Стереометрия – үч өлчөмдүү геометриялык фигуралардын мүнөздөмөлөрүн изилдөө. Геометрия маселелеринде пайда болгон белгилүү көлөмдүк фигуралардын бири түз призма болуп саналат. Келгиле, бул макалада анын эмне экенин карап чыгалы, ошондой эле үч бурчтуу негизи бар призманы майда-чүйдөсүнө чейин сүрөттөп берели.
Призма жана анын түрлөрү
Призма – көп бурчтуктун мейкиндикте параллелдүү которуусунун натыйжасында пайда болгон фигура. Бул геометриялык операциянын натыйжасында бир нече параллелограммдан жана бири-бирине параллелдүү эки бирдей көп бурчтуктан турган фигура пайда болот. Параллелограммдар призманын капталдары, ал эми көп бурчтуктар анын негиздери.
Кандай гана призманын n+2 тарабы, 3n чети жана 2n чокусу бар, мында n – көп бурчтуу негиздин бурчтарынын же капталдарынын саны. Сүрөттө 7 жагы, 10 чокусу жана 15 кыры бар беш бурчтуу призма көрсөтүлгөн.
Карастырылган фигуралар классы призмалардын бир нече түрү менен берилген. Биз аларды кыскача тизмелейбиз:
- чоң жана томпок;
- кыйшык жана түз;
- туура жана туура.
Ар бир фигура классификациянын саналып өткөн үч түрүнүн бирине кирет. Геометриялык маселелерди чечүүдө туура жана түз призмалар үчүн эсептөөлөрдү жүргүзүү эң оңой. Акыркысы макаланын кийинки абзацтарында кененирээк талкууланат.
Түз призма деген эмне?
Түз призма - бардык тараптары 90° бурчтуу төрт бурчтуктар менен берилген ойуу же томпок, туура же туура эмес призма. Эгерде капталдардын төрт бурчтуктарынын жок дегенде бири тик бурчтук же квадрат эмес болсо, анда призма кыйгач деп аталат. Дагы бир аныктама да берилиши мүмкүн: түз призма - бул кандайдыр бир каптал чети бийиктикке барабар болгон берилген класстын фигурасы. Призманын h бийиктиги астында анын тамандарынын ортосундагы аралык кабыл алынат.
Бул түз призма деген аныктамалардын экөө тең бирдей жана өзүн-өзү жетиштүү. Алардан негиздер менен ар бир тараптын ортосундагы бардык эки жактуу бурчтар 90° экени келип чыгат.
Маселелерди чыгарууда түз цифралар менен иштөө ыңгайлуу экендиги жогоруда айтылган. Бул бийиктиги каптал кабыргасынын узундугуна дал келгендигине байланыштуу. Акыркы факт фигуранын көлөмүн жана анын каптал бетинин аянтын эсептөө процессин жеңилдетет.
Түз призманын көлөмү
Көлөм - каралып жаткан беттердин ортосундагы мейкиндиктин бөлүгүн сандык түрдө чагылдырган ар кандай мейкиндик фигурасына мүнөздүү мааниобъект. Призманын көлөмүн төмөнкү жалпы формула менен эсептөөгө болот:
V=Soс.
Башкача айтканда, бийиктиктин жана негиздин аянтынын көбөйтүлүшү V керектүү маанини берет. Түз призманын негиздери бирдей болгондуктан, So аянтын аныктоо үчүн алардын каалаганын ала аласыз.
Жогорудагы формуланы атайын түз призманы колдонуунун башка түрлөрүнө салыштырмалуу артыкчылыгы - бул фигуранын бийиктигин табуу абдан оңой, анткени ал каптал четинин узундугуна дал келет.
Каптал аймак
Каралып жаткан класстын түз фигурасынын көлөмүн гана эмес, анын каптал бетин да эсептөө ыңгайлуу. Чынында эле, анын каалаган тарабы же тик бурчтук же чарчы. Ар бир студент бул жалпак фигуралардын аянтын эсептөөнү билет, ал үчүн чектеш тараптарды бири-бирине көбөйтүү керек.
Призманын негизи капталдары ai ге барабар болгон ыктыярдуу n-гондон деп эсептейли. i индекси 1ден nге чейин. Бир тик бурчтуктун аянты мындайча эсептелет:
Si=aiс.
Бардык Si тик бурчтуктардын баарын кошсоңуз, Sb каптал бетинин аянтын эсептөө оңой. Бул учурда, биз Sbтүз призманын акыркы формуласын алабыз:
Sb=h∑i=1(ai)=hPo.
Ошентип, түз призманын каптал бетинин аянтын аныктоо үчүн анын бийиктигин бир негиздин периметрине көбөйтүү керек.
Үч бурчтук призмасы менен көйгөй
Түз призма берилген деп ойлойлу. Негизги түз үч бурчтук. Бул үч бурчтуктун буттары 12 см жана 8 см. Призманын бийиктиги 15 см болсо, фигуранын көлөмүн жана анын жалпы аянтын эсептөө керек.
Биринчи, түз призманын көлөмүн эсептеп алалы. Үч бурчтуктун (тик бурчтуу) түбүндө жайгашкан аянты бар:
So=a1a2/2=128/2=48см2.
Сиз ойлогондой, a1 жана a2 бул теңдемедеги буттар. Негизги аянтын жана бийиктигин билүү менен (маселенин шартын караңыз), V формуласын колдонсоңуз болот:
V=Soh=4815=720cm3.
Фигуранын жалпы аянты эки бөлүктөн түзүлөт: негиздердин аянттары жана каптал бети. Эки базанын аймактары:
S2o=2So=482=96cm2.
Каптал бетинин аянтын эсептөө үчүн тик бурчтуктун периметрин билишиңиз керек. Пифагор теоремасы боюнча анын гипотенузасын эсептеп a3, бизде:
a3 =√(a12+ a2 2)=√(122+ 82)=14.42 см.
Анда оң призманын негизинин үч бурчтугунун периметри:
P=a1+ a2+ a3=12 + 8 + 14, 42=34, 42 см.
Мурунку абзацта жазылган Sb формуласын колдонуу,алуу:
Sb=hP=1534, 42=516, 3 см.
S2o жана Sb аймактарын кошуп, изилденген геометриялык фигуранын жалпы бетинин аянтын алабыз:
S=S2o+ Sb=96 + 516, 3=612, 3cm2.
Айнектин өзгөчө түрлөрүнөн жасалган үч бурчтук призма оптикада жарык чыгаруучу объекттердин спектрлерин изилдөө үчүн колдонулат. Мындай призмалар дисперсия кубулушуна байланыштуу жарыкты компоненттүү жыштыктарга ажырата алат.
