Түз сызык – тегиздиктеги жана үч өлчөмдүү мейкиндиктеги негизги геометриялык объект. Түз сызыктардан көптөгөн фигуралар курулат, мисалы: параллелограмм, үч бурчтук, призма, пирамида ж.б. Макалада сызыктардын теңдемелерин орнотуунун ар кандай жолдорун карап чыгалы.
Түз сызыктын аныктамасы жана аны сүрөттөө үчүн теңдемелердин түрлөрү
Ар бир окуучу кайсы геометриялык объект жөнүндө айтып жатканын жакшы түшүнөт. Түз сызыкты чекиттердин жыйындысы катары көрсөтүүгө болот жана алардын ар бирин башкалардын баары менен кезеги менен бириктирсек, анда параллелдүү векторлордун жыйындысын алабыз. Башкача айтканда, сызыктын ар бир чекитине анын туруктуу чекиттеринин биринен аны реалдуу санга көбөйтүлгөн кандайдыр бир бирдик векторуна өткөрүп алуу мүмкүн. Түз сызыктын бул аныктамасы тегиздикте да, үч өлчөмдүү мейкиндикте да анын математикалык сүрөттөлүшү үчүн вектордук теңчиликти аныктоо үчүн колдонулат.
Түз сызыкты математикалык түрдө төмөнкү теңдемелердин түрлөрү менен көрсөтүүгө болот:
- жалпы;
- вектор;
- параметрдик;
- сегменттерде;
- симетриялык (канондук).
Кийин, биз бардык аталган типтерди карап чыгабыз жана көйгөйлөрдү чечүүнүн мисалдары аркылуу алар менен кантип иштөө керектигин көрсөтөбүз.
Түз сызыктын вектордук жана параметрдик сүрөттөлүшү
Белгилүү вектор аркылуу түз сызыкты аныктоо менен баштайлы. М мейкиндигинде туруктуу чекит бар дейли (x0; y0; z0). Түз сызык ал аркылуу өтөөрү жана v¯(a; b; c) вектордук сегменти боюнча багытталганы белгилүү. Бул маалыматтардан сызыктын ыктыярдуу чекитин кантип табууга болот? Бул суроого жооп төмөнкү теңчиликти берет:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c)
Бул жерде λ каалаган сан.
Ушундай туюнтманы эки өлчөмдүү учур үчүн да жазса болот, мында векторлордун жана чекиттердин координаттары эки сандын жыйындысы менен берилген:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b)
Жазылган теңдемелер вектордук теңдемелер деп аталат, ал эми багытталган v¯ сегментинин өзү түз сызыктын багыт вектору болуп саналат.
Жазылган туюнтмалардан тиешелүү параметрдик теңдемелер жөн гана алынат, аларды ачык кайра жазуу жетиштүү. Мисалы, мейкиндиктеги окуя үчүн төмөнкү теңдемени алабыз:
x=x0+ λa;
y=y0+ λb;
z=z0+ λc
Жүрүм-турумду анализдөө керек болсо, параметрдик теңдемелер менен иштөө ыңгайлууар бир координат. λ параметри ыктыярдуу маанилерди алса да, үч теңдикте тең бирдей болушу керек экенин эске алыңыз.
Жалпы теңдеме
Түз сызыкты аныктоонун дагы бир жолу, ал көбүнчө каралып жаткан геометриялык объект менен иштөө үчүн колдонулат, бул жалпы теңдемени колдонуу. Эки өлчөмдүү иш үчүн мындай көрүнөт:
Ax + By + C=0
Бул жерде баш латын тамгалары белгилүү бир сандык маанилерди билдирет. Маселелерди чыгарууда бул теңчиликтин ыңгайлуулугу түз сызыкка перпендикуляр болгон векторду ачык камтыганында. Эгерде аны n¯ менен белгилесек, анда мындай деп жаза алабыз:
n¯=[A; B]
Мындан тышкары, туюнтма түз сызыктан кандайдыр бир P чекитине чейинки аралыкты аныктоо үчүн колдонууга ыңгайлуу (x1; y1). d аралыктын формуласы:
d=|Ax1+ By1+ C| / √(A2+ B2)
Жалпы теңдемеден y өзгөрмөсүн ачык туюнтсак, түз сызыкты жазуунун төмөнкү белгилүү формасын ала турганыбызды көрсөтүү оңой:
y=kx + b
Бул жерде k жана b A, B, C сандары менен уникалдуу аныкталат.
Сегменттеги жана канондук теңдеме
Сегменттеги теңдемени жалпы көрүнүштөн алуу эң оңой. Биз муну кантип жасоону көрсөтөбүз.
Бизде төмөнкү сап бар дейли:
Ax + By + C=0
Бош терминди теңдиктин оң жагына жылдырып, анан бүт теңдемени ага бөлсөк, биз: алабыз
Ax + By=-C;
x / (-C / A) + y / (-C / B)=1;
x / q + y / p=1, мында q=-C / A, p=-C / B
Биз сегменттер деп аталган теңдемени алдык. Ал ар бир өзгөрмө бөлүнүүчү бөлүүчү сызыктын тиешелүү огу менен кесилишинин координатасынын маанисин көрсөткөндүктөн анын аталышын алган. Бул фактыны координаттар системасындагы түз сызыкты сүрөттөө үчүн, ошондой эле анын башка геометриялык объекттерге (түз сызыктар, чекиттер) карата салыштырмалуу абалын анализдөө үчүн колдонуу ыңгайлуу.
Эми канондук теңдемени алууга өтөлү. Эгер параметрдик вариантты карап чыксак, муну жасоо оңой. Учактагы учур үчүн бизде:
x=x0+ λa;
y=y0+ λb
Ар бир теңдикте λ параметрин туюнтуп, анан аларды теңдейбиз, алабыз:
λ=(x - x0) / a;
λ=(y - y0) / b;
(x - x0) / a=(y - y0) / b
Бул симметриялуу түрдө жазылган керектүү теңдеме. Вектордук туюнтма сыяктуу эле, ал багыт векторунун координаттарын жана сызыкка тиешелүү чекиттердин биринин координаттарын ачык камтыйт.
Бул абзацта эки өлчөмдүү учур үчүн теңдемелерди бергенибизди көрүүгө болот. Ошо сыяктуу эле, сиз мейкиндикте түз сызыктын теңдемесин жаза аласыз. Бул жерде белгилей кетүү керек, эгерде канондук формажазуулар жана сегменттердеги туюнтмалар бирдей формада болот, анда түз сызык үчүн мейкиндиктеги жалпы теңдеме кесилишкен тегиздиктер үчүн эки теңдеменин системасы менен көрсөтүлөт.
Түз сызыктын теңдемесин түзүү маселеси
Геометриядан ар бир студент эки чекит аркылуу бир сызык тартууга болорун билет. Төмөнкү чекиттер координаталык тегиздикте берилген деп ойлойлу:
M1(1; 2);
M2(-1; 3)
Эки чекит таандык болгон сызыктын теңдемесин сегменттерде, вектордук, канондук жана жалпы формада табуу керек.
Адегенде вектордук теңдемени алалы. Бул үчүн түз багыт вектору үчүн аныктаңыз M1M2¯:
M1M2¯=(-1; 3) - (1; 2)=(-2; 1)
Эми сиз көйгөй баянында көрсөтүлгөн эки пункттун бирин алуу менен вектордук теңдеме түзө аласыз, мисалы, M2:
(x; y)=(-1; 3) + λ(-2; 1)
Канондук теңдемени алуу үчүн табылган теңчиликти параметрдик түргө айландыруу жана λ параметрин алып салуу жетиштүү. Бизде:
x=-1 - 2λ, ошондуктан λ=x + 1 / (-2);
y=3 + λ, анда λ=y - 3 алабыз;
x + 1 / (-2)=(y - 3) / 1
Калган эки теңдемени (жалпы жана сегменттердеги) канондук теңдемеден төмөнкүдөй түрлендіру аркылуу табууга болот:
x + 1=-2y + 6;
жалпы теңдеме: x + 2y - 5=0;
сегменттердин теңдемеси: x / 5 + y / 2, 5=1
Натыйжадагы теңдемелер (1; 2) вектору сызыкка перпендикуляр болушу керек экенин көрсөтүп турат. Чынында эле, эгер сиз анын багыт вектору менен скалярдык көбөйтөмүн тапсаңыз, анда ал нөлгө барабар болот. Сызык сегментинин теңдемеси сызык х огу менен (5; 0) жана у огу менен (2, 5; 0) кесилишин айтат.
Сиздердин кесилишкен чекитинин аныктоо маселеси
Тегиздикте эки түз сызык төмөнкү теңдемелер менен берилген:
2x + y -1=0;
(x; y)=(0; -1) + λ(-1; 3)
Бул сызыктар кесилишкен чекиттин координаталарын аныктоо керек.
Маселени чечүүнүн эки жолу бар:
- Вектордук теңдемени жалпы формага которуп, андан кийин эки сызыктуу теңдеменин системасын чечиңиз.
- Эч кандай трансформацияларды жасабаңыз, жөн гана λ параметри аркылуу туюнтулган кесилишкен чекиттин координатын биринчи теңдемеге алмаштырыңыз. Андан кийин параметрдин маанисин табыңыз.
Экинчи жолду кылалы. Бизде:
x=-λ;
y=-1 + 3λ;
2(-λ) + (-1) + 3λ - 1=0;
λ=2
Натыйжадагы санды вектордук теңдемеге алмаштырыңыз:
(x; y)=(0; -1) + 2(-1; 3)=(-2; 5)
Ошентип, эки сызыкка тең бир гана чекит координаттары бар чекит болуп саналат (-2; 5). Анын ичинде сызыктар кесилишет.
