Азыркы дүйнөдө биз ар кандай унааларды жана гаджеттерди көбүрөөк колдонуп жатабыз. Ал эми түзмө-түз адамгерчиликсиз күч колдонуу зарыл болгондо гана эмес: жүктү жылдыруу, бийиктикке көтөрүү, узун жана терең траншеяларды казуу ж.б.. Бүгүнкү күндө машиналарды роботтор чогултуп, тамакты мультиварка жасап, элементардык арифметикалык эсептерди эсептегичтер тарабынан аткарылат. Биз барган сайын "Буль алгебра" деген сөздү көп угабыз. Балким, роботторду жасоодо адамдын ролун жана машиналардын математикалык гана эмес, логикалык маселелерди да чечүүгө жөндөмдүүлүгүн түшүнүүгө убакыт келди.
Логика
Грек тилинен которгондо, логика – бул берилген шарттардын ортосундагы мамилелерди түзүүчү жана жайлар менен божомолдорго негизделген тыянак чыгарууга мүмкүндүк берүүчү ой жүгүртүүнүн иреттелген системасы. Көбүнчө бири-бирибизден: "Бул логикалуубу?" Алынган жооп биздин божомолдорубузду ырастайт же ой поездин сындайт. Бирок процесс токтобойт: биз ойлоно беребиз.
Кээде шарттардын саны (кириш сөз) ушунчалык көп жана алардын ортосундагы мамилелер ушунчалык татаал жана татаал болгондуктан, адамдын мээси баарын бир эле учурда «сиңире» албайт. Эмне болуп жатканын түшүнүү үчүн бир айдан ашык убакыт талап кылынышы мүмкүн (жума, жыл). Бироказыркы жашоо бизге чечим кабыл алуу үчүн мындай убакыт аралыгын бербейт. Ал эми биз компьютерлердин жардамына кайрылабыз. Мына ушул жерден логиканын алгебрасы пайда болот, өзүнүн мыйзамдары жана касиеттери бар. Бардык баштапкы маалыматтарды жүктөп алуу менен, биз компьютерге бардык мамилелерди таанууга, карама-каршылыктарды жоюуга жана канааттандырарлык чечим табууга мүмкүнчүлүк беребиз.
Математика жана логика
Белгилүү Готфрид Вильгельм Лейбниц «математикалык логика» концепциясын түзгөн, анын маселелери илимпоздордун тар чөйрөсүнө гана түшүнүктүү болгон. Бул багыт өзгөчө кызыгууну туудурган эмес жана 19-кылымдын ортосуна чейин математикалык логиканы аз эле адамдар билген.
Илимий коомчулуктун чоң кызыгуусу талаш-тартышты жаратып, анда англиялык Джордж Буль математиканын практикалык жактан таптакыр колдонулбаган тармагын түзүү ниетин билдирген. Тарыхтан эсибизде тургандай, ал кезде өнөр жай өндүрүшү активдүү өнүгүп, ар кандай көмөкчү машиналар жана станоктор иштелип чыккан, башкача айтканда, бардык илимий ачылыштар практикалык багытка ээ болгон.
Келечек, буль алгебрасы заманбап дүйнөдө математиканын эң көп колдонулган бөлүгү деп коёлу. Ошентип, Булл аргументтен утулуп калды.
Джордж Бюль
Автордун инсандыгы өзгөчө көңүл бурууга татыктуу. Илгери адамдар бизден мурун чоңойгондугун эске алсак дагы, 16 жашында Дж. Бюль айылдагы мектепте мугалимдик кесипти аркалап, 20 жашында Линкольндо өзүнүн мектебин ачканын белгилебей коюуга мүмкүн эмес. Математик беш чет тилде эркин сүйлөп, бош убактысында чыгармаларды окучуНьютон жана Лагранж. Мына ушунун баары карапайым жумушчунун уулу женунде!
1839-жылы Буль биринчи жолу илимий эмгектерин Cambridge Mathematical Journalга тапшырган. Окумуштуу 24 жашта. Бульдин иши Королдук Коомдун мүчөлөрүн ушунчалык кызыктыргандыктан, 1844-жылы математикалык анализди өнүктүрүүгө кошкон салымы үчүн медаль алган. Математикалык логиканын элементтерин сүрөттөгөн дагы бир нече жарыяланган эмгектер жаш математикке Корк округдук колледжинин профессору кызматын ээледи. Эсиңиздерге сала кетсек, Бюлдин өзүндө билими болгон эмес.
Идея
Негизи буль алгебра абдан жөнөкөй. Математика көз карашынан алганда, эки гана сөз менен аныктала турган билдирүүлөр (логикалык туюнтмалар) бар: "чын" же "жалган". Мисалы, жазда бак-дарактар гүлдөйт – чын, жайында кар жаайт – калп. Бул математиканын кооздугу - сандарды гана колдонуунун катуу зарылдыгы жок. Ачык маанидеги бардык билдирүүлөр өкүм алгебрасына ылайыктуу.
Ошентип, логиканын алгебрасын бардык жерде түзмө-түз колдонсо болот: инструкцияларды пландаштырууда жана жазууда, окуялар жөнүндө карама-каршы маалыматты талдоодо жана аракеттердин ырааттуулугун аныктоодо. Эң негизгиси, сөздүн чын же жалган экенин кантип аныктай турганыбыз такыр маанилүү эмес экенин түшүнүү. Бул "кантип" жана "эмне үчүн" абстракцияланышы керек. Факттын билдирүүсү гана маанилүү: чын-жалган.
Албетте, программалоо үчүн логиканын алгебрасы тиешелүү функциялар менен жазылган маанилүү.белгилер жана белгилер. Аларды үйрөнүү жаңы чет тилин өздөштүрүү дегенди билдирет. Эч нерсе мүмкүн эмес.
Негизги түшүнүктөр жана аныктамалар
Тереңдетпестен, терминологияга токтоло кетели. Демек, буль алгебрасы болжолдойт:
- билдирүүлөр;
- логикалык операциялар;
- функциялар жана мыйзамдар.
Айтыштар – бул эки жактуу чечмеленүүгө болбой турган ар кандай ырастоочу туюнтмалар. Алар сандар түрүндө жазылган (5 > 3) же тааныш сөздөр менен формулировкаланган (пил - эң чоң сүт эмүүчү). Ошол эле учурда "жирафтын мойну жок" деген сөз айкашынын да жашоого укугу бар, аны буль алгебрасы гана "жалган" деп аныктайт.
Бардык билдирүүлөр ачык-айкын болушу керек, бирок алар элементардык жана татаал болушу мүмкүн. Акыркылары логикалык байланыштарды колдонушат. Башкача айтканда, өкүмдөрдүн алгебрасында логикалык амалдар аркылуу элементардык операторлорду кошуу менен татаал айтымдар түзүлөт.
Буль алгебра операциялары
Сот алгебрасында операциялар логикалык экенин мурунтан эле эстейбиз. Сан алгебрасы сандарды кошуу, кемитүү же салыштыруу үчүн арифметиканы колдонгондой эле, математикалык логиканын элементтери татаал билдирүүлөрдү жасоого, жокко чыгарууга же акыркы жыйынтыкты эсептөөгө мүмкүндүк берет.
Формалдаштыруу жана жөнөкөйлүк үчүн логикалык операциялар бизге арифметикадан тааныш формулалар аркылуу жазылат. Буль алгебранын касиеттери теңдемелерди жазууга жана белгисиздерди эсептөөгө мүмкүндүк берет. Логикалык операциялар адатта чындык таблицасы аркылуу жазылат. Анын колонналарыэсептөөнүн элементтерин жана алар боюнча аткарылуучу операцияны аныктайт, ал эми саптар эсептөөнүн натыйжасын көрсөтөт.
Негизги логикалык аракеттер
Буль алгебрасында эң кеңири таралган амалдар – бул жокко чыгаруу (ЭМЕС) жана логикалык ЖАНА жана ЖЕ. Соттордун алгебрасында дээрлик бардык аракеттер ушундайча сүрөттөлсө болот. Келгиле, үч операциянын ар бирин кененирээк изилдеп көрөлү.
Тарга (жок) бир гана элементке (операнд) тиешелүү. Демек, жокко чыгаруу операциясы унардык деп аталат. "А эмес" түшүнүгүн жазуу үчүн төмөнкү белгилерди колдонуңуз: ¬A, A¯¯¯ же !A. Таблица түрүндө ал мындай көрүнөт:
Токко чыгаруу функциясы төмөнкүдөй билдирүү менен мүнөздөлөт: эгерде А чын болсо, анда В жалган. Мисалы, Ай Жерди айланат - чын; Жер айдын айланасында айланат - жалган.
Логикалык көбөйтүү жана кошуу
Логикалык ЖАНА конъюнктура операциясы деп аталат. Бул эмнени билдирет? Биринчиден, ал эки операндга колдонулушу мүмкүн, башкача айтканда, бинардык операция. Экинчиден, эки операнддын тең (А жана В экөө тең) чындыгы болгон учурда гана туюнтумдун өзү туура болот. "Сабыр менен эмгек баарын майдалайт" деген макал адамга кыйынчылыкты жеңүүгө эки фактор тең жардам берерин айтат.
Жазуу үчүн колдонулган белгилер: A∧B, A⋅B же A&&B.
Байланыш арифметикадагы көбөйтүүгө окшош. Кээде мындай дешет - логикалык көбөйтүү. Эгер таблицанын элементтерин сапка көбөйтсө, логикалык ой жүгүртүүгө окшош натыйжаны алабыз.
Дизъюнкция – бул логикалык ЖЕ операция. Бул чындыктын баасын алатайтылгандардын жок дегенде бири чын болгондо (же А же В). Ал мындайча жазылган: A∨B, A+B же A||B. Бул операциялар үчүн чындык таблицалары:
Дизъюнкция арифметикалык кошуу сыяктуу. Логикалык кошуу операциясынын бир гана чектөөсү бар: 1+1=1. Бирок санариптик форматта математикалык логика 0 жана 1 менен чектелет (мында 1 чын, 0 жалган). Мисалы, «музейде сиз шедеврди көрө аласыз же кызыктуу маектешиңиз менен таанышсаңыз болот» деген сөз искусство чыгармаларын көрө аласыз же кызыктуу адам менен тааныша аласыз дегенди билдирет. Ошол эле учурда, эки окуянын тең бир убакта болушу ыктымалдыгы жокко чыгарылбайт.
Функциялар жана мыйзамдар
Демек, биз буль алгебрасы кандай логикалык операцияларды колдоноорун билебиз. Функциялар математикалык логиканын элементтеринин бардык касиеттерин сүрөттөйт жана маселелердин татаал татаал шарттарын жөнөкөйлөтүүгө мүмкүндүк берет. Эң түшүнүктүү жана жөнөкөй касиет бул алынган операцияларды четке кагуу окшойт. Туундулар эксклюзивдүү ЖЕ, импликация жана эквиваленттүү. Биз негизги операцияларды гана изилдегендиктен, алардын гана касиеттерин карап чыгабыз.
Ассоциативдүүлүк "жана A, жана B жана C" сыяктуу билдирүүлөрдө операнддардын тартиби маанилүү эмес экенин билдирет. Формула мындайча жазылган:
(A∧B)∧V=A∧(B∧V)=A∧B∧V, (A∨B)∨C=A∨(B∨C)=A∨B∨C.
Көрүп тургандай, бул конъюнкцияга гана эмес, дизъюнкцияга да мүнөздүү.
Коммутативдик натыйжа деп айтылатконъюнкция же дизъюнкция кайсы элемент биринчи каралганына көз каранды эмес:
A∧B=B∧A; A∨B=B∨A.
Бөлүштүрүү татаал логикалык туюнтмалардагы кашааларды кеңейтүүгө мүмкүндүк берет. Эрежелер алгебрада көбөйтүү жана кошууда кашаа ачууга окшош:
A∧(B∨C)=A∧B∨A∧B; A∨B∧B=(A∨B)∧(A∨B).
Операнддардын бири боло турган бир жана нөлдүн касиеттери да алгебралык нөлгө же бирге көбөйтүүгө жана бир менен кошууга окшош:
A∧0=0, A∧1=A; A∨0=A, A∨1=1.
Идемпотенттүүлүк бизге, эгерде эки бирдей операндга карата операциянын натыйжасы окшош болуп чыкса, анда биз ой жүгүртүүнүн жүрүшүн татаалдаштырган ашыкча операнддарды «таштап» аларыбызды айтат. Конъюнкция да, дизъюнкция да идемпотенттүү операциялар.
B∧B=B; B∨B=B.
Сирүү да теңдемелерди жөнөкөйлөштүрүүгө мүмкүндүк берет. Абсорбция бир операнды бар туюнтмага ошол эле элемент менен башка операция колдонулганда, натыйжа жутуу операциясынан операнд болоорун айтат.
A∧B∨B=B; (A∨B)∧B=B.
Операциялардын ырааттуулугу
Операциялардын ырааттуулугу аз эмес мааниге ээ. Чынында, алгебрага келсек, буль алгебрасы колдонгон функциялардын артыкчылыктуулугу бар. Формулалар амалдардын мааниси байкалган учурда гана жөнөкөйлөштүрүлүшү мүмкүн. Эң маанилүүдөн эң кичинесине карай рейтингде биз төмөнкү ырааттуулукту алабыз:
1. Четке кагуу.
2. Кошумча.
3. Дизюнкция, эксклюзивдүүЖЕ.
4. Мааниси, эквиваленттүүлүгү.
Көрүп тургандай, жалаң баш тартуу менен жалгашуу бирдей артыкчылыкка ээ эмес. Ал эми дизъюнкция менен XOR артыкчылыктары бирдей, ошондой эле импликация жана эквиваленттүүлүк артыкчылыктары.
Импликация жана эквиваленттүүлүк функциялары
Айтылгандай, негизги логикалык операциялардан тышкары, математикалык логика жана алгоритмдердин теориясы туундуларды колдонот. Эң көп колдонулганы - импликация жана эквиваленттик.
Импликация же логикалык натыйжа – бул бир иш-аракет шарт, ал эми экинчиси анын аткарылышынын натыйжасы болгон билдирүү. Башка сөз менен айтканда, бул предлогдор менен сүйлөм "эгер … анда." "Эгер сен мингенди жакшы көрсөң, чана көтөргөндү жакшы көр". Башкача айтканда, лыжа тебүү үчүн дөңсөөдөгү чананы бекемдөө керек. Эгерде тоодон ылдый түшкүсү келбесе, анда чана көтөрүүнүн кереги жок. Ал мындайча жазылган: A→B же A⇒B.
Эквиваленттүүлүк натыйжада эки операнд тең чындык болгондо гана пайда болот деп болжолдойт. Мисалы, күн горизонттон чыкканда (жана качан гана) түн күндүзгө айланат. Математикалык логиканын тилинде бул билдирүү төмөнкүчө жазылат: A≡B, A⇔B, A==B.
Буль алгебранын башка мыйзамдары
Сот алгебрасы өнүгүп жатат жана көптөгөн кызыккан окумуштуулар жаңы мыйзамдарды иштеп чыгышты. Шотландиялык математик О.де Моргандын постулаттары эң белгилүү болуп эсептелет. Ал жакын жокко чыгаруу, толуктоо жана кош жокко чыгаруу сыяктуу касиеттерди байкап, аныктаган.
Жабуу жокко чыгаруу кашаанын алдында четке кагуу жок экенин билдирет:эмес (А же В)=А эмес же В ЭМЕС.
Операнд жокко чыгарылганда, анын маанисине карабастан, толуктоочу жөнүндө сөз болот:
B∧¬B=0; B∨¬B=1.
Жана акырында, кош жокко чыгаруу өзүн толуктайт. Ошол. же жокко чыгаруу операнддын алдында жок болот, же бирөө гана калат.
Тесттерди кантип чечүү керек
Математикалык логика берилген теңдемелерди жөнөкөйлөтүүнү билдирет. Алгебрадагыдай эле, адегенде шартты мүмкүн болушунча жеңилдетип (татаал киргизүүлөрдөн жана алар менен операциялардан арылуу), андан кийин туура жоопту издеп башташыңыз керек.
Жөнөкөйлөшүү үчүн эмне кылса болот? Бардык туунду операцияларды жөнөкөй операцияларга айландырыңыз. Андан кийин бардык кашааларды ачыңыз (же тескерисинче, бул элементти кыскартуу үчүн аны кашаадан чыгарыңыз). Кийинки кадам буль алгебранын касиеттерин практикада колдонуу болушу керек (жутуу, нөлдүн жана бирдин касиеттери ж.б.).
Акыры, теңдеме жөнөкөй амалдар менен бириктирилген белгисиздердин минималдуу санынан турушу керек. Чечимди табуунун эң оңой жолу - көп сандагы жакын негативдерге жетишүү. Ошондо жооп өзүнөн-өзү калкып чыгат.
