Баштапкылар үчүн дифференциал эмне экенин жана ал кандай математикалык мааниге ээ экенин эстен чыгарбоо керек.
Функциянын дифференциалы – бул функциянын аргументтен туундусунун жана аргументтин өзүнүн дифференциалынын көбөйтүндүсү. Математикалык жактан бул түшүнүктү туюнтма катары жазса болот: dy=y'dx.
Өз кезегинде функциянын туундусунун аныктамасы боюнча y'=lim dx-0(dy/dx) теңдиги туура, ал эми чектин аныктамасы боюнча dy/dx туюнтмасы туура болот.=x'+α, мында α параметри чексиз кичине математикалык маани.
Ошондуктан, туюнтумдун эки бөлүгү тең dx менен көбөйтүлүшү керек, ал акырында dy=y'dx+αdx берет, мында dx аргументтеги чексиз кичине өзгөрүү, (αdx) – маани. аны эске албай коюуга болот, анда dy - функциянын өсүүсү, жана (ydx) өсүү же дифференциалдын негизги бөлүгү.
Функциянын дифференциалы – функциянын туундусу менен аргументтин дифференциалынын көбөйтүндүсү.
Эми математикалык анализде көп колдонулган дифференциациялоонун негизги эрежелерин карап чыгуу зарыл.
Теорема. сумманын туундусу терминдерден алынган туундулардын суммасына барабар: (a+c)'=a'+c'.
Ошондой элебул эреже айырманын туундусун табууга да колдонулат.
Бул дифференциация эрежесинин натыйжасы белгилүү сандагы терминдердин туундусу бул терминдерден алынган туундулардын суммасына барабар деген билдирүү болуп саналат.
Мисалы, (a+c-k)' туундусун табыш керек болсо, анда натыйжа a'+c'-k' туюнтмасы болот.
Теорема. Бир чекитте дифференциалдануучу математикалык функциялардын көбөйтүндүсүнүн туундусу биринчи фактордун жана экинчинин туундусунун жана экинчи фактордун көбөйтүндүсүнөн жана биринчинин туундусунан турган суммага барабар.
Математикалык жактан теорема төмөнкүчө жазылат: (ac)'=ac'+a'c. Теореманын натыйжасы – бул туундунун туундусунун туруктуу факторун функциянын туундусунан чыгарууга болот деген тыянак.
Алгебралык туюнтма түрүндө бул эреже төмөнкүчө жазылат: (ac)'=ac', мында a=const.
Мисалы, (2a3)' туундусун табыш керек болсо, анда натыйжа төмөнкүдөй жооп болот: 2(a3)'=23a2=6a2.
Теорема. Функциялардын катышынын туундусу бөлүүчүгө көбөйтүлгөн алым менен бөлүүчүнүн туундусуна көбөйтүлгөн алым менен бөлүнүүчүнүн квадратынын ортосундагы айырмага барабар.
Математикалык жактан теорема төмөнкүчө жазылат: (a/c)'=(a'c-ac')/c2.
Жыйынтыктап айтканда, татаал функцияларды дифференциялоонун эрежелерин карап чыгуу зарыл.
Теорема. y \u003d f (x) функциясы болсун, мында x \u003d c (t), андан кийин y функциясына каратаm өзгөрмөсүнө комплекстүү деп аталат.
Ошентип, математикалык анализде комплекстүү функциянын туундусу функциянын өзүнүн туундусу, анын подфункциясынын туундусуна көбөйтүлгөндөй чечмеленет. Ыңгайлуулук үчүн татаал функцияларды дифференциялоо эрежелери таблица түрүндө берилген.
f(x) |
f'(x) |
| (1/сек)' | -(1/с2)s' |
| (ас)' | ac(ln a)c' |
| (ес)' | ecc' |
| (ln s)' | (1/сек)s' |
| (log ac)' | 1/(сlg a)c' |
| (күнөө c)' | cos ss' |
| (c)' | -sin ss' |
Бул таблицаны үзгүлтүксүз колдонуу менен туундуларды эстеп калуу оңой. Татаал функциялардын калган туундуларын теоремаларда айтылган функцияларды дифференциялоо эрежелерин колдонуу менен табууга болот.
