Геометриялык маселелерди мейкиндикте чыгарууда ар кандай мейкиндик объекттеринин ортосундагы бурчтарды эсептөө зарыл болгон учурлар көп кездешет. Бул макалада биз тегиздиктердин жана алардын ортосундагы бурчтарды жана түз сызыкты табуу маселесин карайбыз.
Космостогу сызык
Тегиздиктеги бардык түз сызыкты төмөнкү теңчилик менен аныктоого болоору белгилүү:
y=ax + b
Бул жерде a жана b кээ бир сандар. Эгерде биз мейкиндиктеги түз сызыкты ошол эле туюнтма менен көрсөтсөк, анда z огуна параллелдүү тегиздик алабыз. Мейкиндик сызыгынын математикалык аныктамасы үчүн эки өлчөмдүү учурга караганда башка чечүү ыкмасы колдонулат. Ал "багыт вектору" түшүнүгүн колдонуудан турат.
Түз сызыктын багыттоочу вектору анын мейкиндиктеги багытын көрсөтөт. Бул параметр линияга таандык. Мейкиндикте параллель векторлордун чексиз жыйындысы бар болгондуктан, каралып жаткан геометриялык объектти уникалдуу аныктоо үчүн ага тиешелүү чекиттин координаталарын да билүү зарыл.
Бар деп ойлойлучекити P(x0; y0; z0) жана багыт вектору v¯(a; b; c), анда түз сызыктын теңдемеси төмөнкүчө берилиши мүмкүн:
(x; y; z)=P + αv¯ же
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(a; b; c)
Бул туюнтма түз сызыктын параметрдик вектор теңдемеси деп аталат. α коэффициенти – бул абсолюттук ар кандай реалдуу маанилерди кабыл ала турган параметр. Бул теңдикти кеңейтүү менен сызыктын координаттарын ачык көрсөтүүгө болот:
x=x0+ αa;
y=y0+ αb;
z=z0+ αc
Тегиздиктин теңдемеси
Космостогу тегиздикке теңдеме жазуунун бир нече формалары бар. Бул жерде биз алардын бирин карап чыгабыз, ал көбүнчө эки тегиздиктин ортосундагы же алардын бири менен түз сызыктын ортосундагы бурчтарды эсептөөдө колдонулат.
Эгерде каалаган тегиздикке перпендикуляр болгон n¯(A; B; C) вектору белгилүү болсо жана P(x0; y 0; z0), ага таандык болсо, акыркысы үчүн жалпы теңдеме:
Ax + By + Cz + D=0 мында D=-1(Ax0+ By 0 + Cz0)
Биз бул туюнтукту алып салдык, бул абдан жөнөкөй. Бул жерде биз тегиздиктин теңдемесиндеги өзгөрмөлөрдүн коэффициенттерин билүү менен ага перпендикуляр болгон бардык векторлорду оңой табууга болорун гана белгилейбиз. Акыркысы нормалдар деп аталат жана жантайыңкы менен тегиздиктин ортосундагы жана ортосундагы бурчтарды эсептөөдө колдонулат.ыктыярдуу аналогдор.
Учактардын жайгашкан жери жана алардын ортосундагы бурчтун формуласы
Эки учак бар дейли. Алардын космостогу салыштырмалуу абалынын кандай варианттары бар. Учак эки чексиз өлчөмгө жана бир нөлгө ээ болгондуктан, алардын өз ара ориентациясынын эки гана варианты мүмкүн:
- алар бири-бирине параллель болот;
- алар бири-бирине дал келиши мүмкүн.
Тегиздиктердин ортосундагы бурч - бул алардын багыт векторлорунун ортосундагы индекс, б.а. алардын нормалдары n1¯ жана n2¯.
Албетте, эгерде алар тегиздикке параллель болсо, анда алардын ортосундагы кесилиш бурчу нөлгө барабар. Алар кесилишкен болсо, анда ал нөл эмес, бирок дайыма курч. Тегиздиктер бири-бирине перпендикуляр болгондо, 90o бурч кесилишинин өзгөчө учуру болот.
n1¯ жана n2¯ ортосундагы α бурч бул векторлордун скалярдык көбөйтүндүсүнөн оңой аныкталат. Башкача айтканда, формула ишке ашат:
α=arccos((n1¯n2¯)/(|n1 ¯| |n2¯|))
Бул векторлордун координаттары: n1¯(a1; b1; c1), n2¯(a2; b2; c2). Андан кийин, скалярдык көбөйтүндү жана алардын координаттары аркылуу векторлордун модулдарын эсептөө үчүн формулаларды колдонуу менен, жогорудагы туюнтманы төмөнкүдөй кайра жазууга болот:
α=arccos(|a1 a2 + b1 b 2 +c1 c2| / (√(a12 + b12 + c12)√(a22 + b 22 + c22)))
Нумератордогу модулу сүйрү бурчтардын маанилерин эске албагандыктан пайда болду.
Тегиздиктердин кесилишинин бурчун аныктоого маселелерди чыгаруунун мисалдары
Тегиздиктердин ортосундагы бурчту кантип табуу керектигин билүү менен, биз төмөнкү маселени чечебиз. Эки тегиздик берилген, алардын теңдемелери:
3x + 4y - z + 3=0;
-x - 2y + 5z +1=0
Учактардын ортосундагы бурч кандай?
Маселенин суроосуна жооп берүү үчүн, тегиздиктин жалпы теңдемесиндеги өзгөрмөлөрдүн коэффициенттери багыттоочу вектордун координаттары экенин эстейли. Көрсөтүлгөн учактар үчүн бизде алардын нормалдарынын төмөнкү координаттары бар:
1¯(3; 4; -1);
2¯(-1; -2; 5)
Эми бул векторлордун жана алардын модулдарынын скалярдык көбөйтүндүсүн табабыз, бизде:
(n1¯n2¯)=-3 -8 -5=-16;
|n1¯|=√(9 + 16 + 1)=√26;
|n2¯|=√(1 + 4 + 25)=√30
Эми сиз табылган сандарды мурунку абзацта берилген формулага алмаштырсаңыз болот. Биз алабыз:
α=arccos(|-16 | / (√26√30) ≈ 55, 05o
Натыйжадагы маани шартта көрсөтүлгөн тегиздиктердин кесилишинин курч бурчуна туура келеттапшырмалар.
Эми дагы бир мисалды карап көрөлү. Эки учак берилген:
x + y -3=0;
3x + 3y + 8=0
Алар кесилишеби? Келгиле, алардын багыт векторлорунун координаттарынын маанилерин жазып, алардын скалярдык көбөйтүндүсүн жана модулдарын эсептеп көрөлү:
1¯(1; 1; 0);
2¯(3; 3; 0);(n1¯n2¯)=3 + 3 + 0=6;
|n1¯|=√2;
|n2¯|=√18
Анда кесилишинин бурчу:
α=arccos(|6| / (√2√18)=0o.
Бул бурч тегиздиктердин кесилишкен эмес, бирок параллелдүү экенин көрсөтүп турат. Алардын бири-бирине дал келбегендигин текшерүү оңой. Бул үчүн алардын биринчисине тиешелүү ыктыярдуу чекитти алалы, мисалы, P(0; 3; 2). Анын координаттарын экинчи теңдемеге алмаштырсак:
30 +33 + 8=17 ≠ 0
Башкача айтканда, P чекити биринчи тегиздикке гана таандык.
Эки тегиздик нормалдуу болгондо параллель болот.
Тегиздик жана түз сызык
Тегиздик менен түз сызыктын ортосундагы салыштырмалуу абалды кароодо эки тегиздикке караганда бир нече варианттар бар. Бул факт түз сызыктын бир өлчөмдүү объект экендигине байланыштуу. Сызык жана тегиздик болушу мүмкүн:
- өз ара параллель, бул учурда тегиздик сызыкты кеспейт;
- акыркы учакка таандык болушу мүмкүн, бирок ал дагы ага параллель болот;
- эки объект тең болоткандайдыр бир бурчта кесилишет.
Адегенде акыркы учурду карап көрөлү, анткени ал кесилишинин бурчу түшүнүгүн киргизүүнү талап кылат.
Сызык жана тегиздик, алардын ортосундагы бурч
Эгер түз сызык тегиздикти кесип өтсө, анда ал ага карата жантайыңкы деп аталат. кесилишкен чекит жантаюунун негизи деп аталат. Бул геометриялык объектилердин ортосундагы бурчту аныктоо үчүн каалаган чекиттен тегиздикке түз перпендикулярды түшүрүү керек. Анда перпендикулярдын тегиздик менен кесилишкен чекити жана аны менен жантайыңкы сызыктын кесилишкен жери түз сызыкты түзөт. Акыркысы каралып жаткан тегиздикке баштапкы сызыктын проекциясы деп аталат. Сызык менен анын проекциясынын ортосундагы курч бурч талап кылынган бурч.
Тегиздик менен кыйгачтын ортосундагы бурчтун бир аз чаташкан аныктамасы төмөнкү фигураны тактайт.
Бул жерде ABO бурч AB сызыгы менен a тегиздигинин ортосундагы бурч.
Анын формуласын жазуу үчүн бир мисал карап көрөлү. Түз сызык жана тегиздик болсун, алар теңдемелер менен сүрөттөлөт:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c);
Ax + Bx + Cx + D=0
Сиз сызык менен тегиздиктин багыт векторлорунун ортосундагы скалярдык көбөйтүндү тапсаңыз, бул объекттер үчүн керектүү бурчту эсептөө оңой. Натыйжадагы курч бурчтан 90o кемитүү керек, андан кийин ал түз сызык менен тегиздиктин ортосунда алынат.
Жогорудагы сүрөттө сүрөттөлгөн табуу алгоритми көрсөтүлгөнбурчу каралат. Бул жерде β нормал менен сызыктын ортосундагы бурч, ал эми α сызык менен анын тегиздикке проекциясынын ортосундагы бурч. Алардын суммасы 90o экенин көрүүгө болот.
Жогоруда тегиздиктердин ортосундагы бурчту кантип табуу керек деген суроого жооп берген формула берилген. Эми түз сызык менен тегиздиктин учуруна тиешелүү туюнтманы беребиз:
α=arcsin(|aA + bB + cC| / (√(a 2 + b2 + c 2)√(A 2 + B 2 + C 2)))
Формуладагы модул курч бурчтарды гана эсептөөгө мүмкүндүк берет. Арксинус функциясы тригонометриялык функциялардын ортосунда тиешелүү кыскартуу формуласын колдонуудан улам арккосиндун ордуна пайда болгон (cos(β)=sin(90o-β)=sin(α)).
Маселе: Тегиздик түз сызыкты кесип жатат
Эми жогорудагы формула менен кантип иштөө керектигин көрсөтөлү. Маселени чечели: у огу менен тегиздиктин ортосундагы бурчту эсептөө керек:
y - z + 12=0
Бул учак сүрөттө көрсөтүлгөн.
Сиз ал y жана z окторун тиешелүүлүгүнө жараша (0; -12; 0) жана (0; 0; 12) чекиттеринде кесип, х огуна параллель экенин көрө аласыз.
Y сызыгынын багыт векторунун координаттары бар (0; 1; 0). Берилген тегиздикке перпендикуляр болгон вектор координаталары (0; 1; -1) менен мүнөздөлөт. Түз сызык менен тегиздиктин кесилишинин бурчунун формуласын колдонобуз:
α=arcsin(|1| / (√1√2))=arcsin(1 / √2)=45o
Маселе: тегиздикке параллелдүү түз сызык
Эми чечелимурунку маселеге окшош, суроосу башкача коюлган. Тегиздиктин жана түз сызыктын теңдемелери белгилүү:
x + y - z - 3=0;
(x; y; z)=(1; 0; 0) + λ(0; 2; 2)
Бул геометриялык объектилердин бири-бирине параллель экендигин аныктоо керек.
Бизде эки вектор бар: түз сызыктын багыты (0; 2; 2) жана тегиздиктин багыты (1; 1; -1). Алардын чекит продуктусун табыңыз:
01 + 12 - 12=0
Натыйжадагы нөл бул векторлордун ортосундагы бурч 90o экенин көрсөтүп турат, бул сызык менен тегиздиктин параллелдүү экенин далилдейт.
Эми бул сызык параллелдүүбү же тегиздикте да жатабы, текшерип көрөлү. Бул үчүн, сызыктан каалаган чекитти тандап, анын тегиздикке таандык экендигин текшериңиз. Мисалы, λ=0 алалы, анда P(1; 0; 0) чекити сызыгына кирет. P тегиздигинин теңдемесин алмаштыруу:
1 - 3=-2 ≠ 0
Р чекити тегиздикке таандык эмес, демек бүт сызык анда да жатпайт.
Карап жаткан геометриялык объектилердин ортосундагы бурчтарды билүү кайсы жерде маанилүү?
Жогорудагы формулалар жана маселелерди чечүүнүн мисалдары теориялык жактан гана кызыкчылык эмес. Алар көбүнчө призмалар же пирамидалар сыяктуу реалдуу үч өлчөмдүү фигуралардын маанилүү физикалык чоңдуктарын аныктоо үчүн колдонулат. Фигуралардын көлөмдөрүн жана алардын беттеринин аянттарын эсептөөдө тегиздиктердин ортосундагы бурчту аныктай билүү маанилүү. Мындан тышкары, эгерде түз призманын учурда бул формулаларды аныктоо үчүн колдонбоо мүмкүн болсокөрсөтүлгөн маанилер болсо, анда пирамиданын бардык түрү үчүн аларды колдонуу сөзсүз болот.
Төмөндө төрт бурчтуу негизи бар пирамиданын бурчтарын аныктоо үчүн жогорудагы теорияны колдонуунун мисалын карап көрүңүз.
Пирамида жана анын бурчтары
Төмөндөгү сүрөттө пирамида көрсөтүлгөн, анын түбүндө капталы а болгон квадрат жатат. Фигуранын бийиктиги h. Эки бурч табыш керек:
- каптал бети менен негиздин ортосунда;
- каптал кабыргасы менен негизинин ортосунда.
Маселени чечүү үчүн алгач координаттар системасына кирип, тиешелүү чокулардын параметрлерин аныктоо керек. Сүрөттө координаттардын башталышы квадраттык негиздин борборундагы чекит менен дал келерин көрсөтүп турат. Бул учурда, негизги тегиздик теңдеме менен сүрөттөлөт:
z=0
Башкача айтканда, ар кандай x жана у үчүн үчүнчү координаттын мааниси дайыма нөлгө барабар. ABC каптал тегиздиги z огу менен В(0; 0; h) чекитинде, у огу менен координаттары (0; a/2; 0) чекитинде кесилишет. Ал х огунан өтпөйт. Бул ABC тегиздигинин теңдемесин төмөнкүчө жазууга болот дегенди билдирет:
y / (a / 2) + z / h=1 же
2hy + az - ah=0
Вектор AB¯ - каптал чети. Анын башталышы жана аяктоочу координаттары: A(a/2; a/2; 0) жана B(0; 0; h). Анда вектордун координаттары:
AB¯(-a/2; -a/2; h)
Биз бардык керектүү теңдемелерди жана векторлорду таптык. Эми каралып жаткан формулаларды колдонуу калды.
Адегенде пирамидада негиздин тегиздиктеринин ортосундагы бурчту эсептейбизжана жагы. Тиешелүү нормалдуу векторлор: n1¯(0; 0; 1) жана n2¯(0; 2h; a). Анда бурч төмөнкүдөй болот:
α=arccos(a / √(4h2 + a2))
Тегиздик менен AB четинин ортосундагы бурч:
β=arcsin(h / √(a2 / 2 + h2))
Керектүү бурчтарды алуу үчүн негиздин a капталынын өзгөчө маанилерин жана h бийиктигин алмаштыруу керек.
