Статистикалык модель – кээ бир үлгү маалыматтарын түзүү жөнүндө ар кандай божомолдордун жыйындысын камтыган математикалык проекция. Термин көбүнчө идеалдуу түрдө берилет.
Статистикалык моделде айтылган божомолдор ыктымалдык бөлүштүрүүнүн жыйындысын көрсөтөт. Алардын көбү белгилүү бир маалымат топтому алынып жаткан бөлүштүрүүнү туура болжолдоого арналган. Статистикалык моделдерге мүнөздүү болгон ыктымалдык бөлүштүрүү проекцияны башка математикалык модификациялардан айырмалап турат.
Жалпы проекция
Математикалык модель - белгилүү түшүнүктөрдү жана тилди колдонуу менен системанын сүрөттөлүшү. Алар табигый илимдерге (мисалы, физика, биология, жер таануу, химия) жана инженердик дисциплиналарга (мисалы, информатика, электротехника), ошондой эле коомдук илимдерге (экономика, психология, социология, саясат таануу сыяктуу) колдонулат.
Модель системаны түшүндүрүүгө жардам берет жанаар кандай компоненттердин таасирин изилдеп, жүрүм-турумга болжолдоолорду жасаңыз.
Математикалык моделдер динамикалык системаларды, статистикалык проекцияларды, дифференциалдык теңдемелерди же оюн-теориялык параметрлерди камтыган көптөгөн формаларды алышы мүмкүн. Бул жана башка түрлөрү бири-бирине дал келиши мүмкүн жана бул модель көптөгөн абстрактуу структураларды камтыйт. Жалпысынан алганда, математикалык проекциялар логикалык компоненттерди да камтышы мүмкүн. Көп учурларда илимий тармактын сапаты теориялык жактан иштелип чыккан математикалык моделдердин кайталанган эксперименттердин натыйжалары менен канчалык туура келишинен көз каранды. Теориялык процесстер менен эксперименталдык өлчөөлөрдүн ортосунда келишпестик көп учурда жакшыраак теориялар иштелип чыккандыктан маанилүү ийгиликтерге алып келет.
Физика илимдеринде салттуу математикалык модель төмөнкү элементтердин көп санын камтыйт:
- Башкаруу теңдемелери.
- Кошумча субмоделдер.
- Теңдемелерди аныктаңыз.
- Түзүүчү теңдемелер.
- Божомолдор жана чектөөлөр.
- Баштапкы жана чек ара шарттары.
- Классикалык чектөөлөр жана кинематикалык теңдемелер.
Формула
Статистикалык модель, эреже катары, бир же бир нече кокустук чоңдуктарды жана, балким, башка табигый өзгөрмөлөрдү бириктирген математикалык теңдемелер менен белгиленет. Ошо сыяктуу эле, проекция "түшүнүктүн формалдуу түшүнүгү" деп эсептелет.
Бардык статистикалык гипотезаларды текшерүү жана статистикалык баалоо математикалык моделдерден алынат.
Кириш
Формалдуу эмес, статистикалык моделди белгилүү бир касиети бар болжолдоо (же божомолдордун жыйындысы) катары кароого болот: ал кандайдыр бир окуянын ыктымалдыгын эсептөөгө мүмкүндүк берет. Мисал катары, кадимки алты жактуу сөөктөрдү карап көрөлү. Сөөк жөнүндө эки башка статистикалык божомолду изилдөө керек.
Биринчи божомол:
Ар бир сөөк үчүн сандардын бирин алуу ыктымалдыгы (1, 2, 3, 4, 5 жана 6): 1/6.
Бул божомолдон улам биз эки кубдун тең ыктымалдыгын эсептей алабыз: 1:1/6×1/6=1/36.
Жалпысынан, сиз кандайдыр бир окуянын ыктымалдыгын эсептей аласыз. Бирок, башка маанилүү эмес окуянын ыктымалдыгын эсептөө мүмкүн эмес экенин түшүнүү керек.
Биринчи пикир гана статистикалык математикалык моделди чогултат: бир гана божомол менен ар бир иш-аракеттин ыктымалдыгын аныктоого мүмкүн экендигине байланыштуу.
Жогорудагы үлгүдө баштапкы уруксат менен окуянын болушу мүмкүндүгүн аныктоо оңой. Кээ бир башка мисалдар менен, эсептөө кыйын же реалдуу эмес болушу мүмкүн (мисалы, көп жылдык эсептөөлөрдү талап кылышы мүмкүн). Статистикалык талдоо моделин иштеп чыккан адам үчүн мындай татаалдык алгылыксыз деп эсептелет: эсептөөлөрдү ишке ашыруу практикалык жактан мүмкүн эмес жана теориялык жактан мүмкүн эмес болууга тийиш.
Формалдуу аныктама
Математикалык терминдерде системанын статистикалык модели адатта жуп (S, P) катары каралат, мында Sмүмкүн болгон байкоолордун жыйындысы, б.а. үлгү мейкиндиги, жана P - S.
боюнча ыктымалдык бөлүштүрүүнүн жыйындысы
Бул аныктаманын интуициясы төмөнкүдөй. Белгилүү бир маалыматтарды жараткан процесстен келип чыккан "чыныгы" ыктымалдык бөлүштүрүлүшү бар деп болжолдонууда.
Орнотуу
Моделдин параметрлерин ошол өзү аныктайт. Параметрлөө жалпысынан ар кандай бөлүштүрүүнүн натыйжасында ар кандай маанилерди талап кылат, б.а.
тутуу керек (башкача айтканда, инъекциялык болушу керек). Талапка жооп берген параметрдөө идентификациялануучу деп айтылат.
Мисалы
Ар кандай курактагы студенттердин саны бар деп ойлойлу. Баланын бою стохастикалык түрдө туулган жылына байланыштуу болот: мисалы, мектеп окуучусу 7 жашка чыкканда, бул адамдын бою 3 сантиметрден жогору болушу үчүн гана өсүү ыктымалдыгына таасир этет.
Сиз бул ыкманы түз сызык регрессиянын моделине төмөнкүчө формалдата аласыз, мисалы: бийиктик i=b 0 + b 1agei + εi, мында b 0 - кесилишет, b 1 - кайсы курактагы параметр бийиктикке мониторинг алууда көбөйөт. Бул ката термини. Башкача айтканда, ал бийиктикти белгилүү бир ката менен жаш курагы боюнча алдын ала божомолдойт.
Жарактуу форма бардык маалымат пункттарына дал келиши керек. Ошентип, түз сызыктуу багыт (деңгээл i=b 0 + b 1agei) маалымат модели үчүн теңдеме болууга жөндөмдүү эмес - эгерде ал бардык пункттарга так жооп бербесе. Башкача айткандаэч кандай өзгөчөлүгү жок, бардык маалымат кемчиликсиз линияда жатат. εi катасынын чеги форма маалыматтын бардык пункттарына таптакыр дал келиши үчүн теңдемеге киргизилиши керек.
Статистикалык тыянак чыгаруу үчүн, адегенде ε i үчүн кээ бир ыктымалдык бөлүштүрүүнү кабыл алышыбыз керек. Мисалы, ε iнин бөлүштүрүлүшү нөлдүк орточо менен Гаусс формасына ээ деп болжолдоого болот. Бул учурда, модель 3 параметрге ээ болот: b 0, b 1 жана Гаусс бөлүштүрүүнүн дисперсиясы.
Моделди расмий түрдө (S, P) катары көрсөтсөңүз болот.
Бул мисалда модель S көрсөтүү менен аныкталат, андыктан P жөнүндө кээ бир божомолдорду жасоого болот. Эки вариант бар:
Бул өсүштү жаштын сызыктуу функциясы менен болжолдоого болот;
Жакындаштыруудагы каталар Гаусстын ичиндегидей бөлүштүрүлөт.
Жалпы эскертүүлөр
Моделдердин статистикалык параметрлери математикалык проекциянын өзгөчө классы болуп саналат. Бир түр башкасынан эмнеси менен айырмаланат? Демек, статистикалык модель детерминисттик эмес. Ошентип, анда математикалык теңдемелерден айырмаланып, айрым өзгөрмөлөр белгилүү бир мааниге ээ эмес, анын ордуна мүмкүнчүлүктөрдүн бөлүштүрүлүшүнө ээ. Башкача айтканда, жеке өзгөрмөлөр стохастикалык деп эсептелет. Жогорудагы мисалда ε стохастикалык өзгөрмө болуп саналат. Ансыз проекция детерминисттик болмок.
Статистикалык моделди түзүү көбүнчө материалдык процесс детерминисттик деп эсептелсе дагы колдонулат. Мисалы, монеталарды ыргытуу, негизинен, алдын ала белгилөөчү иш. Бирок, бул дагы эле көпчүлүк учурларда стохастикалык (Бернулли процесси аркылуу) моделделет.
Кониши менен Китагаванын айтымында, статистикалык моделдин үч максаты бар:
- Божомолдор.
- Маалымат казып алуу.
- Стохастикалык структуралардын сүрөттөлүшү.
Проекциянын өлчөмү
Статистикалык болжолдоо модели бар дейли, Эгер O чектүү өлчөмгө ээ болсо, модель параметрдик деп аталат. Чечимде сиз
деп жазышыңыз керек
мында k – оң бүтүн сан (R каалаган реалдуу сандарды билдирет). Бул жерде k моделдин өлчөмү деп аталат.
Мисалы катары, бардык маалыматтар бир өзгөрмөлүү Гаусс бөлүштүрүүдөн келип чыгат деп ойлосок болот:
Бул мисалда k өлчөмү 2.
Жана дагы бир мисал катары, маалыматтар (x, y) чекиттерден турат деп болжолдоого болот, алар Гаусс калдыктары менен түз сызыкта бөлүштүрүлөт (нөлдүк орточо менен). Анда статистикалык экономикалык моделдин өлчөмү 3кө барабар: сызыктын кесилиши, анын эңкейиши жана калдыктардын бөлүштүрүлүшүнүн дисперсиясы. Геометрияда түз сызыктын 1 өлчөмү бар экенин белгилей кетүү керек.
Жогорудагы маани техникалык жактан k өлчөмүнө ээ болгон жападан жалгыз параметр болсо да, ал кээде k айырмаланган маанилерди камтыйт деп эсептелет. Мисалы, бир өлчөмдүү Гаусс бөлүштүрүү менен, O 2 өлчөмү менен жалгыз параметр болуп саналат, бирок кээде эки камтыйт деп эсептелет.жеке параметр - орточо маани жана стандарттык четтөө.
Эгер O маанилеринин жыйындысы чексиз өлчөмдүү болсо, статистикалык процесс модели параметрлик эмес. Эгерде ал чектүү өлчөмдүү жана чексиз өлчөмдүү параметрлерге ээ болсо, ошондой эле жарым параметрдик болот. Формалдуу түрдө, эгер k O өлчөмү жана n үлгүлөрдүн саны болсо, жарым параметрдик жана параметрдик эмес моделдер
анда модель жарым-параметрдик болот. Болбосо, проекция параметрлик эмес.
Параметрдик моделдер эң көп колдонулган статистика. Жарым параметрлик жана параметрдик эмес проекцияларга байланыштуу сэр Дэвид Кокс мындай деди:
"Адатта, алар текстура жана таралуу формасы жөнүндө эң аз гипотезаларды камтыйт, бирок алар өзүн-өзү камсыз кылуу жөнүндө күчтүү теорияларды камтыйт."
Ишке салынган моделдер
Аларды көп деңгээлдүү проекциялар менен чаташтырбаңыз.
Эки статистикалык модель уя салынган, эгерде биринчинин параметрлерине чектөө коюу менен биринчисин экинчиге айландыруу мүмкүн болсо. Мисалы, бардык Гаусс бөлүштүрүүлөрүнүн топтому нөлдүк орточо бөлүштүрүүнүн уяланган топтомуна ээ:
Башкача айтканда, нөл орто менен бөлүштүрүүнү алуу үчүн бардык Гаусс бөлүштүрүүлөрүнүн топтомундагы ортону чектөө керек. Экинчи мисал катары, y=b 0 + b 1 x + b 2 x 2 + ε, ε ~N (0, σ 2) квадраттык моделинде y=камтылган сызыктуу модели бар. b 0 + b 1 x + ε, ε ~ N (0,σ 2) - б.а. b2 параметри 0гө барабар.
Бул эки мисалда тең биринчи модель экинчи моделге караганда чоңураак өлчөмдүүлүккө ээ. Бул көп учурда болот, бирок дайыма эле андай эмес. Дагы бир мисал, 2 өлчөмгө ээ болгон оң орто менен Гаусс бөлүштүрүүлөрүнүн жыйындысы.
Моделдерди салыштыруу
Байкалуучу маалыматтардын негизинде аны жараткан процесс тарабынан индукцияланган "чыныгы" ыктымалдык бөлүштүрүү бар деп болжолдонууда.
Ошондой эле моделдерди чалгындоочу талдоо же ырастоо аркылуу бири-бири менен салыштырса болот. Изилдөөчү анализде ар кандай моделдер түзүлөт жана алардын ар бири маалыматтарды канчалык жакшы сүрөттөй турганына баа берилет. Ырастоочу анализде мурда түзүлгөн гипотеза баштапкы менен салыштырылат. Бул үчүн жалпы критерийлерге P 2, Байес фактору жана салыштырмалуу ыктымалдуулук кирет.
Кониси менен Китагаванын ойлору
“Статистикалык математикалык моделдеги маселелердин көбүн болжолдоочу суроолор катары кароого болот. Алар адатта бир нече факторлордун салыштыруулары катары түзүлөт.”
Мындан тышкары, сэр Дэвид Кокс мындай деди: "Темадан котормо катары статистикалык моделдеги көйгөй көбүнчө анализдин эң маанилүү бөлүгү болуп саналат."
