Квадрат үч мүчөнү факторизациялоо

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Акыркы өзгөртүү: 2023-12-17 05:34

Сегизинчи класстын алгебра курсунда экинчи даражадагы көп мүчөнү изилдөөгө көп көңүл бурулат. Эгерде бул материал студент тарабынан начар өздөштүрүлсө, анда профилдик деңгээлде да, базада да OGE жана Бирдиктүү мамлекеттик сынактын экзамендеринде көйгөйлөр сөзсүз болот. Квадраттык функцияларга байланыштуу милдеттүү көндүмдөр графиктерди түзүү жана талдоо, теңдемелерди чыгарууну камтыйт.

Квадрат үч мүчөнү факторизациялоо стандарттык мектеп көйгөйлөрүнүн бири. Ал теңсиздикти интервал ыкмасы менен чечүүдө жардамчы болуп саналат.

Теңдеменин тамырларын табуу

Көп мүчөнү факторлорго бөлүү үчүн биринчиден анын тамырларын табуу керек.

Тамырлар – бул көп мүчөдөгү мономиалдардын суммасын нөлгө айландыруучу сандар, алар графикалык жактан горизонталдык огу менен кесилишкендей көрүнөт. Алар дискриминант же Виетанын теоремасы аркылуу аныкталат.

Үч мүчөлүү балтанын дискриминанты² + bx + c формуласы менен эсептелет: D=b^2m- 4ac.

Дискриминант терс болбогон учурда,тамырлар ал аркылуу туюнтулат жана полиномдук коэффициенттер:

x₁ =1/2(-b + √D); x₂ =1/2(-b - √D)

Эгер дискриминант нөл болсо, x₁ жана x₂бирдей.

Кээ бир үч мүчөлөрдү чечүү үчүн Vieta теоремасын колдонуу ыңгайлуу:

x₁ + x₂ =-b: a; x₁ × x₂=c: a

Теореманы колдонуу үчүн белгилүү бир математикалык интуиция керек. Жыйынтык: эки белгисиздин суммасын жана көбөйтүндүсүн билип туруп, бул сандарды алыңыз. Эгер алар бар болсо, алар уникалдуу түрдө табылат (алмашууга чейин).

Теореманын тууралыгын жалпы мааниде тамырлардын суммасын жана көбөйтүндүсүн эсептөө менен текшере аласыз. x₁ жана x₂ формулалары да түз алмаштыруу аркылуу текшерилет.

Факторинг эрежеси

Эгер көп мүчөнүн тамыры болсо, маселени чыныгы сандар менен чечүүгө болот. Бөлүү формула менен аныкталат:

ax² + bx + c=a(x - x₁)(x - x₂₎

Мисалдар

Маселе: төрт бурчтуу үч мүчөлөрдүн факторизациясын табуу.

a) x² - 6x + 5

Чечими: үч мүчөнүн коэффициенттерин жаз:

а=1; b=-6; c=5.

Вьета теоремасын колдонуу:

x₁ + x₂ =6;

x₁ × x₂=5.

Көрүнсө болот x₁ =1, x₂ =5.

Эгерде теореманын жазылган теңдиктерине ылайык,тамырларды тез табууга болот, сиз дароо дискриминанттын эсебине өтүшүңүз керек.

Тамырлар табылгандан кийин, аларды кеңейтүү формуласына алмаштыруу керек:

x² - 6x + 5=(x - 1)(x - 5)

Бул формада жазылган жыйынтык акыркы деп эсептелет.

b) 2x² + x - 1

Чечим:

a=2, b=1, c=-1.

Эгер алдыңкы коэффициент 1ден башкача болсо, Виета теоремасын колдонуу дискриминант аркылуу чечүүгө караганда көбүрөөк убакытты талап кылат, андыктан аны эсептөөгө өтөлү.

D=1 - 4 × 2 × (-1)=9.

x₁=1/2; x₂=-1.

Формуласы:

2x² + x - 1=2(x - 1/2)(x + 1).

c)x² - 8x + 16

Чечим:

а=1; b=-8; c=16.

D=0.

Дисскриминант нөл болгондуктан, бизде тамырлардын дал келүү учуру бар:

x₁ =x₂ =4.

Бирок бул жагдай мурда каралгандардан түп-тамырынан айырмаланбайт.

x² - 8x + 16=1(x - 4)(x - 4)

Натыйжа көбүнчө төмөнкүчө жазылат: (x - 4)².

d)x² - 7x + 1

Чечим:

а=1; b=-7; c=1.

D=45.

Бул мисал мурункулардан айырмаланып, дискриминанттан рационалдуу тамырды чыгаруу мүмкүн эмес. Бул көп мүчөнүн тамырлары иррационалдык экенин билдирет.

x₁ =-1/2(7 + √45); x₂ =-1/2(7 - √45).

Же барабар, x₁=-3, 5 - 1/2√45; x₂ =-3, 5 + 1/2√45.

Акыркы вариант жазууну кеңейтүү үчүн колдонууга ыңгайлуу. Бул жерде 1ге барабар болгон жогорку коэффициентти алып таштасак:

x²- 7x + 1=(x + 3,5 + 1/2√45)(x + 3,5 - 1/2√45)

Дисскриминант терс болгон учурда мектеп программасынын алкагында төмөнкү жооп жетиштүү: үч мүчөнүн тамыры жок, демек, факторлорго бөлүүгө болбойт. Мындай үч мүчөлөр кыскартылгыс деп да аталат. Сөз чыныгы тамырлардын бар же жок экендиги жөнүндө гана болуп жатканын түшүнүү керек.

Эгер комплекстүү сандардын талаасы каралса, төрт бурчтуу үч мүчөнү факторизациялоо каалаган дискриминант менен мүмкүн болот.

Типтүү каталар

1) Көп мүчөнү изилдөөнүн эң башында эле көп адамдар коэффициенттерди туура эмес жазышат, мисалы, белгилердеги мономичтердин тартибине көңүл бурушат.

Демек, 101-теңдемедеги алдыңкы а фактору 79x + 38x² сиз ойлогондой 101 эмес, 38.

Теңдеменин коэффициенттери менен байланышкан дагы бир ката "белгисин жоготуу" деп аталат. Ошол эле мисалда 79 эмес, b=-79 коэффициенти.

2) a=1 болгон учурда Вьета теоремасын колдонууга көнүү, мектеп окуучулары кээде анын толук формуласын унутуп коюшат. Биринчи абзацтагы көп мүчөдө тамырлардын суммасы 79 деп кабыл алуу туура эмес, анткени биринчи коэффициент 1ден айырмаланат.

3) Эсептөө каталары студенттер үчүн эң көп кездешкен көйгөй. Көп учурларда текшерүү аларды болтурбоого жардам берет.алмаштыруу.

Үчүнчү даражадагы жана андан жогору көп мүчөлөр

Мектепте жогорку даражадагы көп мүчөлөр сейрек каралат, анткени үчүнчү жана андан жогорку даражадагы көп мүчөлөрдүн тамырларын табуу маселеси көп түйшүктү талап кылат. Үчүнчү жана төртүнчү даражадагы көп мүчөнү кеңейтүү үчүн жогорку эсептөө татаалдыктагы алгоритмдер бар. Бешинчи даражадагы жана андан жогору үчүн, жалпы формадагы радикалдардагы теңдеменин чечилбестиги жөнүндө теорема далилденген.

Орто мектепте каралышы мүмкүн болгон бул көп мүчөлөрдүн өзгөчө учурлары рационалдуу оңой тандалган тамырлардын болушу менен мүнөздөлөт. Акыркысынын саны көп мүчөнүн даражасынан ашпашы керек. Татаал тегиздик менен иштөөдө алардын саны эң жогорку даражага дал келет.

Так даражадагы көп мүчөлөрдө дайыма жок дегенде бир чыныгы тамыр болот. Муну графикалык түрдө көрсөтүү оңой – мындай көп мүчө тарабынан берилген үзгүлтүксүз функциянын оң жана терс маанилери бар, демек ал 0 аркылуу өтөт.

Эки көп мүчөнүн бардык тамырлары дал келет, эгерде алардын коэффициенттери пропорционал болсо гана.

Жалпысынан тамырларды табуу маселеси менен ажыроо куруу проблемасын эквиваленттүү деп эсептөөгө болот.