Дүйнө ушунчалык көп сандагы маселелердин чечилиши квадраттык теңдеменин тамырларын табууга туура келгендей жайгаштырылган. Теңдемелердин тамырлары ар кандай үлгүлөрдү сүрөттөө үчүн маанилүү. Бул байыркы Вавилондун изилдөөчүлөрүнө да белгилүү болгон. Мындай маселелерди чечүүгө астрономдор жана инженерлер да мажбур болушкан. Биздин замандын 6-кылымында индиялык окумуштуу Арябхата квадраттык теңдеменин тамырларын табуу негиздерин иштеп чыккан. Формулалар 19-кылымда бүткөрүлгөн.
Жалпы түшүнүктөр
Сизди квадраттык теңчиликтердин негизги мыйзам ченемдүүлүктөрү менен таанышууга чакырабыз. Жалпысынан алганда, теңчилик төмөнкүчө жазылса болот:
ax2 + bx + c=0, Квадрат теңдеменин тамырларынын саны бир же экиге барабар болушу мүмкүн. Ыкчам анализди дискриминант түшүнүгү менен жасоого болот:
D=b2 - 4ac
Эсептелген мааниге жараша, биз алабыз:
- D > 0 болгондо эки башка тамыр болот. Квадраттык теңдеменин тамырларын аныктоонун жалпы формуласы (-b± √D) / (2a) сыяктуу көрүнөт.
- D=0, бул учурда тамыр бир жана x=-b / (2a) маанисине туура келет
- D < 0, дискриминанттын терс мааниси үчүн теңдеменин чечими жок.
Эскертүү: эгерде дискриминант терс болсо, теңдеменин чыныгы сандар аймагында гана тамыры болбойт. Эгер алгебра комплекстүү тамырлар түшүнүгүнө жайылтылса, анда теңдеменин чечими бар.
Келгиле, тамырларды табуу формуласын ырастаган аракеттер тизмегин берели.
Теңдеменин жалпы формасынан төмөнкүдөй:
ax2 + bx=-c
Оң жана сол бөлүктөрдү 4aга көбөйтүп, b2 кошобуз, биз алабыз
4a2x2 + 4abx + b2 =-4ac+b 2
Сол тарабын көп мүчөнүн квадратына айлантыңыз (2ax + b)2. 2ax + b=-b ± √(-4ac + b2 теңдемесинин эки тарабынын тең квадраттык түбүн чыгарабыз), b коэффициентин оң жагына көчүрөбүз:
2ax=-b ± √(-4ac + b2)
Бул жерден:
x=(-b ± √(b2 - 4ac))
Эмне керек эле.
Өзгөчө учур
Кээ бир учурларда маселенин чечилишин жөнөкөйлөштүрсө болот. Ошентип, жуп коэффициент b үчүн биз жөнөкөй формуланы алабыз.
k=1/2b деп белгилейбиз, анда квадрат теңдеменин тамырларынын жалпы түрүнүн формуласы төмөнкү форманы алат:
x=(-k ± √(k2 -ac)) / a
D=0 болгондо, биз x=-k / a алабыз
Дагы бир өзгөчө жагдай - а=1 менен теңдеменин чечими.
x2 + bx + c=0 формасы үчүн тамырлар x=-k ± √(k2 - c болот) дискриминанты 0дөн жогору. D=0 болгон учурда, тамыр жөнөкөй формула менен аныкталат: x=-k.
Диаграммаларды колдонуу
Ар бир адам, өзү да билбей туруп, дайыма квадраттык функция менен жакшы сүрөттөлгөн физикалык, химиялык, биологиялык жана ал тургай социалдык кубулуштарга туш болот.
Эскертүү: квадраттык функциянын негизинде курулган ийри сызык парабола деп аталат.
Мына бир нече мисалдар.
- Снаряддын траекториясын эсептөөдө горизонтко бурч менен атылган дененин параболасы боюнча кыймыл касиети колдонулат.
- Параболанын жүктү бирдей бөлүштүрүү касиети архитектурада кеңири колдонулат.
Параболикалык функциянын маанилүүлүгүн түшүнүү менен, келгиле, "дискриминант" жана "квадраттык теңдеменин тамырлары" түшүнүктөрүн колдонуп, анын касиеттерин изилдөө үчүн графикти кантип колдонууну аныктайлы.
a жана b коэффициенттеринин маанисине жараша ийри сызыктын позициясынын алты гана варианты бар:
- Дискриминант оң, а менен б ар башка белгилер. Параболанын бутактары жогору карайт, квадраттык теңдеменин эки чечими бар.
- Дискриминант жана b коэффициенти нөлгө барабар, а коэффициенти нөлдөн чоң. График оң зонада, теңдеменин 1 тамыры бар.
- Дискриминант жана бардык коэффициенттер оң. Квадраттык теңдеменин чечими жок.
- Дискриминант жана коэффициент а терс, b нөлдөн чоң. Графиктин бутактары ылдый карай багытталган, теңдеменин эки тамыры бар.
- Дискриминант жанаb коэффициенти нөлгө барабар, а коэффициенти терс. Парабола ылдый карайт, теңдеменин бир тамыры бар.
- Дискриминанттын жана бардык коэффициенттердин маанилери терс. Чечимдер жок, функциянын маанилери толугу менен терс зонада.
Эскертүү: a=0 варианты каралбайт, анткени бул учурда парабола түз сызыкка айланат.
Жогоруда айтылгандардын баары төмөнкү сүрөттө жакшы сүрөттөлгөн.
Маселени чечүү мисалдары
Шарты: жалпы касиеттерди колдонуп, тамырлары бири-бирине барабар болгон квадраттык теңдемени түзүңүз.
Чечим:
маселенин шартына ылайык x1 =x2, же -b + √(b2- 4ac) / (2a)=-b + √(b2 - 4ac) / (2a). Белгилерди жөнөкөйлөтүү:
-b + √(b2 - 4ac) / (2a) - (-b - √(b2 - 4ac) / (2a))=0, кашааларды ачып, окшош шарттарды бериңиз. Теңдеме 2√(b2 - 4ac)=0 болот. Бул билдирүү b2 - 4ac=0 болгондо туура болот, демек b 2=4ac, анда b=2√(ac) мааниси теңдемесинде алмаштырылат
ax2 + 2√(ac)x + c=0, кыскартылган түрдө биз x2 + 2√(c / a)x + c=0.
Жооп:
0гө барабар эмес жана каалаган c үчүн, бир гана чечим бар, эгерде b=2√(c / a).
Квадрикалык теңдемелер, бардык жөнөкөйлүгүнө карабастан, инженердик эсептөөлөр үчүн чоң мааниге ээ. Дээрлик бардык физикалык процессти колдонуу менен кандайдыр бир жакындоо менен сүрөттөөгө болоттартиптин күч функциялары п. Квадраттык теңдеме мындай биринчи жакындоо болот.
