үчүн ага перпендикуляр окко карата инерция моменти эки өз ара перпендикуляр жана жаткан эки инерция моментинин суммасына барабар болот.объектинин тегиздигинде үч огу бирдей чекит аркылуу өтөт. Математикалык жактан бул төмөнкүчө жазылган:

I_z=I_x + I_y

Бул жерде z, x, y үч өз ара перпендикуляр айлануу огу.

Бул теорема менен Штайнер теоремасынын негизги айырмасы анын жалпак (эки өлчөмдүү) катуу объекттерге гана колдонулаарында. Ошого карабастан, иш жүзүндө денени акыл-эси менен өзүнчө катмарларга бөлүп, андан кийин алынган инерция моменттерин кошуп, кеңири колдонулат.