Функция жана анын өзгөчөлүктөрүн изилдөө заманбап математиканын негизги бөлүмдөрүнүн бири. Ар кандай функциянын негизги компоненти болуп анын касиеттерин гана эмес, бул функциянын туундусунун параметрлерин да чагылдырган графиктер саналат. Келгиле, бул татаал теманы карап көрөлү. Демек, функциянын максималдуу жана минималдуу чекиттерин табуунун эң жакшы жолу кайсы?
Функция: Аныктоо
Башка маанинин маанилерине кандайдыр бир жол менен көз каранды болгон ар кандай өзгөрмө функция деп атоого болот. Мисалы, f(x2) функциясы квадраттык болуп саналат жана бүт x топтомунун маанилерин аныктайт. x=9 дейли, анда биздин функциянын мааниси 92=81ге барабар болот.
Функциялар ар кандай типте болот: логикалык, вектордук, логарифмдик, тригонометриялык, сандык жана башкалар. Аларды изилдөө менен Лакруа, Лагранж, Лейбниц жана Бернулли сыяктуу көрүнүктүү акылмандар алектенишкен. Алардын жазгандары функцияларды изилдөөнүн заманбап ыкмаларында таяныч болуп кызмат кылат. Минималдуу пункттарды табуудан мурун функциянын жана анын туундусунун маанисин түшүнүү абдан маанилүү.
Туунду жана анын ролу
Бардык функциялар баралардын өзгөрмө маанилерине жараша, алар каалаган убакта өз маанисин өзгөртө алат дегенди билдирет. Графикте бул y огу боюнча ылдыйлаган же көтөрүлгөн ийри сызык катары сүрөттөлөт (бул графиктин вертикалындагы "y" сандарынын бүтүндөй жыйындысы). Ошентип, функциянын максимум жана минимум чекитинин аныкталышы дал ушул «термелүүлөр» менен байланышкан. Келгиле, бул байланыш эмне экенин түшүндүрүп берели.
Кандайдыр бир функциянын туундусу анын негизги мүнөздөмөлөрүн изилдөө жана функция канчалык тез өзгөрөөрүн (б.а. «х» өзгөрмөсүнө жараша анын маанисин өзгөртүүнү) эсептөө үчүн графикке түшүрүлөт. Функция өскөн учурда анын туундусунун графиги да чоңоёт, бирок каалаган секундда функция азайа башташы мүмкүн, анан туундунун графиги азаят. Туунду минустан плюска карай кеткен чекиттер минималдуу чекиттер деп аталат. Минималдуу упайларды кантип табуу керектигин билүү үчүн туунду түшүнүгүн жакшыраак түшүнүшүңүз керек.
Туундуну кантип эсептөө керек?
Функциянын туундусун аныктоо жана эсептөө дифференциалдык эсептөөдөн бир нече түшүнүктөрдү билдирет. Жалпысынан, туундунун аныктамасын төмөнкүчө чагылдырууга болот: бул функциянын өзгөрүү ылдамдыгын көрсөткөн маани.
Көптөгөн студенттер үчүн аны аныктоонун математикалык жолу татаал көрүнөт, бирок чындыгында баары алда канча жөнөкөй. Сиз жөн гана ээрчишиңиз кереккандайдыр бир функциянын туундусун табуу үчүн стандарттык план. Төмөндө дифференциалдоо эрежелерин колдонбостон жана туунду таблицасын жаттабастан функциянын минималдуу чекитин кантип тапса болору сүрөттөлөт.
- Сиз графиктин жардамы менен функциянын туундусун эсептей аласыз. Бул үчүн функциянын өзүн сүрөттөө керек, андан кийин анын бир чекитине (сүрөттөгү А чекити) абсцисса огуна вертикалдуу ылдый сызык чийиңиз (x0 чекити) жана А чекитинде функциянын графигин тартыңыз. Абсцисса огу жана тангенс а бурчту түзөт. Функциянын канчалык ылдамдыкта өсүү маанисин эсептөө үчүн, бул бурчтун тангенсин эсептешиңиз керек a.
- Х огунун тангенси менен багытынын ортосундагы бурчтун тангенси функциянын А чекити бар кичинекей аймакта туундусу экени көрүнүп турат. Бул ыкма туундуну аныктоонун геометриялык жолу болуп эсептелет..
Функцияны изилдөө ыкмалары
Мектептин математика программасында функциянын минимум чекити эки жол менен табууга болот. Графиктин жардамы менен биз биринчи ыкманы талдап чыктык, бирок туундунун сандык маанисин кантип аныктоого болот? Бул үчүн, сиз туундунун касиеттерин сүрөттөгөн жана "x" сыяктуу өзгөрмөлөрдү сандарга айландырууга жардам берген бир нече формулаларды үйрөнүшүңүз керек болот. Төмөнкү ыкма универсалдуу, ошондуктан аны функциялардын дээрлик бардык түрлөрүнө (геометриялык да, логарифмдик дагы) колдонсо болот.
- Функцияны туунду функцияга теңеп, андан кийин эрежелерди колдонуу менен туюнтманы жөнөкөйлөтүү керекдифференциация.
- нөлгө бөлүү).
- Андан кийин, функциянын баштапкы формасын бүт туюнтманы нөлгө теңеп, жөнөкөй теңдемеге айландырышыңыз керек. Мисалы, эгерде функция мындай көрүнсө: f(x)=2x3+38x, анда дифференциалдоо эрежелери боюнча анын туундусу f'(x)=3x ге барабар. 2 +1. Анда бул туюнтманы төмөнкү формадагы теңдемеге айландырабыз: 3x2+1=0.
- Теңдемени чечип, «х» чекиттерин тапкандан кийин, аларды х огуна чийип, белгиленген чекиттердин ортосундагы бул аймактардагы туунду оң же терс экендигин аныктоо керек. Белгиленгенден кийин, функция кайсы учурда төмөндөй баштаганы, башкача айтканда, белгини минустан карама-каршыга өзгөртөт. Мына ушундай жол менен сиз минималдуу жана максималдуу упайларды таба аласыз.
Дифференциация эрежелери
Функцияны жана анын туундусун үйрөнүүнүн эң негизги бөлүгү – дифференциалдоо эрежелерин билүү. Алардын жардамы менен гана оор туюнтмаларды жана чоң татаал функцияларды өзгөртүүгө болот. Келгиле, алар менен таанышып көрөлү, алар абдан көп, бирок алардын бардыгы тең даражалык жана логарифмдик функциялардын регулярдуу касиеттеринен улам абдан жөнөкөй.
- Кандайдыр бир туруктуу чоңдуктун туундусу нөлгө барабар (f(x)=0). Башкача айтканда, f(x)=x5+ x - 160 туунду төмөнкү форманы алат: f' (x)=5x4+1.
- Эки мүчөнүн суммасынын туундусу: (f+w)'=f'w + fw'.
- Логарифмдик функциянын туундусу: (logad)'=d/ln ad. Бул формула логарифмдердин бардык түрлөрүнө тиешелүү.
- Даражанын туундусу: (x)'=nxn-1. Мисалы, (9x2)'=92x=18x.
- Синусоидалдык функциянын туундусу: (sin a)'=cos a. Эгерде а бурчтун күнөөсү 0,5 болсо, анын туундусу √3/2 болот.
Экстремум упайлар
Биз минимум чекиттерди кантип тапса болорун түшүндүк, бирок функциянын максималдуу чекиттери деген түшүнүк бар. Эгерде минимум функция минустан плюске өтүүчү чекиттерди билдирсе, анда максималдуу чекиттер x огундагы функциянын туундусу плюстен карама-каршыга өзгөргөн чекиттер болуп саналат - минус.
Сиз максимум упайларды жогоруда сүрөттөлгөн ыкманы колдонуп таба аласыз, алар функция азайа баштаган аймактарды билдирерин гана эске алуу керек, башкача айтканда, туунду нөлдөн аз болот.
Математикада эки түшүнүктү тең жалпылоо, аларды "экстремум чекиттери" деген сөз айкашы менен алмаштыруу салтка айланган. Тапшырма бул пункттарды аныктоону сураганда, бул функциянын туундусун эсептөө жана минималдуу жана максималдуу чекиттерди табуу керек экенин билдирет.
