Космостогу учак. Учактардын космосто жайгашуусу

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Акыркы өзгөртүү: 2024-01-02 17:51

Тегиздик – геометриялык объект, анын касиеттери чекиттер менен сызыктардын проекцияларын түзүүдө, ошондой эле үч өлчөмдүү фигуралардын элементтеринин ортосундагы аралыктарды жана эки тараптуу бурчтарды эсептөөдө колдонулат. Келгиле, бул макалада учактардын мейкиндиктеги ордун изилдөө үчүн кандай теңдемелерди колдонсо болорун карап көрөлү.

Тегиздиктин аныктамасы

Ар бир адам интуитивдик түрдө кайсы объект талкууланарын элестетет. Геометриялык көз караштан алганда, тегиздик - бул чекиттердин жыйындысы, алардын ортосундагы каалаган векторлор кандайдыр бир векторго перпендикуляр болушу керек. Мисалы, мейкиндикте m түрдүү чекиттер болсо, анда алардан чекиттерди жуптап бириктирип m(m-1) / 2 түрдүү вектор жасоого болот. Эгерде бардык векторлор кандайдыр бир багытка перпендикуляр болсо, анда бул бардык m чекиттеринин бир тегиздикке таандык болушу жетиштүү шарт.

Жалпы теңдеме

Мейкиндик геометриясында тегиздик көбүнчө x, y жана z окторуна туура келген үч белгисиз координатты камтыган теңдемелердин жардамы менен сүрөттөлөт. үчүнмейкиндиктеги тегиздик координаттардагы жалпы теңдемени алыңыз, n¯(A; B; C) вектору жана M(x₀; y_{0 бар дейли.}; z_{0). Бул эки объектти колдонуу менен учакты уникалдуу түрдө аныктоого болот.}

Чындыгында координаталары белгисиз P(x; y; z) экинчи чекити бар дейли. Жогоруда берилген аныктамага ылайык, MP¯ вектору n¯ге перпендикуляр болушу керек, башкача айтканда, алар үчүн скалярдык көбөйтүндү нөлгө барабар. Анда биз төмөнкү туюнтманы жаза алабыз:

(n¯MP¯)=0 же

A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀₎₌₀

Кашаны ачып, жаңы D коэффициентин киргизүү менен биз туюнтманы алабыз:

Ax + By + Cz + D=0 мында D=-1(Ax₀+ By ₀ + Cz₀₎

Бул туюнтма тегиздиктин жалпы теңдемеси деп аталат. x, y жана z алдындагы коэффициенттер тегиздикке перпендикуляр n¯(A; B; C) векторунун координаталарын түзөрүн эстен чыгарбоо керек. Бул нормалдуу менен дал келет жана учак үчүн жол көрсөтүүчү болуп саналат. Жалпы теңдемени аныктоо үчүн бул вектор кайда багытталганы маанилүү эмес. Башкача айтканда, n¯ жана -n¯ векторлоруна курулган учактар бирдей болот.

Жогорудагы сүрөттө тегиздик, ага нормал вектор жана тегиздикке перпендикуляр сызык көрсөтүлгөн.

Октордогу тегиздик менен кесилген сегменттер жана тиешелүү теңдеме

Жалпы теңдеме аныктоо үчүн жөнөкөй математикалык операцияларды колдонууга мүмкүндүк беретучак координата окторун кайсы чекиттерде кесишет. Учактын мейкиндигиндеги абалы жөнүндө түшүнүккө ээ болуу үчүн, ошондой эле аны чиймелерде чагылдырууда бул маалыматты билүү маанилүү.

Аталган кесилишкен чекиттерди аныктоо үчүн сегменттердеги теңдеме колдонулат. Ал (0; 0; 0) чекиттен эсептөөдө координата окторунда тегиздик менен кесилген сегменттердин узундуктарынын маанилерин ачык камтыгандыктан ушундай деп аталат. Келгиле, бул теңдемени алалы.

Тегиздиктин жалпы туюнтмасын төмөнкүчө жазыңыз:

Ax + By + Cz=-D

Сол жана оң бөлүктөрдү теңдикти бузбастан -D менен бөлүүгө болот. Бизде:

A/(-D)x + B/(-D)y + C/(-D)z=1 же

x/(-D/A) + y/(-D/B) + z/(-D/C)=1

Ар бир терминдин бөлүүчүлөрүн жаңы символ менен түзүңүз:

p=-D/A; q=-D/B; r=-D/C анда

x/p + y/q + z/r=1

Бул жогоруда сегменттерде айтылган теңдеме. Мындан ар бир мүчөнүн бөлүүчүсүнүн мааниси тегиздиктин тиешелүү огу менен кесилишинин координатын көрсөтө тургандыгы келип чыгат. Мисалы, ал у-октун (0; q; 0) чекитинде кесилишет. Эгер нөлдүн x жана z координаттарын теңдемеге алмаштырсаңыз, муну түшүнүү оңой.

Эгерде сегменттерде теңдемеде өзгөрмө жок болсо, бул тегиздик тиешелүү огу менен кесилишпейт дегенди билдирет. Мисалы, туюнтма берилген:

x/p + y/q=1

Бул учак тиешелүүлүгүнө жараша x жана y огу боюнча p жана q сегменттерин кесип, бирок ал z огуна параллель болот дегенди билдирет.

Самолёттун жүрүм-туруму жөнүндө тыянак качананын теңдемесинде кандайдыр бир өзгөрмөнүн жоктугу төмөндөгү сүрөттө көрсөтүлгөндөй, жалпы түрдөгү туюнтмага да туура келет.

Вектордук параметрлик теңдеме

Космостогу тегиздикти сүрөттөөгө мүмкүндүк берүүчү теңдеменин үчүнчү түрү бар. Ал параметрдик вектор деп аталат, анткени ал тегиздикте жаткан эки вектор жана эркин көз карандысыз маанилерди кабыл ала турган эки параметр тарабынан берилген. Келгиле, бул теңдемени кантип алууга болорун көрсөтөлү.

Бир нече белгилүү вектор бар дейли u ¯(a₁; b₁; c₁) жана v¯(a₂; b₂; c₂). Эгерде алар параллелдүү болбосо, анда бул векторлордун биринин башталышын M(x₀; y_{0) белгилүү чекитине бекитүү аркылуу белгилүү бир тегиздикти орнотуу үчүн колдонсо болот.}; z_{0). Эгерде эркин MP¯ векторун u¯ жана v¯ сызыктуу векторлорунун айкалышы катары көрсөтүү мүмкүн болсо, анда бул P(x; y; z) чекитинин u¯, v¯ менен бир тегиздикке таандык экенин билдирет. Ошентип, биз теңдикти жаза алабыз:}

MP¯=αu¯ + βv¯

Же бул теңдикти координаттар боюнча жазсак:

(x; y; z)=(x₀; y₀; z₀) + α(a₁; b₁; c₁) + β(a ₂; b₂; c₂₎

Белгиленген теңчилик тегиздик үчүн параметрдик вектордук теңдеме. ATu¯ жана v¯ тегиздигиндеги вектордук мейкиндик генераторлор деп аталат.

Кийин, маселени чечүүдө бул теңдемени кантип тегиздик үчүн жалпы формага келтирсе болору көрсөтүлөт.

Космостогу учактардын ортосундагы бурч

Интуитивдик түрдө 3D мейкиндигиндеги учактар кесилишет же кесилишпейт. Биринчи учурда, алардын ортосундагы бурчту табуу кызыктуу. Бул бурчту эсептөө сызыктар ортосундагы бурчка караганда кыйыныраак, анткени биз эки жактуу геометриялык объект жөнүндө сөз кылып жатабыз. Бирок буга чейин айтылган учактын багыттоочу вектору жардамга келет.

Кесилишкен эки тегиздиктин ортосундагы эки жактуу бурч алардын багыттоочу векторлорунун ортосундагы бурчка так барабар экендиги геометриялык жактан аныкталган. Бул векторлорду n₁¯(a₁; b₁; c_{1 деп белгилейли.) жана n}2_¯(a2_{; b}2_{; c}2_{). Алардын ортосундагы бурчтун косинусу скалярдык көбөйткүчтөн аныкталат. Башкача айтканда, тегиздиктердин ортосундагы мейкиндиктеги бурчтун өзүн төмөнкү формула менен эсептөөгө болот:}

φ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n_2¯|))

Бул жерде бөлүүчүдөгү модул сүйрү бурчтун маанисин жокко чыгаруу үчүн колдонулат (кесилишкен тегиздиктердин ортосунда ал ар дайым 90o аз же барабар).

Координат түрүндө бул туюнтманы төмөнкүдөй кайра жазса болот:

φ=arccos(|a₁a₂ + b₁b ₂ +c₁c₂|/(√(a₁² + b₁² + c₁²)√(a₂² + b₂² + c ₂²⁾⁾⁾

Тегиздиктер перпендикуляр жана параллель

Эгер тегиздиктер кесилишет жана алар түзгөн эки тараптуу бурч 90o болсо, анда алар перпендикуляр болот. Мындай тегиздиктердин мисалы катары тик бурчтуу призманы же кубду айтсак болот. Бул көрсөткүчтөр алты учак менен түзүлгөн. Аты аталган фигуралардын ар бир чокусунда бири-бирине перпендикуляр үч тегиздик бар.

Каралган тегиздиктердин перпендикуляр экенин билүү үчүн алардын нормалдуу векторлорунун скалярдык көбөйтүндүсүн эсептөө жетиштүү. Тегиздиктердин мейкиндигиндеги перпендикулярдыктын жетиштүү шарты бул продукттун нөлдүк мааниси болуп саналат.

Параллельдер кесилишкен эмес тегиздиктер деп аталат. Кээде параллелдүү тегиздиктер чексиздикте кесилишет деп да айтылат. Тегиздиктер мейкиндигиндеги параллелдүүлүк шарты n₁¯ жана n_{2¯ багыт векторлору үчүн ошол шартка дал келет. Аны эки жол менен текшерсеңиз болот:}

Скалярдык көбөйтүндү колдонуу менен эки тараптуу бурчтун косинусун (cos(φ)) эсептеңиз. Эгерде учактар параллелдүү болсо, анда маани 1 болот.

Кайсы бир санга көбөйтүү аркылуу бир векторду экинчи вектор аркылуу көрсөтүүгө аракет кылыңыз, б.а. n₁¯=kn_{2¯. Эгер бул ишке ашырылышы мүмкүн болсо, анда тиешелүү учактар болуп саналатпараллелдүү.}

Сүрөттө эки параллелдүү тегиздик көрсөтүлгөн.

Эми алынган математикалык билимдерди колдонуу менен эки кызыктуу маселени чечүүнүн мисалдарын келтирели.

Вектордук теңдемеден жалпы форманы кантип алууга болот?

Бул тегиздик үчүн параметрдик вектордук туюнтма. Операциялардын агымын жана колдонулган математикалык амалдарды түшүнүүнү жеңилдетүү үчүн, конкреттүү мисалды карап көрүңүз:

(x; y; z)=(1; 2; 0) + α(2; -1; 1) + β(0; 1; 3)

Бул туюнтманы жайып, белгисиз параметрлерди билдириңиз:

x=1 + 2α;

y=2 - α + β;

z=α + 3β

Анда:

α=(x - 1)/2;

β=y - 2 + (x - 1)/2;

z=(x - 1)/2 + 3(y - 2 + (x - 1)/2)

Акыркы туюнтмадагы кашааларды ачып, биз алабыз:

z=2x-2 + 3y - 6 же

2x + 3y - z - 8=0

Биз вектор формасындагы маселенин билдирүүсүндө көрсөтүлгөн тегиздик үчүн теңдеменин жалпы формасын алдык

Үч чекит аркылуу учакты кантип куруу керек?

Эгер бул чекиттер кандайдыр бир түз сызыкка кирбесе, үч чекит аркылуу бир тегиздикти тартууга болот. Бул маселени чечүү алгоритми төмөнкү аракеттердин ырааттуулугунан турат:

эки вектордун координаталарын жуптуу белгилүү чекиттерди туташтыруу менен тап;
алардын кайчылаш көбөйтүндүсүн эсептеп, учакка нормалдуу векторду алыңыз;
табылган вектордун жардамы менен жалпы теңдемени жазыңыз жанаүч пункттун кайсынысы болбосун.

Келгиле, конкреттүү мисалды алалы. Берилген упайлар: