Цилиндр - мектеп геометрия курсунда окулуучу жөнөкөй үч өлчөмдүү фигуралардын бири (катуу геометрия бөлүмү). Мында көп учурда цилиндрдин көлөмүн жана массасын эсептөөдө, ошондой эле анын бетинин аянтын аныктоодо көйгөйлөр пайда болот. Белгиленген суроолорго жооптор бул макалада берилген.
Цилиндр деген эмне?
Цилиндрдин массасы жана анын көлөмү кандай деген суроого жооп берүүгө өтүүдөн мурун, бул мейкиндик фигура деген эмне экенин карап чыгуу зарыл. Бул цилиндр үч өлчөмдүү объект экенин дароо белгилей кетүү керек. Башкача айтканда, мейкиндикте декарттык тик бурчтуу координаттар системасындагы ар бир огу боюнча анын үч параметрин өлчөй аласыз. Чынында, цилиндрдин өлчөмдөрүн так аныктоо үчүн анын эки гана параметрин билүү жетиштүү.
Цилиндр – эки тегерек жана цилиндрдик беттен түзүлгөн үч өлчөмдүү фигура. Бул объектти айкыныраак көрсөтүү үчүн, тик бурчтукту алып, аны анын каалаган жагына айлантып баштоо жетиштүү, ал айлануу огу болот. Бул учурда, айлануучу тик бурчтук форманы сүрөттөйтайлануу - цилиндр.
Эки тегерек бет цилиндрдин негиздери деп аталат, алар белгилүү радиус менен мүнөздөлөт. Негиздердин ортосундагы аралык бийиктик деп аталат. Эки негиз бири-бири менен цилиндрдик бет менен байланышкан. Эки тегеректин борборлору аркылуу өткөн сызык цилиндрдин огу деп аталат.
Көлөмү жана бетинин аянты
Жогорудан көрүнүп тургандай, цилиндр эки параметр менен аныкталат: бийиктиги h жана анын негизинин радиусу r. Бул параметрлерди билүү менен, каралып жаткан дененин бардык башка мүнөздөмөлөрүн эсептөөгө болот. Төмөндө негизгилери:
- Базалардын аянты. Бул маани формула менен эсептелет: S1=2pir2, мында pi – 3, 14кө барабар. 2-сан цилиндрде эки окшош негиз бар болгондуктан, формулада көрүнөт.
- Цилиндрлик беттин аянты. Аны төмөнкүдөй эсептөөгө болот: S2=2pirh. Бул формуланы түшүнүү оңой: эгерде цилиндрдик бетти бир негизден экинчисине вертикалдуу кесип жана кеңейтсе, анда тик бурчтук алынат, анын бийиктиги цилиндрдин бийиктигине барабар, ал эми туурасы туура келет. үч өлчөмдүү фигуранын негизинин айланасы. Пайда болгон тик бурчтуктун аянты анын h жана 2pirге барабар болгон капталдарынын көбөйтүндүсү болгондуктан, жогорудагы формула алынды.
- Цилиндр бетинин аянты. Бул S1 жана S2 аянттарынын суммасына барабар, биз алабыз: S3=S 1 + S2=2pir2 + 2pir h=2pi r(r+h).
- Көлөм. Бул маанини табуу оңой, бир негиздин аянтын фигуранын бийиктигине көбөйтүү керек: V=(S1/2)h=pir 2 с.
Цилиндрдин массасын аныктоо
Акыры, макаланын темасына түз өтүү керек. Цилиндрдин массасын кантип аныктоого болот? Бул үчүн, анын көлөмүн, жогоруда келтирилген эсептөө формуласын билишиңиз керек. Ал эми ал турган заттын тыгыздыгы. Масса жөнөкөй формула менен аныкталат: m=ρV, мында ρ - каралып жаткан объектти түзүүчү материалдын тыгыздыгы.
Тығыздык түшүнүгү мейкиндиктин бирдик көлөмүндө болгон заттын массасын мүнөздөйт. Мисалы. Темирдин жыгачка караганда тыгыздыгы жогору экени белгилүү. Бул темир менен жыгачтын көлөмү бирдей болгон учурда, биринчисинин массасы экинчисинен бир топ чоң болот (болжол менен 16 эсе).
Жез цилиндринин массасын эсептөө
Жөнөкөй маселени карап көрөлү. Жезден жасалган цилиндрдин массасын табуу керек. Аныктык үчүн цилиндрдин диаметри 20 см жана бийиктиги 10 см болсун.
Маселени чечүүдөн мурун, булак дайындары менен иштешиңиз керек. Цилиндрдин радиусу анын диаметринин жарымына барабар, бул r=20/2=10 см, бийиктиги h=10 см дегенди билдирет. Маселеде каралган цилиндр жезден жасалгандыктан, демек, маалымдама маалыматында биз бул материалдын тыгыздык маанисин жазабыз: ρ=8, 96 г/см3 (температура 20 °C үчүн).
Эми көйгөйдү чече баштасаңыз болот. Биринчиден, көлөмүн эсептеп көрөлү: V=pir2h=3, 14(10)210=3140 см3. Ошондо цилиндрдин массасы: m=ρV=8,963140=28134 грамм же болжол менен 28 килограмм болот.
Тийиштүү формулаларда аларды колдонууда бирдиктердин өлчөмүнө көңүл буруу керек. Ошентип, маселеде бардык параметрлер сантиметр жана грамм менен берилген.
Бир тектүү жана көңдөй цилиндрлер
Жогоруда алынган натыйжадан салыштырмалуу кичине өлчөмдөгү (10 см) жез цилиндр чоң массага (28 кг) ээ экенин көрүүгө болот. Бул анын оор материалдан жасалгандыгынан гана эмес, бир тектүү болгондугуна байланыштуу. Бул чындыкты түшүнүү маанилүү, анткени массаны эсептөө үчүн жогорудагы формула цилиндр толугу менен (сыртында жана ичинде) бир эле материалдан жасалган, башкача айтканда, бир тектүү болгондо гана колдонулушу мүмкүн.
Практикада көбүнчө көңдөй цилиндрлер колдонулат (мисалы, суу үчүн цилиндр түрүндөгү бочкалар). Башкача айтканда, алар кандайдыр бир материалдын жука барактарынан жасалган, бирок ичинде бош. Көңдөй цилиндр үчүн массаны эсептөө үчүн көрсөтүлгөн формуланы колдонууга болбойт.
Бош цилиндрдин массасын эсептөө
Эгер жез цилиндр ичи бош болсо, анын массасы кандай болорун эсептөө кызыктуу. Мисалы, калыңдыгы болгону d=2 мм болгон жука жез барактан жасалсын.
Бул маселени чечүү үчүн объект жасалган жездин өзүнүн көлөмүн табуу керек. Цилиндрдин көлөмү эмес. Анткени калыңдыгыбарак цилиндрдин өлчөмдөрүнө салыштырмалуу кичинекей (d=2 мм жана r=10 см), анда объект жасалган жездин көлөмүн цилиндрдин бардык бетинин аянтын көбөйтүү жолу менен табууга болот жез барактын жоондугу, биз алабыз: V=dS 3=d2pir(r+h). Мурунку маселенин маалыматтарын алмаштыруу менен, биз алабыз: V=0,223, 1410(10+10)=251,2 см3. Көңдөй цилиндрдин массасын аны өндүрүү үчүн талап кылынган жездин алынган көлөмүн жездин тыгыздыгына көбөйтүү жолу менен алууга болот: м \u003d 251,28,96 \u003d 2251 г же 2,3 кг. Башкача айтканда, каралып жаткан көңдөй цилиндр бир тектүү цилиндрден 12 (28, 1/2, 3) эсе азыраак.
