Дифференциация жана интеграция: аныктамасы, түшүнүгү, формалары

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Акыркы өзгөртүү: 2024-01-08 04:57

Дифференциялоо жана интеграция туундуларды камтыган теңдеме. Акыркысы, математикалык касиеттерин кармансак, кадимки жана жеке болуп бөлүнөт. Туундулар өзгөрүү ылдамдыгын билдирет, ал эми дифференциалдык теңдеме жаңы өзгөрмөлөрдү түзүп, чечүү процессинде тынымсыз өзгөрүп турган чоңдуктун ортосундагы байланышты сүрөттөйт.

Университеттин профессору интегралдар менен татаал операцияларды оңой башкарып, аларды бир бүтүнгө айландыра алат, андан кийин тескери ыкма менен эсептөөнү далилдей алат. Бирок татаал формулалардын чоо-жайын тез эле эстеп калуу мүмкүнчүлүгү баарына эле жете бербейт, андыктан эс тутумуңузду жаңыртып же жаңы материалды табыңыз.

Мааниси жана негизги колдонулушу

Илимий адабияттарда туунду функция анын өзгөрмөлөрүнүн бирине негизделген трансформациялануучу ылдамдык катары аныкталат. Дифференциация - бул чекитке тангенсти издөөнүн башталышы менен салыштырууга болот эсептөөнүн маңызы. Белгилүү болгондой, акыркы ар кандай түрлөрү бар жанаиздөө үчүн эсептөө формулаларын талап кылат. P чекитиндеги графка тангенстин жантайышын табыш керек дейли. Муну кантип жасоо керек? Белгиленген объект аркылуу аркалык тилкени тартып, экиге бөлүнгөн сызык алганга чейин аны өйдө көтөрүү жетиштүү.

Эгерде f '(a) туундусу анын доменинин ар бир белгилөөсүндө бар болсо, x боюнча f функциясы x=a чекитинде дифференциалдануучу деп аталат. Мисал келтирели:

f '(а)=lim (h=0) × f(а + h) – f(а)/h

Теңдемени функциялардын дифференциациясына жана интегралына баш ийдирүү үчүн, анын жайгашуусу каалаган x чекитинде мүмкүн болушу үчүн, аны үзгүлтүккө учуратпоо керек. Алдын ала схемалык сүрөттү куруу менен, сиз билдирүүнүн тууралыгын текшере аласыз. Дал ушул себептен f'(x) домени анын чектеринин бар экендиги менен аныкталат.

y=f(x) хтин функциясы деп ойлойлу, анда f(x) туундусу dy/dx катары берилет. Ал ошондой эле сызыктуу теңдеме катары аныкталат, мында у боюнча керектүү маалыматтарды табуу керек.

Бирок, эгерде биз биринчи учурда у-нун туундусун издеп жаткан болсок, кийинки учурда биз xтин f(x) ын табышыбыз керек.

d/dx × (f(x)) l_a же df/dx l_a

Демек, f(x) функциясынын анын бетинде жаткан а чекитиндеги хга салыштырмалуу өзгөрүү ылдамдыгынын белгилениши.

Эгер доменинде дифференциалдануучу f' туундусун билсек, анда анын f маанисин таба алабыз. Интегралдык эсептөөдө f' функциясынын антитуунду же примитив деп атайбыз. Аны эсептөө ыкмасы дифференциацияга каршы деп аталат.же интеграция.

Түрлөр жана формалар

Көз карандысызга карата көз каранды өзгөрмөнүн туундуларын камтыган бир же бир нече терминден турган теңдеме дифференциал деп аталат. Башкача айтканда, ал чечүү процессинде өзгөрүлүүчү катардагы же жеке сандык маанилердин жыйындысынан турат.

Учурда дифференциалдык теңдемелердин төмөнкү түрлөрү бар.

Кадимки. Түздөн-түз өзгөрмөгө көз каранды жөнөкөй теңдик:

dy/dx + 5x=5y

Жарым-жартылай туундулар:

dy/dx + dy/dt=x³-t³

d²y/dx² – c² × d² y/dt²

Эң жогорку коэффициент. Бул түр төмөндөгү мисалда көрсөтүлгөндөй, дифференциалдык теңдеменин тартибине катышуу менен мүнөздөлөт, мында ал 3кө барабар. Сан катышкандардын эң чоңу болуп эсептелет:

d³y/dx^{2 + 5 × dy/dx + y=√x}

Функциялар бир нече формада болушу мүмкүн, бирок мүнөздүү интеграция жана дифференциация формулалары менен бир тырмакчаны колдонгон жакшы.

y’=dy/dx

y''=d²y/dx²

y'''=d³y/dx³

Сызыктуу. Теңдемедеги өзгөрмө бирдин даражасына көтөрүлөт. Мындай функциянын графиги көбүнчө түз сызык. Мисалы, (3x + 5), бирок (x³ + 4x^{2) мындай түргө жатпайт, анткени ал башка чечимди талап кылат.}

dy/dx + xy=5x

Сызыктуу эмес. Теңдикти алуунун кош жолдору менен катарлардын ар кандай интеграциясы жана дифференциациясы - каралып жаткан формага кайрылыңыз:

d²y/dx^{2- ln y=10}

Натыйжаларды тез алуу ыкмалары

Алган билимди иш жүзүндө кантип колдонсо болорун түшүнүү үчүн форманы карап коюу жетишсиз. Учурда дифференциалдык теңдемени чечүүнүн бир нече жолу бар.

Бул:

1. Өзгөрмөлөрдү бөлүү. Мисал dy / dx=f(y) g(x) катары тартылса аткарылат. Өзгөчөлүгү f жана g алардын маанилерине тиешелүү функциялар экендигинде. Ушундан улам, маселени өзгөртүү керек: 1/ f(y) dy=g(x) dx. Ошондо гана кийинки нерсеге өтүңүз.
2. Интеграциялоо фактору ыкмасы. Мисал dy / dx + p(x) y=q(x) болгондо колдонулат, мында p жана q бир гана x функциялары болуп саналат.

Биринчи тартиптеги дифференциалдык эсептөөлөр y'+ P(x) y=Q(x) сыяктуу көрүнөт, анткени алар керектүү функцияларды жана у туундусун камтыйт. Аталышынын кийинки көбөйүшү ошол эле принцип боюнча иштейт. Мисалы, белгисиз функциянын туундулары жеке да, жөнөкөй да болушу мүмкүн.

Белгисиз интегралдар

Эгерде тээп баратканда велосипедиңиздин ылдамдыгы убакытка жараша берилсе - сарпталган мүнөттөр менен басып өткөн жолду эсептей аласызбы? Бул милдет өтө чоң жүк сыяктуу көрүнөт, бирок интегралдарнатыйжаны алуу менен бул касиеттер менен мүмкүн болушунча натыйжалуу күрөшүүгө жардам бериңиз.

Илимий адабиятта алар дифференциациянын экинчи жагы экени баса белгиленет. Чынында эле, интеграция - бул нерселерди бириктирүү ыкмасы. Ал бөлүкчөлөрдү бириктирип, жаңы нерсени – бүтүндү түзөт. Ар кандай окшош мисалда негизги нерсе аныкталбаган интегралдарды табуу жана дифференциалдоо жолу менен интегралдашуу натыйжаларын текшерүү. Бул керексиз каталардан качууга жардам берет.

Эгер сиз кандайдыр бир кокус ийри сызыктын аянтын тапкыңыз келсе, мисалы, y=f(x), анда бул ыкманы колдонуңуз. Кылдаттык гана сизди катадан сактап калаарын унутпаңыз.

Чечимдин формулалары

Демек, дифференциация жана интеграциянын негизги түшүнүгү - функциялар аркылуу тескери эсептөө менен таанышкандан кийин, кээ бир негиздерди кыскача карап чыгуу зарыл. Алар төмөндө келтирилген.

Эсептөөнүн негизги эрежелери

F (x) сыяктуу интегралдык функцияларды оңой эле теңдикке которууга болот, эгерде теңдеме төмөнкүчө туюнтулса:

∫ f(x) dx=F(x) + C.

Бул жерде F (x) антитуунду же примитив деп аталат. f(x) - интеграл. dx - кошумча сандык агент катары иштейт. С - интегралдык же эркин константа. x - теңдик тарапка жараша аракеттенет.

Жогорудагы билдирүүдөн биз катарлардын интеграциясы жана дифференциалдалышы карама-каршы эки процесс деп жыйынтык чыгарсак болот. Алар биргелешип багытталган операциялардын бир түрү болуп саналаттеңдеменин өзүндө аткарылган акыркы натыйжаны алуу.

Эми биз эсептөөнүн өзгөчөлүктөрү жөнүндө көбүрөөк билгенден кийин, андан ары түшүнүү үчүн зарыл болгон негизги айырмачылыктарды бөлүп көрсөтүү сунушталат:

1. Дифференциялоо жана интеграция бир эле учурда сызыктуулуктун эрежелерин канааттандыра алат.
2. Операциялар эң так чечимди табууга багытталган, бирок алар чечкиндүүлүк үчүн чектөөлөрдү билдирет.
3. Көп мүчөлүү мисалды дифференциациялоодо натыйжа функциянын даражасынан 1ге аз болот, ал эми интегралдашууда алынган натыйжа башкага айланып, карама-каршы аракетте болот.
4. Чечимдин эки түрү, мурда айтылгандай, бири-бирине карама-каршы келет. Алар интегралдаштыруу жана дифференциациялоо формулалары аркылуу эсептелинет.
5. Кандайдыр бир функциянын туундусу уникалдуу, бирок, экинчи жагынан, эки интеграл, бир мисалда, туруктуу менен айырмаланышы мүмкүн. Дал ушул эреже тапшырмаларды аткаруудагы негизги кыйынчылыкты жаратат.
6. Туунду каражаттар менен иштөөдө биз туундуларды бир учурда карап көрсөк болот. Интегралдар сыяктуу эле, алар интервалдын ичинде функцияларды беришет.
7. Геометриялык жактан, туунду чоңдуктун башкага карата өзгөрүү ылдамдыгын сүрөттөйт, ал эми белгисиз интеграл ийри сызыкты билдирет. Ал параллелдүү багытта жайгаштырылган, ошондой эле тиштүү сызыктар өзгөрмөнүн огуна ортогоналдуу башкалары менен кесилишкенде тангенстерге ээ.

Кошуу ыкмалары

Эгерде сизде суммалоо кандайча колдонулаары менен көйгөй болуп жатсаИнтеграцияны дифференциациялоонун математикалык операциялары үчүн негизги формулалар менен кылдат таанышуу керек. Алар окутууда аксиома болуп саналат, ошондуктан алар бардык жерде колдонулат. Өзүңүздүн мисалдарыңызга колдонулганда, формулалар i=1 менен башталса гана туура болорун эске алыңыз.

Бир-бирден чечим

Кээде функция акыркы жыйынтыкка жетүү жана теңдик шарттарын канааттандыруу үчүн стандарттуу эмес мамилени талап кылат. Мөөнөттүү интегралдоо жана катарларды дифференциалдоо бирдейликке негизделет, ал төмөнкү менен туюндурулат: ∫ f(x) g'(x) dx=f (x) g(x) - ∫ f'(x) g(x) dx

Каралып жаткан техниканын алгоритми мындай көрүнөт:

1. Интегралдык функцияны эки туюнтумдун продуктусу катары туюнт. Алардын бирин f (x), экинчисин g' (x) деп белгилейли.
2. Эми биринчи абзацта колдонула турган башка эки формуланы аныктоого өтүңүз. Линия өзгөрөт. Дифференциациялоо жолу менен f(x) туюнтмаларын алуу үчүн f '(x) ды өзгөртөбүз. Башка бөлүккө өтөбүз - g (x) g'(x) менен интеграцияланган. Бул учурда dx баштапкы түрүндө калат жана колдонулбайт.
3. Алынган туюнтмаларды формулага бөлүктөргө бөлүп киргизиңиз. Ушуну менен процедура аяктайт, эми сиз оң жактагы жаңы интегралды баалоого аракет кылсаңыз болот, анткени аны түшүнүү бир топ жеңил болуп калды.

Буга чейин бул ыкма матрицаны колдонуу менен бөлүктөрү боюнча интеграцияны камтыган. Метод ийгиликтүү болду, бирок көп убакытты талап кылды, анткени учурда ал азыраак колдонулат, өзгөчөчечим табуу дээрлик мүмкүн болбогон учурларда. Бул үчүн, жөн гана биринчи сапка f жана g' сандарын коюп, экинчисинде f ' жана g'ди эсептеңиз.

Эмне үчүн бизге бөлүктөрү боюнча интеграция керек?

Кырдаалдар башкача болот. Кээде чечимдер биринчи караганда бир топ кыйын. Демек, даражалык катарларды мөөнөттүү интеграциялоодо жана дифференциациялоодо көп кездешкен негизги көйгөйлөрдү бөлүп көрсөтүү зарыл. Эки негизги эрежени карап көрүңүз.

Биринчиден, биз интеграциялоого ниеттенген бөлүк, башкача айтканда, g '(x) үчүн тандалган бөлүгү, биз өзгөртө алышыбыз керек. Муну мүмкүн болушунча тезирээк жасоо маанилүү. Кеп g үчүн комплекстүү интеграция сейрек жакшыртылган интегралга алып келет, татаалдыгын жогорулатат. Мунун баары чечимдерди кабыл алууда биздин иш-аракеттерибиздин эркиндигине терс таасирин тийгизет, ошондой эле ыйгарым укуктарга, синустарга жана косинустарга көз каранды. Туура жоопту табуу үчүн убакыт керек, бирок башаламан жоопко эмес, туура жоопко алып барыңыз.

Экинчиден, башканын баары, башкача айтканда, биз дифференциялап, F деп белгилей турган бөлүк трансформациядан кийин байкаларлык түрдө өзгөчөлөнүп турушу керек. Жөнөкөй процедурадан кийин биз жаңы интеграл мурункусуна караганда жөнөкөйлөштүрүлгөнүн байкайбыз.

Ошентип, биз эки эрежени бириктирип, аны чечүү үчүн колдонгондо, күч функцияларын дифференциялоону жана интеграциялоону колдонуу мүмкүнчүлүгүнө ээ болобуз, муну бөлүктөргө бөлүп кароонун мааниси бар.

Ошондой эле ар кандай трансформацияларды эффективдүү колдонууга мүмкүндүк берген xти алып салуу жолу бар.кырдаалдар. Мисалы, функцияны көп мүчөгө көбөйтүү аркылуу оңой интегралдасак болот, аны дифференциациялоо менен жокко чыгарабыз.

∫ x^{2 sin(3x) dx}

∫ x^{7 cos(x) dx}

∫x⁴ e^{4x dx}

f үчүн биз хтин күчүн алабыз (жалпысынан алганда, көп мүчө), ошондой эле g' колдонобуз. Албетте, ар бир дифференциация сандын даражасын бирге азайтат, ошондуктан, эгерде мисалда ал жетишерлик жогору болсо, бир нече жолу терминдер боюнча интеграцияны колдонуңуз. Бул убакытты үнөмдөөгө жардам берет.

Айрым теңдемелердин татаалдыгы

Мында сөз күч катарларынын дифференциациясы жана интеграциясы жөнүндө болуп жатат. Функцияны x чекиттердин жакындашуу аралыгынын аянты катары кароого болот. Ырас, ыкма баарына ылайыктуу эмес. Чынында, бардык функцияларды сызыктуу түзүлүшкө айландыруучу даражалык катар катары көрсөтүүгө болот жана тескерисинче.

Мисалы, e_{x берилген. Биз аны теңдеме катары көрсөтө алабыз, ал чындыгында чексиз көп мүчө. Эсептөө аркылуу кубаттуулук сериясын көрүү оңой, бирок ал дайыма эле натыйжалуу боло бербейт.}

Анык интеграл сумманын чеги катары

Төмөнкү графикалык интеграцияны жана дифференциацияны караңыз.

Татаал функцияны оңой түшүнүү үчүн аны жакшылап түшүнүү жетиштүү. y=f (x) ийри сызыгынын, х огу менен "x=a" жана "x=b" координаттарынын ортосундагы PRSQP аянтын баалайлы. Эми [a, b] интервалын төмөнкү менен белгиленген 'n' барабар суб интервалдарга бөлүңүзошентип:

[x₀, x₁], [x₁, x ₂], [x₂, x₃]…. [x_{n - 1}, x_].

Бул жерде x₀=a, x₁=a + h, x₂=a + 2с, x₃=a + 3с….. x_r=a + rh жана x =b=a + nh же n=(b - a) / h. (бир).

Н → ∞ h → 0 катары эске алыңыз.

Каралып жаткан PRSQP мейкиндиги – бул бардык "n" субдомендердин суммасы, мында ар бири белгилүү бир орточолукта аныкталган [x_r-1, x_{r], r=1, 2, 3…n. Туура мамиле менен, бул функцияларды тез чечүү үчүн дифференциялоого жана интеграциялоого болот.}

Эми сүрөттөгү АБДМди караңыз. Анын негизинде аймактар боюнча төмөнкүдөй байкоо жүргүзүү сунушталат: (ABLC) < (ABDCA) < (ABDM).

Ошондой эле h → 0 же x_r - x_{r-1 → 0 болгондо, үч аймак тең дээрлик бири-бирине барабар болорун эске алыңыз дос. Ошондуктан, бизде:}

s =h [f(x₀) + f(x₁) + f (x₂) + …. f(x_{n – 1})]=h _r=0∑^n–1 f(x r_{) (2)}

же S =h [f(x₁) + f(x₂) + f(x₃) + …. f(x)]=h _r=1∑ f(x_{r) (3)}

Мында s жана S [х интервалдарынан жогору көтөрүлгөн бардык төмөнкү жана жогорку тик бурчтуктардын аянттарынын суммасын билдирет. _r–1, x_{r] r=1, 2, 3, …, n тиешелүүлүгүнө жараша. Муну перспективага киргизүү үчүн (1) теңдемени кайра жазууга болотформа:}

s < аймак аймагы (PRSQP) < S_{… (4)}

Мындан тышкары, (2) жана (3) чектик маанилер эки учурда тең бирдей жана ийри сызыктын астындагы аянт гана жалпы деп болжолдонууда. Натыйжада, бизде:

lim_{n → ∞} S =lim_{n → ∞} s=PRSQP аймактары=∫_a^{b f(x) dx … (5)}

Аян ошондой эле ийри сызыктын астындагы жана үстүндөгү тик бурчтуктардын ортосундагы боштуктун чеги. Ыңгайлуу болуу үчүн, ар бир субинтервалдын сол четиндеги ийри сызыкка барабар фигуранын бийиктигине көңүл буруш керек. Демек, теңдеме акыркы версияга кайра жазылат:

∫_a^b f(x) dx=lim _{→ ∞h [f(a) + f(a + h) + …. + f(a + {n - 1}с)]}

же ∫_a^b f(x) dx=(b – a) lim_{n → ∞(1/n) [f(a) + f(a + h) + …. + f(a + {n - 1}с)]}

Тыянак

Диференциация жана интеграция бири-биринен бир катар касиеттери, формулалары жана карама-каршы өзгөрүүлөрү менен айырмаланат. Жардамсыз бири экинчисине айланышы мүмкүн эмес. Эгерде дифференциация туундуну табууга жардам берсе, интеграция такыр башка иш-аракетти аткарат. Ал кээ бир бөлүктөрүн кошот, аларды кыскартуу менен даражаларга жардам берет же мисалды жөнөкөйлөтүү менен жакшыртат.

Ошондой эле дифференцияланган теңдемелерди текшерүү үчүн колдонулат. Башкача айтканда, алар бири-бирин толуктап тургандыктан, өз-өзүнчө жанаша жашай албаган бир бүтүндүк катары аракеттенишет. Эрежелерди колдонуу, көптөгөн ыкмаларды билүү, эми сиз чечүүгө кепилдик бересизтатаал тапшырмалар.