Сан системалары - бул эмне? Бул суроонун жообун билбей туруп, ар бирибиз турмушубузда эрксизден сан системаларын колдонобуз жана андан шектенбейбиз. Туура, көптүк! Башкача айтканда, бир эмес, бир нече. Позициялуу эмес сан системаларына мисал келтирүүдөн мурун бул маселени түшүнүп алалы, позициялык системалар жөнүндө да сүйлөшөлү.
Эсеп-фактура керек
Байыркы доорлордон бери эле адамдар санаганга муктаж болушкан, башкача айтканда, алар кандайдыр бир жол менен нерселердин жана окуялардын сандык көрүнүшүн билдирүү керек экенин интуитивдик түрдө түшүнүшкөн. Мээ саноо үчүн объектилерди колдонуу зарыл экенин сунуштады. Манжалар ар дайым эң ыңгайлуу болуп келген жана бул түшүнүктүү, анткени алар ар дайым жеткиликтүү (сейрек учурларды эске албаганда).
Ошентип, адамзаттын байыркы өкүлдөрү манжаларын түз мааниде - мисалы, өлтүрүлгөн мамонттордун санын көрсөтүү үчүн ийиш керек болчу. Каттоо эсебинин мындай элементтеринин аталышы жок эле, болгону визуалдык сүрөт, салыштыруу.
Заманбап позициялык санауу системалары
Сан системасы – бул белгилүү белгилерди (символдор же тамгалар) колдонуу менен сандык маанилерди жана чоңдуктарды көрсөтүүнүн ыкмасы (жолу).
Позициялык эмес санауу системаларына мисалдарды келтирүүдөн мурун санаганда позициялык жана позициялык эмес деген эмнени түшүнүү керек. Көптөгөн позициялык санауу системалары бар. Азыр билимдин ар кандай тармактарында төмөнкүлөр колдонулат: бинардык (эки гана маанилүү элементтерди камтыйт: 0 жана 1), он алтылык (символдордун саны - 6), сегиздик (белгилер - 8), он экилик (он эки белги), он алтылык (он алты камтыйт) каармандар). Мындан тышкары, системалардагы символдордун ар бир сабы нөлдөн башталат. Заманбап компьютердик технологиялар экилик коддорду – экилик позициялык санауу системасын колдонууга негизделген.
Ондук сан системасы
Позициялуулук – бул сандын белгилери жайгашкан ар кандай даражадагы олуттуу позициялардын болушу. Муну ондук сан системасынын мисалы аркылуу көрсөтүүгө болот. Анткени, биз аны бала кезибизден колдонууга көнүп калганбыз. Бул системада он белги бар: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. 327 санын алгыла. Анын үч белгиси бар: 3, 2, 7. Алардын ар бири өз позициясы (жер). Жети бир маанилер (бирдиктер) үчүн сакталган позицияны ээлейт, экөө - ондуктар, үчөө - жүздүктөр. Сан үч орундуу болгондуктан, анда үч гана орун бар.
Жогорудагылардын негизинде, булүч орундуу ондук сан төмөнкүчө сүрөттөлүшү мүмкүн: үч жүз, эки ондук жана жети бирдик. Мындан тышкары, позициялардын маанилүүлүгү (маанилүүлүгү) солдон оңго, алсыз позициядан (бир) күчтүүрөөккө (жүздөргө) чейин эсептелет.
Ондук позициялык сан системасында өзүбүздү абдан ыңгайлуу сезебиз. Колубузда он бармак, бутубузда да ошондой. Беш плюс беш - демек, манжалардын жардамы менен биз бала кезинен ондогондорду оңой элестете алабыз. Ошондуктан балдарга бешке жана онго көбөйтүү таблицаларын үйрөнүү оңой. Ошондой эле банкнотторду санаганды үйрөнүү абдан оңой, алар көбүнчө бешке жана онго эселенген (б.а. калдыксыз бөлүнгөн).
Башка позициялык санауу системалары
Көпчүлүктү таң калтыргандай, ондук саноо системасында гана эмес, мээбиз кээ бир эсептөөлөрдү жасоого көнүп калганын айтуу керек. Ушул убакка чейин адамзат алты жана он эки ондук сан системасын колдонуп келген. Башкача айтканда, мындай системада алты гана символ бар (он алтылык системада): 0, 1, 2, 3, 4, 5. Он экиде алардын он экиси бар: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, мында A - 10 санын, B - 11 санын билдирет (анткени белги бир болушу керек).
Өзүңүзгө баа бериңиз. Биз убакытты алтыга бөлөбүз, туурабы? Бир саат алтымыш мүнөт (алты он эки), бир күн жыйырма төрт саат (эки эсе он эки), бир жыл он эки ай ж.б.у.с… Бардык убакыт интервалдары оңой эле алты жана он эки эселик катарга туура келет. Бирок биз ага ушунчалык көнүп калгандыктан, убакытты эсептеп жатканда ал жөнүндө ойлонбойбуз да.
Позициялык эмес сан системалары. Бирдиктүү
Бул эмне экенин аныктоо керек - позициялык эмес сан системасы. Бул сандын белгилери үчүн позициялар жок, же санды "окуу" принциби позициядан көз каранды болбогон белги системасы. Анын жазуу же эсептөө үчүн да өз эрежелери бар.
Позициялык эмес сан системаларына мисалдарды келтирели. Антикке кайрылалы. Адамдарга эсеп керек болуп, эң жөнөкөй ойлоп табуу - түйүндөрдү ойлоп табышты. Позициялуу эмес санауу системасы түйүндүү. Бир буюмду (бир мүшөк күрүч, өгүз, чөп ж.б.у.с.), мисалы, сатып алууда же сатууда санап, жипке түйүп коюшчу.
Натыйжада, арканга ошончо кап күрүч сатып алынса, ошончо түйүн жасалган (мисалы). Бирок ал жыгач таякчадагы, таш плитадагы оюктар жана башкалар болушу мүмкүн. Мындай санауу системасы түйүндүү деп аталып калган. Анын экинчи аты бар - унардык же бойдок ("uno" латынча "бир" дегенди билдирет).
Бул санауу системасы позициялык эмес экени көрүнүп турат. Анткени, ал (кызмат) бир эле болуп турганда, кандай кызматтар жөнүндө сөз кылууга болот! Кызык жери, Жердин айрым бөлүктөрүндө унардык позициялык эмес санауу системасы дагы эле колдонулууда.
Ошондой эле позициялык эмес санауу системалары төмөнкүлөрдү камтыйт:
- Рим (тамгалар сандарды жазуу үчүн колдонулат - латын тамгалары);
- байыркы Египет (римдикине окшош символдор да колдонулган);
- алфавит (алфавиттин тамгалары колдонулган);
- Вавилонский (клинопись - түз колдонулат жанатескери "клин");
- Грекче (алфавиттик деп да аталат).
Рим сандар системасы
Байыркы Рим империясы, ошондой эле анын илими абдан прогрессивдүү болгон. Римдиктер дүйнөгө илимдин жана искусствонун көптөгөн пайдалуу ойлоп табууларын, анын ичинде алардын эсептөө системасын беришти. Эки жүз жыл мурун рим цифралары бизнес документтериндеги суммаларды белгилөө үчүн колдонулган (ошондуктан жасалмалоодон сактанган).
Римдик санап - позициялык эмес санауу системасынын мисалы, биз аны азыр билебиз. Ошондой эле, Рим системасы жигердүү колдонулат, бирок математикалык эсептөөлөр үчүн эмес, тар багытталган иш-аракеттер үчүн. Мисалы, Рим цифраларынын жардамы менен китеп басылмаларында тарыхый даталарды, кылымдарды, томдордун, бөлүмдөрдүн жана бөлүмдөрдүн номерлерин белгилөө адатка айланган. Римдик белгилер көбүнчө сааттын терүүчүлөрүн кооздоо үчүн колдонулат. Жана ошондой эле римдик санап чыгуу позициялык эмес сан системасынын мисалы болуп саналат.
Римдиктер сандарды латын тамгалары менен белгилешкен. Болгондо да белгилүү бир эрежелерге ылайык сандарды жазып алышкан. Римдик сан системасында негизги символдордун тизмеси бар, анын жардамы менен бардык сандар эч кандай өзгөчөлүктөрсүз жазылган.
| Сан (ондук) | Рим саны (латын алфавитинин тамгасы) |
| 1 | I |
| 5 | V |
| 10 | X |
| 50 | L |
| 100 | C |
| 500 | D |
| 1000 | M |
Сандарды түзүү эрежелери
Керектүү сан белгилерди (латын тамгаларын) кошуп, алардын суммасын эсептөө менен алынды. Келгиле, белгилер Рим системасында кандайча символикалык түрдө жазылганын жана аларды кантип «окуу» керектигин карап көрөлү. Римдик позициялык эмес сан тутумундагы сандын пайда болушунун негизги мыйзамдарын санап көрөлү.
- Төрт - IV саны эки белгиден турат (I, V - бир жана беш). Ал сол жакта болсо, чоңураак белгиден кичирээк белгини кемитүү менен алынат. Кичинекей белги оң жакта жайгашканда, кошуу керек, андан кийин алты санын аласыз - VI.
- Бири-бирине окшош эки белгини кошуу керек. Мисалы: SS - 200 (C - 100), же XX - 20.
- Эгер сандын биринчи белгиси экинчиден кичине болсо, анда бул катардагы үчүнчү символ мааниси биринчиден да кичине болгон символ болушу мүмкүн. Чаташтырбоо үчүн бул жерде бир мисал келтирилген: CDX - 410 (ондук менен).
- Кээ бир чоң сандар ар кандай жолдор менен берилиши мүмкүн, бул римдик эсептөө системасынын кемчиликтеринин бири. Бул жерде кээ бир мисалдар келтирилген: MVM (Рим)=1000 + (1000 - 5)=1995 (ондук) же MDVD=1000 + 500 + (500 - 5)=1995. Бул баары эмес.
Арифметикалык трюктар
Позициялык эмес санауу системасы кээде сандарды түзүү, аларды иштетүү (аларга жасалган аракеттер) эрежелеринин татаал жыйындысы болуп саналат. Позициялуу эмес санауу системаларында арифметикалык амалдар оңой эмесзаманбап адамдар үчүн. Байыркы Рим математиктерине көз артпайбыз!
Кошумча мисал. Келгиле, эки санды кошконго аракет кылалы: XIX + XXVI=XXXV, бул тапшырма эки этапта аткарылат:
- Биринчи - сандардын кичине бөлчөктөрүн алып, кошуңуз: IX + VI=XV (Vдан кийин I жана Xден мурун I бири-бирин "кыйратат").
- Экинчи - эки сандын чоң бөлчөктөрүн кошуу: X + XX=XXX.
Кемирүү бир аз татаалыраак. Кыскартыла турган санды түзүүчү элементтерге, андан кийин кыскартыла турган жана кемите турган санда кайталануучу символдорго бөлүү керек. 500дөн 263тү кемитүү:
D - CCLXIII=CCCCLXXXXVIIII - CCLXIII=CCXXXVII.
Рим сандарын көбөйтүү. Айтмакчы, римдиктерде арифметикалык амалдардын белгилери болгон эмес, алар жөн гана сөз менен белгилешкен.
Бир нече санды көбөйтүүчүнүн ар бир жеке белгисине көбөйтүү керек болчу, натыйжада бир нече өнүмдөрдү кошууга туура келди. Көп мүчөлөр ушинтип көбөйтүлөт.
Бөлүнүүгө келсек, римдик сан системасындагы бул процесс эң татаал болгон жана болуп кала берет. Бул жерде байыркы Рим абакусу колдонулган. Аны менен иштөө үчүн адамдар атайын даярдалган (андай илимди ар бир эле адам өздөштүрө алган эмес).
Позициялуу эмес системалардын кемчиликтери жөнүндө
Жогоруда айтылгандай, позициялык эмес санауу системаларынын кемчиликтери, колдонуудагы ыңгайсыздыктары бар. Бирдик жөнөкөй эсептөө үчүн жетиштүү жөнөкөй, бирок арифметикалык жана татаал эсептөөлөр үчүн андай эмес.жакшы.
Рим тилинде көп сандардын пайда болушунун бирдиктүү эрежелери жок жана башаламандык пайда болот жана андагы эсептөөлөрдү жүргүзүү да абдан кыйын. Ошондой эле, байыркы римдиктер өз ыкмасы менен жаза алган эң чоң сан 100 000 болгон.
