Көптүктөрдүн мисалында мамилелердин кеңири диапазону алардын аныктамаларынан баштап, парадокстордун аналитикалык анализине чейин көп сандагы түшүнүктөр менен коштолот. Комплект боюнча макалада талкууланган түшүнүктүн ар түрдүүлүгү чексиз. Бирок, кош түрлөрү жөнүндө сөз болгондо, бул бир нече баалуулуктардын ортосундагы бинардык мамилелерди билдирет. Ошондой эле объекттердин же билдирүүлөрдүн ортосунда.
Эреже катары, бинардык мамилелер R символу менен белгиленет, башкача айтканда, R талаасынан кандайдыр бир х мааниси үчүн xRx, мындай касиет рефлексивдүү деп аталат, мында х жана х ойдун кабыл алынган объекттери, жана R жеке адамдардын ортосундагы мамиленин же башка формасынын белгиси катары кызмат кылат. Ошол эле учурда, эгерде сиз xRy® же yRx туюнтсаңыз, анда бул симметрия абалын көрсөтөт, мында ® - “эгерде … анда …” бирикмесине окшош импликация белгиси. Жана, акырында, декоддоо жазуусу (xRy Ùy Rz) ®xRz өтмө байланышты айтат, ал эми Ù белгиси - бириктирүү.
Рефлексивдүү, симметриялуу жана өтмө болгон бинардык байланыш эквиваленттүүлүк мамиле деп аталат. f катышы функция, ал эми y=z барабардыгы Î f жана Î fден келип чыгат. Жөнөкөй экилик функция оңой колдонулушу мүмкүнэки жөнөкөй аргументке белгилүү бир тартипте жана ушул учурда гана ал белгилүү бир учурда алынган бул эки туюнтмага багытталган маанини берет.
Айтуу керек, f x менен y картасын түзөт,
эгерде f функция x диапазону менен y диапазону болсо. Бирок, f xти уга жана y Í zге экстраполяциялаганда, бул f нын zде x көрсөтүүсүнө алып келет. Жөнөкөй мисал: эгерде f(x)=2x кандайдыр бир бүтүн х үчүн чын болсо, анда f бардык белгилүү бүтүн сандардын кол коюлган топтомун бирдей бүтүн сандардын, бирок бул жолу жуп сандардын жыйындысына салыштырат деп айтылат. Жогоруда айтылгандай, рефлексивдүү, симметриялык жана өтмө экилик мамилелер тең эквиваленттик мамилелер болуп саналат.
Жогорудагылардын негизинде бинардык мамилелердин эквиваленттик мамилелери касиеттери менен аныкталат:
- рефлексивдүүлүк - катыш (M ~ N);
- симметриялар - эгерде теңдик M ~ N болсо, анда N ~ M болот;
- өткөөлдүүлүк - эгерде эки барабар M ~ N жана N ~ P болсо, натыйжада M ~ P.
Бинарлык мамилелердин жарыяланган касиеттерин кененирээк карап көрөлү. Рефлексивдүүлүк – изилденүүчү көптүктүн ар бир элементи өзүнө берилген бирдейликте турган белгилүү байланыштардын мүнөздөмөлөрүнүн бири. Мисалы, a=c жана a³ c сандарынын ортосунда рефлекстик байланыштар бар, анткени ар дайым a=a, c=c, a³ a, c³ c. Ошол эле учурда, a>a теңсиздигинин болушу мүмкүн эмес болгондуктан, a>c теңсиздигинин катышы антирефлексивдүү. Бул касиеттин аксиомасы белгилер менен коддолгон: aRc®aRa Ù cRc, бул жерде ® символу "катышуу" деген сөздү билдирет (же "кошумчалайт"), ал эми Ù белгиси "жана" (же бириктирүү) бирикмеси. Бул билдирүүдөн келип чыгат, эгерде aRc өкүмү туура болсо, aRa жана cRc туюнтмалары да туура болот.
Симметрия психикалык объектилер алмашылган күндө да мамилелердин болушун талап кылат, башкача айтканда, симметриялуу мамиледе объекттерди кайра жайгаштыруу «экилик мамилелер» тибиндеги трансформацияга алып келбейт. Мисалы, a=c теңдик байланышы с=а байланышынын эквиваленттүүлүгүнөн симметриялуу болот; a¹c сунушу да бирдей, анткени ал¹a менен байланышка туура келет.
Өтмө көптүк – бул төмөнкү талапты канааттандырган касиет: y н x, z н y ® z н x, мында ® – «эгерде …, анда …» деген сөздөрдү алмаштыруучу белги. Формула оозеки түрдө төмөнкүчө окулат: "Эгер y хке көз каранды болсо, z уга тиешелүү болсо, анда z дагы хга көз каранды".
