Сызык жана тегиздик - 2D жана 3D мейкиндигинде ар кандай фигураларды куруу үчүн колдонула турган эң маанилүү эки геометриялык элемент. Параллель сызыктар менен параллель тегиздиктердин ортосундагы аралыкты кантип тапса болорун карап көрүңүз.
Математика тапшырмасы түз сызык
Мектептин геометрия курсунан эки өлчөмдүү тик бурчтуу координаттар системасында сызыкты төмөнкү формада көрсөтүүгө болоору белгилүү:
y=kx + b.
Бул жерде k жана b сандар (параметрлер). Тегиздикте сызыкты көрсөтүүнүн жазуу түрү үч өлчөмдүү мейкиндикте z огуна параллелдүү тегиздик болуп саналат. Ушуну эске алып, бул макалада түз сызыкты математикалык жактан дайындоо үчүн биз ыңгайлуураак жана универсалдуу форманы – вектордук форманы колдонобуз.
Биздин сызыгыбыз кандайдыр бир u¯(a, b, c) векторуна параллель жана P(x0,чекити аркылуу өтөт деп ойлойлу.y0, z0). Бул учурда вектордук формада анын теңдемеси төмөнкүчө чагылдырылат:
(x, y, z)=(x0, y 0, z0) + λ(a, b, c).
Бул жерде λ каалаган сан. Жазылган туюнтманы кеңейтүү менен координаттарды ачык көрсөтсөк, анда түз сызыкты жазуунун параметрдик формасын алабыз.
Параллель сызыктардын ортосундагы аралыкты аныктоо зарыл болгон ар кандай маселелерди чечүүдө вектордук теңдеме менен иштөө ыңгайлуу.
Сызыктар жана алардын ортосундагы аралык
Сиздердин ортосундагы аралык жөнүндө алар параллель болгондо гана айтуунун мааниси бар (үч өлчөмдүү учурда, ийри сызыктардын ортосунда нөлдөн башка аралык да бар). Эгерде сызыктар кесилишкен болсо, анда алар бири-биринен нөл аралыкта экени көрүнүп турат.
Параллдуу сызыктардын ортосундагы аралык - аларды бириктирүүчү перпендикулярдын узундугу. Бул көрсөткүчтү аныктоо үчүн сызыктардын биринен каалаган чекитти тандап, андан башкасына перпендикуляр түшүрүү жетиштүү.
Келгиле, керектүү аралыкты табуу процедурасын кыскача сүрөттөп берели. Төмөнкү жалпы формада берилген эки сызыктын вектордук теңдемелерин билебиз дейли:
(x, y, z)=P + λu¯;
(x, y, z)=Q + βv¯.
Бул сызыктарга бир тарабы PQ, экинчиси, мисалы, u болгудай кылып параллелограммды түзгүлө. Албетте, бул фигуранын бийиктиги, P чекитинен тартылган, талап кылынган перпендикулярдын узундугу. Аны табуу үчүн, сиз төмөнкү жөнөкөй колдоно аласызформула:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
Түз сызыктардын ортосундагы аралык алардын ортосундагы перпендикуляр сегменттин узундугу болгондуктан, жазылган туюнтмага ылайык, PQ¯ жана u¯ вектордук көбөйтүндүсүнүн модулун таап, натыйжаны төмөнкүгө бөлүү жетиштүү. u¯ векторунун узундугу.
Түз сызыктардын ортосундагы аралыкты аныктоо тапшырмасынын мисалы
Эки түз сызык төмөнкү вектордук теңдеме менен берилген:
(x, y, z)=(2, 3, -1) + λ(-2, 1, 3);
(x, y, z)=(1, 1, 1) + β(2, -1, -3).
Жазылган туюнтмалардан эки параллелдүү сызык бар экени көрүнүп турат. Чынында эле, эгерде биз биринчи саптын багыт векторунун координаталарын -1ге көбөйтсө, экинчи сызыктын багыт векторунун координаталарын алабыз, бул алардын параллелдүүлүгүн көрсөтөт.
Түз сызыктардын ортосундагы аралык макаланын мурунку абзацында жазылган формула боюнча эсептелет. Бизде:
P(2, 3, -1), Q(1, 1, 1)=>PQ¯=(-1, -2, 2);
u¯=(-2, 1, 3).
Анда биз: алабыз
|u¯|=√14см;
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|=√(90/14)=2,535 см.
Маселени чечүү үчүн P жана Q чекиттеринин ордуна бул сызыктарга тиешелүү бардык чекиттерди колдонсо болорун эске алыңыз. Бул учурда, биз бирдей аралыкты алабыз d.
Геометрияда тегиздик коюу
Сиздердин ортосундагы аралык жөнүндөгү маселе жогоруда кеңири талкууланган. Эми параллель тегиздиктердин ортосундагы аралыкты кантип тапса болорун көрсөтөлү.
Учак деген эмне экенин ар бир адам билдирет. Математикалык аныктамага ылайык, көрсөтүлгөн геометриялык элемент чекиттердин жыйындысы болуп саналат. Мындан тышкары, эгерде сиз бул чекиттерди колдонуп бардык мүмкүн болгон векторлорду түзсөңүз, анда алардын баары бир векторго перпендикуляр болот. Акыркысы адатта учак үчүн нормалдуу деп аталат.
Үч өлчөмдүү мейкиндикте тегиздиктин теңдемесин көрсөтүү үчүн көбүнчө теңдеменин жалпы формасы колдонулат. Бул мындай көрүнөт:
Ax + By + Cz + D=0.
Мында баш латын тамгалары кээ бир сандар. Мындай тегиздик теңдемени колдонуу ыңгайлуу, анткени анда нормалдуу вектордун координаттары ачык берилген. Алар A, B, C.
Эки тегиздиктин нормалдары параллель болгондо гана параллелдүү экенин көрүү оңой.
Эки параллелдүү тегиздиктин ортосундагы аралыкты кантип тапса болот?
Белгиленген аралыкты аныктоо үчүн эмне коркунучта экенин так түшүнүшүңүз керек. Бири-бирине параллель болгон тегиздиктердин ортосундагы аралык деп аларга перпендикуляр болгон сегменттин узундугу түшүнүлөт. Бул сегменттин учтары учактарга таандык.
Мындай маселелерди чечүү алгоритми жөнөкөй. Бул үчүн, сиз эки тегиздиктин бирине тиешелүү такыр каалаган чекиттин координаталарын табышыңыз керек. Анда бул формуланы колдонушуңуз керек:
d=|Ax0+ By0+Cz0+ D|/√(A2 + B2 + C2).
Аралык оң маани болгондуктан, модулдун белгиси санда. Жазылган формула универсалдуу, анткени ал тегиздиктен каалаган геометриялык элементке чейинки аралыкты эсептөөгө мүмкүндүк берет. Бул элементтин бир чекитинин координаталарын билүү жетиштүү.
Толуктоо үчүн, эгерде эки тегиздиктин нормалдары бири-бирине параллель болбосо, анда мындай тегиздиктер кесилишет. Ошондо алардын ортосундагы аралык нөлгө барабар болот.
Учактардын ортосундагы аралыкты аныктоо маселеси
Эки тегиздик төмөнкү туюнтмалар менен берилгени белгилүү:
y/5 + x/(-3) + z/1=1;
-x + 3/5y + 3z – 2=0.
Тегиздиктердин параллелдүү экендигин далилдөө, ошондой эле алардын ортосундагы аралыкты аныктоо керек.
Маселенин биринчи бөлүгүнө жооп берүү үчүн биринчи теңдемени жалпы формага келтириш керек. Ал сегменттердеги теңдеме деп аталган формада берилгенине көңүл буруңуз. Анын сол жана оң бөлүктөрүн 15ке көбөйтүп, бардык мүчөлөрдү теңдеменин бир тарабына жылдырсак:
-5x + 3y + 15z – 15=0.
Тегиздиктердин эки нормалдуу векторунун координаталарын жазалы:
1¯=(-5, 3, 15);
2¯=(-1, 3/5, 3).
Эгер n2¯ 5ке көбөйтүлсө, анда n1¯ координаттарын так алабыз. Ошентип, каралып жаткан учактар болуп саналатпараллелдүү.
Параллдуу тегиздиктердин ортосундагы аралыкты эсептөө үчүн, алардын биринчисинин каалаган чекитинин тандап, жогорудагы формуланы колдонуңуз. Мисалы, биринчи тегиздикке тиешелүү чекитти (0, 0, 1) алалы. Анда биз алабыз:
d=|Ax0+ By0+ Cz0 + D|/√(A2 + B2 + C2)=
=1/(√(1 + 9/25 + 9))=0,31 см.
Каалаган аралык 31 мм.
Учак менен сызыктын ортосундагы аралык
Берилген теориялык билимдер түз сызык менен тегиздиктин ортосундагы аралыкты аныктоо маселесин чечүүгө да мүмкүндүк берет. Тегиздиктердин ортосундагы эсептөөлөр үчүн жарактуу формула универсалдуу экени жогоруда айтылган. Бул маселени чечүү үчүн да колдонсо болот. Бул үчүн, жөн гана берилген сызыкка тиешелүү каалаган чекитти тандаңыз.
Каралып жаткан геометриялык элементтердин ортосундагы аралыкты аныктоодогу негизги маселе алардын параллелизминин далили болуп саналат (эгер андай болбосо, анда d=0). Эгерде сызык үчүн нормалдуу жана багыт векторунун скалярдык көбөйтүндүсүн эсептеп чыксаңыз, параллелдүүлүктү далилдөө оңой. Эгерде каралып жаткан элементтер параллелдүү болсо, анда бул продукт нөлгө барабар болот.
