Математикалык статистика – белгисиз шарттарда негизделген чечимдерди кабыл алууга мүмкүндүк берүүчү методология. Маалыматтарды чогултуу жана системалаштыруу ыкмаларын изилдөө, массалык кокустук менен эксперименттердин жана эксперименттердин акыркы натыйжаларын иштеп чыгуу жана ар кандай мыйзам ченемдүүлүктөрдү ачуу математиканын бул тармагы. Математикалык статистиканын негизги түшүнүктөрүн карап көрүңүз.
Ыктымалдуулук теориясы менен айырма
Математикалык статистиканын ыкмалары ыктымалдуулук теориясы менен тыгыз кесилишет. Математиканын эки тармагы тең көптөгөн туш келди кубулуштарды изилдөө менен алектенет. Бул эки дисциплина чектик теоремалар менен байланышкан. Бирок, бул илимдердин ортосунда чоң айырма бар. Ыктымалдуулук теориясы математикалык моделдин негизинде реалдуу дүйнөдөгү процесстин мүнөздөмөлөрүн аныктаса, математикалык статистика тескерисинче кылат – моделдин касиеттеринбайкалган маалыматка негизделген.
Кадамдар
Математикалык статистиканы колдонуу кокустук окуяларга же процесстерге, тагыраак айтканда, аларга байкоо жүргүзүүдөн алынган маалыматтарга карата гана жүргүзүлүшү мүмкүн. Жана бул бир нече этапта болот. Биринчиден, эксперименттердин жана эксперименттердин маалыматтары белгилүү бир иштетүүдөн өтөт. Алар айкындуулук жана талдоо жеңилдиги үчүн буйрук кылынат. Андан кийин байкалган кокус процесстин керектүү параметрлеринин так же болжолдуу баасы түзүлөт. Алар төмөнкүлөр болушу мүмкүн:
- окуянын ыктымалдыгын баалоо (анын ыктымалдыгы башында белгисиз);
- чексиз бөлүштүрүү функциясынын жүрүм-турумун изилдөө;
- күтүүнүн болжолу;
- дисперсияны баалоо
- ж.б.
Үчүнчү этап – анализдин алдында коюлган ар кандай гипотезаларды текшерүү, б.а., эксперименттердин натыйжалары теориялык эсептөөлөргө кандай туура келет деген суроого жооп алуу. Чынында, бул математикалык статистиканын негизги этабы болуп саналат. Мисал катары байкалган кокус процесстин жүрүм-туруму нормалдуу бөлүштүрүүнүн чегинде экендигин карап чыгууга болот.
Калк
Математикалык статистиканын негизги түшүнүктөрүнө жалпы жана тандалма популяциялар кирет. Бул дисциплина кандайдыр бир мүлккө карата белгилүү бир объектилердин жыйындысын изилдөө менен байланышкан. Мисал катары таксисттин эмгегин айтсак болот. Бул кокус өзгөрмөлөрдү карап көрүңүз:
- жүк же кардарлардын саны: күнүнө, түшкү тамакка чейин, түштөн кийин, …;
- орточо саякат убактысы;
- кирген арыздардын саны же алардын шаардын райондоруна тиркелгени жана башка көптөгөн нерселер.
Ошондой эле кокустук процесстердин жыйындысын изилдөөгө болоорун белгилей кетүү керек, алар да байкала турган кокустук өзгөрмө болот.
Ошентип, математикалык статистиканын методдорунда изилденүүчү объекттердин бүтүндөй жыйындысы же берилген объект боюнча бирдей шарттарда жүргүзүлүүчү ар кандай байкоолордун натыйжалары жалпы баштык деп аталат. Башкача айтканда, математикалык жактан катаалыраак айтканда, бул элементардык окуялар мейкиндигинде аныкталган кокустук чоңдук, анда элементтеринин белгилүү ыктымалдыгы бар бөлүмчөлөрдүн классы белгиленген.
Үлгү популяция
Ар бир объектти изилдөө үчүн үзгүлтүксүз изилдөө жүргүзүү кандайдыр бир себептерден улам (баасы, убактысы) мүмкүн эмес же ишке ашпай калган учурлар бар. Мисалы, анын сапатын текшерүү үчүн ар бир банканы ачуу күмөндүү чечим, ал эми ар бир аба молекуласынын траекториясын куб метрге баалоого аракет кылуу мүмкүн эмес. Мындай учурларда тандалма байкоо ыкмасы колдонулат: жалпы калктын ичинен белгилүү бир сандагы объектилер тандалып алынат (көбүнчө туш келди) жана алар анализге алынат.
Бул түшүнүктөр башында татаал сезилиши мүмкүн. Демек, теманы толук түшүнүү үчүн В. Е. Гмурмандын «Ыктымалдуулук теориясы жана математикалык статистика» окуу китебин окуп чыгуу керек. Ошентип, тандап алуу топтому же үлгү жалпы топтомдон туш келди тандалган объекттердин сериясы. Катуу математикалык терминдер менен айтканда, бул көз карандысыз, бирдей бөлүштүрүлгөн кокустук чоңдуктардын ырааттуулугу, алардын ар бири үчүн бөлүштүрүү жалпы кокустук чоңдук үчүн көрсөтүлгөнгө дал келет.
Негизги түшүнүктөр
Математикалык статистиканын башка бир катар негизги түшүнүктөрүн кыскача карап көрөлү. Жалпы популяциядагы же үлгүдөгү объекттердин саны көлөм деп аталат. Эксперимент учурунда алынган үлгү баалуулуктары үлгүнү ишке ашыруу деп аталат. Үлгүгө негизделген жалпы популяцияны баалоо ишенимдүү болушу үчүн репрезентативдик же өкүл деп аталган үлгүгө ээ болуу маанилүү. Бул үлгү толугу менен калктын өкүлү болушу керек дегенди билдирет. Буга популяциянын бардык элементтеринин үлгүдө болуу ыктымалдыгы бирдей болгондо гана жетишүүгө болот.
Үлгүлөр кайтарууну жана кайтарылбоону айырмалайт. Биринчи учурда, үлгүнүн мазмунунда, кайталанган элемент жалпы көптүккө кайтарылат, экинчи учурда, ал эмес. Адатта, иш жүзүндө, алмаштыруусуз үлгүлөрдү алуу колдонулат. Ошондой эле жалпы калктын өлчөмү ар дайым үлгүнүн өлчөмүнөн кыйла ашып турганын белгилей кетүү керек. Барүлгү алуу процессинин көптөгөн варианттары:
- жөнөкөй - нерселер кокусунан бирден тандалат;
- терилген - жалпы калк түрлөргө бөлүнөт жана ар биринен тандоо жасалат; мисалы, жашоочуларды сурамжылоо: эркектер жана аялдар өзүнчө;
- механикалык - мисалы, ар бир 10-элементти тандаңыз;
- сериялуу - тандоо элементтердин катары менен жүргүзүлөт.
Статистикалык бөлүштүрүү
Гмурмандын айтымында, ыктымалдуулук теориясы жана математикалык статистика илим дүйнөсүндө, өзгөчө анын практикалык бөлүгүндө өтө маанилүү дисциплиналар болуп саналат. Үлгүнүн статистикалык бөлүштүрүлүшүн карап көрөлү.
Бизде математикадан сынактан өткөн студенттердин тобу бар дейли. Натыйжада, бизде баалардын топтому бар: 5, 3, 1, 4, 3, 4, 2, 5, 4, 4, 5 - бул биздин негизги статистикалык материалыбыз.
Биринчиден, аны иргешибиз керек же рейтингдик операцияны аткарышыбыз керек: 1, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5 - жана ошентип вариациялык катарды алышыбыз керек. Баалоолордун ар биринин кайталануу саны баалоо жыштыгы, ал эми алардын тандоонун көлөмүнө болгон катышы салыштырмалуу жыштык деп аталат. Келгиле, үлгүнүн статистикалык бөлүштүрүлүшүнүн таблицасын же жөн гана статистикалык катарды түзөлү:
| ai | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| pi | 1 | 1 | 2 | 4 | 3 |
же
| ai | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| pi | 1/11 | 1/11 | 2/11 | 4/11 | 3/11 |
Келгиле, бир катар эксперименттерди жүргүзүп, бул өзгөрмө кандай мааниге ээ болоорун көрө турган кокус чоңдукка ээ бололу. Ал a1 маанисин алды дейли - m1 жолу; a2 - m2 жолу, ж.б. Бул үлгүнүн өлчөмү m1 + … + mk=m болот. i 1ден kга чейин өзгөргөн ai топтому статистикалык катар болуп саналат.
Интервалды бөлүштүрүү
В. Э. Гмурмандын «Ыктымалдуулук теориясы жана математикалык статистика» китебинде интервалдык статистикалык катар да берилген. Аны түзүү изилденүүчү өзгөчөлүктүн мааниси белгилүү бир аралыкта үзгүлтүксүз жана баалуулуктардын саны көп болгондо мүмкүн болот. Студенттердин тобун, тагыраак айтканда, алардын боюн карап көрөлү: 163, 180, 185, 172, 161, 171, 189, 157, 165, 174, 180, 181, 175, 182, 167, 159, 17, 17, 179, 160, 180, 166, 178, 156, 180, 189, 173, 174, 175 - бардыгы 30 окуучу. Албетте, адамдын бою үзгүлтүксүз баалуулук. Биз интервал кадамын аныктоо керек. Бул үчүн Sturges формуласы колдонулат.
| h= | макс - мин | = | 190 - 156 | = | 33 | = | 5, 59 |
| 1+лог2m | 1+лог230 | 5, 9 |
Ошентип, 6 мааниси интервалдын өлчөмү катары кабыл алынышы мүмкүн. Ошондой эле 1+log2m мааниси формула болуп саналат деп айтуу керек.интервалдардын санын аныктоо (албетте, тегеректөө менен). Ошентип, формулалар боюнча 6 интервал алынат, алардын ар биринин өлчөмү 6. Ал эми баштапкы интервалдын биринчи мааниси формула менен аныкталган сан болот: min - h / 2=156 - 6/2=153. Келгиле, интервалдарды жана өсүшү белгилүү бир интервалга түшкөн окуучулардын санын камтыган таблица түзөлү.
| H | [153; 159) | [159; 165) | [165; 171) | [171; 177) | [177; 183) | [183; 189) |
| P | 2 | 5 | 3 | 9 | 8 | 3 |
| P | 0, 06 | 0, 17 | 0, 1 | 0, 3 | 0, 27 | 0, 1 |
Албетте, бул баары эмес, анткени математикалык статистикада формулалар алда канча көп. Биз кээ бир негизги түшүнүктөрдү гана карап чыктык.
Бөлүштүрүү графиги
Математикалык статистиканын негизги түшүнүктөрүнө ошондой эле түшүнүктүүлүгү менен айырмаланган бөлүштүрүүнүн графикалык көрүнүшү кирет. Графиктердин эки түрү бар: көп бурчтук жана гистограмма. Биринчиси дискреттик статистикалык катар үчүн колдонулат. Ал эми үзгүлтүксүз бөлүштүрүү үчүн, тиешелүүлүгүнө жараша, экинчиси.
